2019-2020中考数学专题复习试卷及答案解析：探索规律专题
2019年中考数学：专题(1)-规律探索问题(含答案)
数学精品复习资料第二篇专题能力突破专题一规律探索问题A组全国中考题组一、选择题1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是() A．115 B．127 C．139 D．151解析第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m＋4；第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n＋3.∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.∵第一个相同的数为7，∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.答案 A2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29C．28 D．26解析观察图形发现：图1中有2个黑色正方形，图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，…，图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.答案 A3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24C．27 D．30解析观察图形得：第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，…，第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.答案 B4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，若b0＝1，则b2 015的值是()A．1 B．6 C．9 D．19解析∵b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.∵b0＝1，∴b2 015的值是6.答案 B5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为() A．8 B．9 C．13 D．15解析∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，即这组数中y表示的数为8.故选A.答案 A二、填空题6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．解析第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．答案217．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3，(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1＝2，过点A ，D 2，D 3，…D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是________．解析 设A 1C 1交AD 10于点E ，根据正方形的排放规律，可知，△AD 1E ∽△D 2A 1E ，∴12＝1－A 1E A 1E ，解得A 1E ＝23；△D 2A 1E ∽△D 3A 2D 2，∴A 2D 3－223＝A 2D 32，解得A 2D 3＝3，△A 2D 2D 3∽△A 3D 3D 4，∴A 3D 4－31＝A 3D 43，解得A 3D 4＝92； △A 3D 3D 4∽△A 4D 4D 5，∴A 4D 5－9292－3＝A 4D 592，解得A 4D 5＝3322；∴A n D n ＋1＝3n －12n －2，A 9D 10＝3827(或6 561128)．答案 3827(或6 561128) 三、解答题8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a ＋b .回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n 格的“特征多项式”为________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a ，b 的值． 解 (1)观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4a ＋b ， 第2格的“特征多项式”为 8a ＋4b ， 第3格的“特征多项式”为 12a ＋9b ， 第4格的“特征多项式”为16a ＋16b ， …第n 格的“特征多项式”为4na ＋n 2b ； 故填12a ＋9b 16a ＋16b 4na ＋n 2b .(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧4a ＋b ＝－10，8a ＋4b ＝－16，解得：a ＝－3；b ＝2，∴a ，b 的值分别为－3和2.B 组 全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016解析∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四个数中，只有2 016能被12整除，故答案选D.