人教版九年级上册教案 25.2 列举法求概率

课题： 25.2 列举法求概率教学目标：知识与技能目标学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

过程与方法目标经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。

渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提升分析问题和解决问题的水平。

情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：习使用列表法或树形图法计算事件的概率。

教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法实行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。

教学过程1.创设情景，发现新知教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。

例5（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。

这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。

若首先就拿这个例题给学生讲解，绝大部分学生理解起来会比较困难。

所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。

（1）创设情景引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。

每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。

作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。

【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。

（2）学生分组讨论，探索交流在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。

然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”因为事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。

此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A 、B 两转盘， 即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。

怎样避免这个问题呢？实际上，能够将这个游戏分两步实行。

于是，指导学生构造表格 （3）指导学生构造表格首先考虑转动A 盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。

接着考虑转动B 盘：当A 盘指针指向1时，B 盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。

当A 盘指针指向6或8时，B 盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。

一共会产生9种不同的结果。

【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。

A B图2 联欢晚会游戏转盘（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）从表中能够发现：A 盘数字大于B 盘数字的结果共有5种。

∴P(A 数较大)=95 , P(B 数较大)=94.∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大)∴选择A 装置的获胜可能性较大。

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。

因为游戏是分两步实行的，我们也可用其他的方法来列举。

即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。

（5）解法二：由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7）， （6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。

共计9种。

∴P(A 数较大)=95 , P(B 数较大)=94.168开始A 装置4 5 7 4 5 7 4 5 7B 装置∴P(A数较大)＞ P(B数较大)∴选择A装置的获胜可能性较大。

然后，引导学生对所画图形实行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。

列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。

【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。

2.自主分析，再探新知通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了协助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。

例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。

例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。

于是，学生通过类比列出下列表。

由上表能够看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。

由所列表格能够发现：（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)=366=61。

[满足条件的结果在表格的对角线上]（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B ）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)=364=91。

[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C ）的结果有11个，所以P(C)=3611。

[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上] 接着，引导学生实行题后小结：当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。

使用列表法求概率的步骤如下：①列表 ；②通过表格计数，确定公式P(A)=n m 中m 和n 的值；③利用公式P(A)=nm计算事件的概率。

分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还能够使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。

例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C 、D 和E ；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H 和I 。

从三个口袋中各随机地取出1个球。

（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？ （2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。

此时同学们会发现用列表法就不太方便，能够尝试树形图法。

本游戏可分三步实行。

分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。

从图形上能够看出所有可能出现的结果共有12个，即：（幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。

（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH ，ADH ，BCI ，BDI ，BEH ，所以125P =（一个元音）； 有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI ，ADI ，AEH ，BEI ，所以31124P )(==两个元音； 全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以121P )(=三个元音。

（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH ，BDH ，所以61122P )(==三个辅音。

通过例2的解答，很容易得出题后小结：当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。

使用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） ①画树形图 ；②列出结果，确定公式P(A)=n m 中m 和n 的值；③利用公式P(A)=nm计算事件概率。

接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树A C H A C I A D H A D I A E H A E IBC H BD H B D I BE H B E IB C I甲 乙 丙形图法”更好呢？【设计意图】通过对上述问题的思考，能够加深学生对新方法的理解，更好的理解到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择准确的方法。

3.应用新知，深化拓展为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提升应用所学知识解决问题的水平，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。

（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。

三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：①三辆车全部继续前行；②两辆车向右转，一辆车向左转；③至少有两辆车向左转。

[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。

]（2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。

不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。

这时，我提出：我们是否能够根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？【设计意图】以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。

4.归纳总结，形成水平我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。

要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。

【设计意图】通过这个环节，能够提升学生概括水平、表达水平，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。

5.布置作业，巩固提升考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促动学生对自己的学习实行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提升”里作如下安排：（1）必做题：书本P154/ 3，P155/ 4，5（2）选做题：①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。

②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。

【设计意图】通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活使用所学知识，让学生把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。