高中数学第二章函数-函数迭代(竞赛精讲)

§2.3 函数迭代

知识提要

先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题：

五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？

设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则

14

(1)5

i i x x -=-，1,2,3,4,5i =

且0x x =．设44

()(1)(4)455

f x x x =-=+-．于是

14

()(4)45

x f x x ==+-

224

(())()(4)45x f f x x ==+-

334

((()))()(4)45x f f f x x ==+-

444

(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-

554

((((()))))()(4)45

x f f f f f x x ==+-

由于剩下的桃子数都是整数，所以，5

5|4x +．因此，最小的x 为：5

543121x =-=．

上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)

()f

x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，

(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的

迭代指数．反函数记为()

()n f

x -．

一些简单函数的n 次迭代如下：

（1）若()f x x c =+，则()

()n f

x x nc =+；

（2）若()f x ax =，则()

()n n f x a x =；

（3）若()a

f x x =，则()()n

n a f x x =； （4）若()1x f x ax =

+，则()

()1n x f x nax

=+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()

1()1n

n n

a f

x a x b a

-=+-；

()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数

学归纳法．

例题讲解

1．求迭代后的函数值

例1：已知()f x 是一次函数，且(10)

()10241023f x x =+，求()f x 的解析式．

例2：自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，则(11)n f （n N *

∈）的值域为（ ） （A ）N *

（B ）5 （C ）{4,16,49,169,256} （

D ）

{2,4,7,13,16}

（第14届希望杯）

例3：设12()1

f x x =

+，而11()[()]n n f x f f x +=，n N *

∈．记(2)1(2)2n n n f a f -=+，则

99a = ．

（第14届希望杯）

2．不动点法

一般地，若()f x ax b =+，则把它写成

()()11b b

f x a x a a

=-

+

--

因而

(2)2()()11b b

f x a x a a =-

+

-- (3)3()()11b b

f x a x a a

=-+

-- ……

()()()11n n b b

f x a x a a

=-

+

-- 这里的1b

a

-就是方程ax b x +=的根．一般地，方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点．

如果0x 是函数()f x 的不动点，则0x 也是()

()n f

x 的不动点．可用数学归纳法证明．利用

不动点能较快地求得函数()f x 的n 次迭代式．

例4：若()f x =()

()n f x ．

3．相似法

若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1

()x ϕ-，使得1

()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()

f x 通过()x ϕ和()

g x 相似，简称()f x 和()g x 相似，其中()x ϕ称为桥函数．

如果()f x 和()g x 相似，即1

()((()))f x g x ϕϕ-=，则有：()

1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=．

例6：若2

()21f x x =-，求()

()n f x ．

例7：若()1f x x =+，求()

()n f x ．

课后练习