答案 D2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A．M＝mn B．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)解析方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.答案 D3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22 B．24 C．26 D．28解析 已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C. 答案 C4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点．第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；……；设P n －1D n －2的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n －1重合，折痕与AD 交于点P n (n >2)．则AP 6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211解析 在Rt △ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，所以BC ＝5.又D 是BC 的中点，所以AD ＝52.因为点A ，D 是一组对称点，所以AP 1＝52×12.因为D 1是DP 1的中点，所以AD 1＝52×12×32，∴AP 2＝52×12×32×12，同理AP 3＝52×12×(32×12)2，…，AP n ＝52×12×(32×12)n －1，所以AP 6＝52×12×(32×12)6－1＝52×12×(32×12)5＝5×35212，故应选A. 答案 A5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4，…则依此规律，点A 2 014的纵坐标为( ) A ．0 B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 014D ．3×(233)2 013解析 OA 2＝OC 2sin 60°＝OA 1sin 60°＝332＝3×233.同理可求：OA 3＝3×(233)2；OA 4＝3×(233)3......以此类推OA n ＝3×(233)n －1.又因为2 014÷4＝503…2，所以点A 2 014与点A 2在同一半轴上，故点A 2 014的纵坐标为3×(233)2 013，故选D. 答案 D 二、填空题6．★(2013·江西，11，3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n 的代数式表示)．解析 第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝(1＋1)2，9＝(2＋1)2，16＝(3＋1)2，则第n 个图形中所有点的个数为(n ＋1)2. 答案 (n ＋1)27．(2013·浙江湖州，15，4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x 是________． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 … 第一行1 3 6 10 15 21 28第二行2 5 9 14 20 27第三行4 8 13 19 26 …第四行7 12 18 25 …第五行11 17 24 …第六行16 23 …第七行22 (x)……解析第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.答案858．(2014·贵州毕节，18，5分)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．解析分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为(n＋1)2，所以第n个数是2n－1（n＋1）2.答案2n－1（n＋1）29．(2012·浙江湖州，16，4分)如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形，若m n ＝4725，则正△ABC 的边长是________．解析 设正△ABC 的边长为x ，则高为32x ，S △ABC ＝12x ·32x ＝34x 2.∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为32x －3，较短的对角线为(32x －3)33＝12x －1，∴黑色菱形的面积＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝38(x －2)2，∴m n ＝34x 2－38（x －2）238（x －2）2＝4725，整理得，11x 2－144x ＋144＝0，解得x 1＝1211(不符合题意，舍去)，x 2＝12.∴△ABC 的边长是12. 答案 1210．(2014·江苏扬州，18，3分)设a 1，a 2，…，a 2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，则a 1，a 2，…，a 2 014中为0的个数是________．解析 设这些数中0的个数为a ，则由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝69可知：1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为2 014－a ＋692，而－1的个数为2 014－a －692；再考虑到另一个等式(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有2 014－a ＋692个，1有a 个，其余都是0，可知4·2 014－a ＋692＋a ＝4 001，解得a ＝165.答案 165三、解答题11．(2013·浙江绍兴，19，8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向向右平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n(n≥2)．(1)求AB1和AB2的长；(2)若AB n的长为56，求n.解(1)由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；(2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，AB n＝6＋5n，∴AB n＝6＋5n＝56，n＝10.。
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
中考数学复习攻略 专题1 规律探索与归纳推理(含答案)
重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。
2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。
中考数学专题复习《一次函数图象相关规律探索》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《一次函数图象相关规律探索》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．对任意非零数m直线y＝mx+2﹣5m都经过一定点则定点坐标为（）A．（0 2）B．（1 2）C．（5 2）D．（2 ﹣2）2．定义：点A（x,y）为平面直角坐标系内的点若满足x=y 则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1) N(-2,-2) 都是“平衡点”．当−1≤x≤3时直线y=2x+m上有“平衡点” 则m的取值范围是（）．A．0≤m≤1B．−3≤m≤1C．−3≤m≤3D．−1≤m≤0x的图象分别为直线l1、l2过点3．如图在平面直角坐标系中函数y=x和y=−12A1(1,−1)作x轴的垂线交l1于点A2过点A2作y轴的垂线交l2于点A3过点A3作x轴的垂线2交l1于点A4过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去则点A2023的横坐标为（）A．21012B．−21012C．−21011D．210114．正方形A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2…按如图所示的方式放置点A1A2A3…和点C1C2C3…分别在直线y=x+1和x轴上已知B1(1,1),B2(3,2)则点B n的坐标是（）A．(2n−1,2n−1)B．(2n−1,2n−1)C．(2n−1,2n−1)D．(2n−1,2n−1)5．如图直线y=x+2与y轴相交于点A0过点A0作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B1过点B1作y轴的平行线交直线y=x+2于点A1再过点A1作x轴的平行线交直线y= 0.5x+1于点B2过点B2作y轴的平行线交直线y=x+2于点A2… 依此类推得到直线y=x+2上的点A1A2A3… 与直线y=0.5x+1上的点B1B2B3… 则A8B9的长为（）A．64B．128C．256D．5126．如图所示已知直线y=√33x+1与x y轴交于B C两点A(0，0)在△ABC内依次作等边三角形使一边在x轴上另一个顶点在BC边上作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1第2个△B1A2B2第3个△B2A3B3…则第n个等边三角形的边长等于（）A．√32n B．√32n−1C．12nD．√32n+17．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3⋯和B1B2B3⋯分别在直线y=15x+ b和x轴上△OA1B1△B1A2B2△B2A3B3⋯都是等腰直角三角形如果点A1(1,1)那么A 2023的纵坐标是（ ）A ．(32)2022B ．(32)2023C ．(43)2022D ．(42)20238．如图 分别过点P i (i,0)（i =1 2 … 2024）作x 轴的垂线 交y =2x 2（x >0）的图象于点A i 交直线y =−2x 于点B i 则1A 1B 1+1A 2B 2+1A 3B 3+⋯+1A 2024B 2024的值为（ ）A ．20232024B ．20232025C ．10132025D ．101220259．如图 在平面直角坐标系中 直线l ：y =√3x +√3与两坐标轴交于A B 两点 以AB 为边作等边△ABC 将等边△ABC 沿射线AB 方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B 点顺时针旋转120° 使点C 落在直线l 上 第二次翻滚：将等边三角形绕点C 顺时针旋转120° 使点A 落在直线l 上……当等边三角形翻滚2023次后点A 的对应点坐标是（ ）A ．(2023,2023√3)B ．(2022,2024√3)C ．(2021,2022√3)D ．(2021,2024√3)10．如图 Rt △A 1B 1C 1的斜边A 1B 1在直线y =√3x −√3上 点B 1在x 轴上 C 1点坐标为(2,0)．先将△A 1B 1C 1沿较长直角边A 1C 1翻折得到△A 1B 2C 1 再将△A 1B 2C 1沿斜边A 1B 2翻折得到△A 1B 2C 2 再将△A 1B 2C 2沿较短直角边B 2C 2翻折得到△A 2B 2C 2 … 按此规律 点A 11的坐标为（）A．(15,5√3)B．(15,6√3)C．(17,5√3)D．(17,6√3)11．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3…都在x轴上点B1B2B3…都在直线y=x上△OA1B1△B1A1A2△B2B1A2△B2A2A3△B3B2A3…都是等腰直角三角形且OA1=1点B2023的横坐标是（）A．(√2)2021B．22022C．22023D．(√2)202412．如图△OAB1△B1A1B2△B2A2B3,⋯都是边长为2的等边三角形点A在x轴上点O B1B2B3,⋯都在正比例函数y=kx的图象l上则点B2023的坐标是（）A．(−2023√3,2023)B．(−2023,2023√3)C．(−2022√3,2022)D．(−2022,2022√3)13．如图平面直角坐标系中点A1的坐标为(1，2)以O为圆心OA1的长为半径画弧x于点B1过点B1作B1A2∥y轴交直线y=2x于点A2以O为圆心OA2长为半交直线y=12x于点B2过点B2作B2A3∥y轴交直线y=2x于点A3以点O为圆心径画弧交直线y=12x于点B3…按如此规律进行下去点B2023的坐标为（）OA3长为半径画弧交直线y=12A．(22022,22023)B．(22021,22022)C．(22022,22021)D．(22023,22022) 14．如图在平面直角坐标系中点A1A2A3…都在x轴上点B1B2B3…都在直线y=x上△B1A1A2△B2A2A3△B3A3A4…都是等腰直角三角形且OA1=1则点B2023的坐标是()A．(22021,22021)B．(22022,22022)C．(22023,22023)D．(22024,22024) 15．如图在平面直角坐标系中点A1、A2、A3⋅⋅⋅A n在x轴上B1、B2、B3⋅⋅⋅B n在直线y=kx上∠B1OA1=30°若A1(1,0)且△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3、⋅⋅⋅、S n．则S n可表示为（）A．22n√3B．22n−1√3C．22n−2√3D．22n−3√316．如图已知直线l：y＝√3x过点A1（1 0）作A1B1⊥x轴与直线l交于点B1以原点O为圆心以OB1为半径作弧交x轴于点A2再作A2B2⊥x轴交直线l于点B2以原点O为圆心以OB2为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去则点An的坐标为（）A．（2n0）B．（2n﹣10）C．（2n+10）D．（2n+20）17．正方形A1B1C1A2A2B2C2A3A3B3C3A4…按如图所示的方式放置点A1A2A3…在直线y＝x＋1上点B1B2B3…在x轴上已知点A1是直线y＝x＋1与y轴的交点则C2022的纵坐标是（）A．22021−1B．22021C．22022−1D．2202218．如图线段AB是直线y=x+1的一部分其中点A在y轴上点B横坐标为2 曲线BC是双曲线y=kx（k≠0）的一部分由点C开始不断重复“A−B−C”的过程形成一组波浪线点P(2019 m)与Q(2025 n)均在该波浪线上G为x轴上一动点则△PQG周长的最小值为（）A．16B．6+2√13C．6+2√15D．9+√1719．如图在平面直角坐标系中四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3…都是菱形点A1,A2,A3…都在x轴上点C1,C2,C3…都在直线y=√33x+√33上且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=⋯=60°,OA1=1则点C n的横坐标是（）A．3×2n−2−1B．3×2n−2+1C．3×2n−1−1D．3×2n−1+1 20．直线y=−x+n分别与x轴y轴交于点A B在△AOB内横纵坐标均为整数的点叫做“好点”．分别记n=1,2,3,⋅⋅⋅时△AOB内的“好点”数为a1,a2,a3,⋅⋅⋅则1a3+1a4+⋅⋅⋅+1a20=（）A．199B．179C．3019D．3619参考答案1．解：⊥y=mx+2-5m=m（x-5）+2⊥当x=5时y=2．故选C．2．解：⊥当−1≤x≤3时直线y=2x+m上有“平衡点”⊥满足x=y即x=-m⊥−1≤x≤3⊥−1≤−m≤3⊥−3≤m≤1故选择B．3．解：⊥过点A1(1,−12)作x轴的垂线交l1于点A2过点A2作y轴的垂线交l2于点A3过点A3作x轴的垂线交l1于点A4过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去⊥A1与A2横坐标相同A2与A3纵坐标相同⊥当x=1时y=1⊥A2(1，1)⊥当y=1时x=−2A3(−2，1)同理可得：A4(−2,−2)A5(4,−2)A6(4,4)A7(−8,4)A8(−8,−8)…⊥A2n−1的横坐标为(−2)n−1当2n−1=2023时n=1012⊥点A2023的横坐标(−2)1012−1=−21011．故选：C．4．解：⊥点B1的坐标为（1 1）点B2的坐标为（3 2）⊥A3的坐标为（3 4）⊥点B3的坐标为（7 4）…⊥B n的横坐标是：2n−1纵坐标是：2n−1⊥B n的坐标是(2n−1,2n−1)．故选：B．5．解：对于直线y=x+2令x=0求出y=2∴A0(0,2)∵A0B1∥x轴∴B1的纵坐标为2将y=2代入y=0.5x+1中得：x=2∴B1(2,2)∴A0B1=2=21∵A1B1∥y轴∴A1的横坐标为2将x=2代入直线y=x+2中得：y=4A1(2,4)∴A1与B2的纵坐标为4将y=4代入y=0.5x+1中得：x=6∴B2(6，4)∴A1B2=6−2=4=22同理A2B3=8=23… A n﹣1B n=2n则A8B9的长为29=512．故选：D．6．解：⊥直线y=√33x+1与x y轴交于B C两点⊥OB=√3，OC=1⊥BC=2⊥∠OBC=30°，∠OCB=60°．而△AA1B1为等边三角形∠A1AB1=60°⊥∠COA1=30°⊥∠CA1O=90°．在Rt△CAA1中AA1=√32OC=√32同理得：B1A2=12A1B1=√322依此类推第n个等边三角形的边长等于√32n．故选：A．7．解：过A1作A1E1⊥x轴于E1过A2作A2E2⊥x轴于E2过A3作A3E3⊥x轴于E3…如图⊥A1(1,1)在直线y=15x+b上⊥1=15+b⊥b=45⊥y=15x+45设A2(x2,y2)A3(x3,y3)A4(x4,y4)… A2023(x2023,y2023)则有y2=15x2+45y 3=15x 3+45…又⊥△OA 1B 1 △B 1A 2B 2 △B 2A 3B 3…都是等腰直角三角形 A 1E 1⊥x 轴 A 2E 2⊥x 轴 A 3E 3⊥x 轴… ⊥OB 1=2A 1EB 1B 2=2A 2E 2B 2B 3=2A 3E 3… ⊥x 2=2y 1+y 2x 3=2y 1+2y 2+y 3…x 2023=2y 1+2y 2+2y 3+⋯+2y 2022+y 2023将点坐标依次代入直线解析式得到：y 2=15(2y 1+y 2)+45⊥y 2=12y 1+1同理y 3=12y 1+12y 2+1=32y 2y 4=32y 3 …y 2023=32y 2022又⊥y 1=1 ⊥y 2=32 y 3=(32)2y 4=(32)3…y 2023=(32)2022故选：A ．8．解：根据题意得：A i B i =2x 2−(−2x )=2x 2+2x =2x (x +1) ∴ 1A i B i=12x (x+1)=12(1x −1x+1)∴ 1A1B 1+1A2B 2+1A3B 3+⋯+1A2024B 2024=12(11×2+12×3+13×4+⋯+12024×2025)=12(1−12+12−13+13−14+⋯+12024−12025)=12(1−12025)=12×20242025=10122025．故选：D．9．解：⊥直线l：y=√3x+√3与两坐标轴交于A B两点⊥A(−1,0)B(0,√3)⊥AB=2OA=1OB=√3⊥tan∠BAO=OBOA=√3⊥∠BAO=60°如图等边△ABC经过第1次翻转后A1(−1,2√3)过点A2作A2M⊥x轴于点M则AA2=3AB=6⊥∠A2AM=60°⊥AM=AA2cos∠A2AM=6×12=3A2M=AA2sin∠A2AM=6×√32=3√3等边△ABC经过第2次翻转后A2(3,3√3)等边△ABC经过第3次翻转后点A仍在点A2处⊥每经过3次翻转点A向右平移3个单位向上平移3√3个单位⊥2023÷3=674……1第2次与第3次翻转后点A处在同一个点⊥点A经过2023次翻转后向右平移了3×674=2022个单位向上平移了3√3×674+ 2√3=2024√3个单位⊥等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是(2021,2024√3)故选：D．10．解：当y=0时x=1⊥B1(1,0)⊥Rt△A1B1C1的斜边A1B1在直线y=√3x−√3上⊥A1(2,√3)⊥C1点坐标为(2,0)⊥B1C1=1A1C1=√3⊥A1B1=2⊥∠A1B1C1=60°∠B1A1C1=30°⊥A2C1=3⊥A2(5,0)再由翻折可知∠B2A3A2=30°A2B2=2⊥A2A3=2√3⊥A3(5,2√3)同理可得A4(8,√3)A5(8,3√3)A6(11,2√3)A7(11,4√3)⊥A11(17,6√3)．故选：D11．解：∵OA1=1∴点A1的坐标为(1，0)∵△OA1B1是等腰直角三角形∴A1B1=1∴B1(1，1)∵△B1A1A2是等腰直角三角形∴A1A2=1B1A2=√A1B12+A1A22=√12+12=√2∵△B2B1A2是等腰直角三角形∴A2A3=2∴B2(2，2)同理可得：B3(22，22)B4(23，23)…∴B2023(22022，22022)即点B2023的横坐标是22022故选B．12．解：⊥△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形⊥OA=OB1=OB2=B2B3=2过点B1作B1H⊥x轴于点H如图所示：⊥H为OA的中点⊥OH=1根据勾股定理可得B1H=√3⊥B1(−1,√3)把点B1(−1,√3)代入y=kx中得k=−√3⊥直线l的解析式为y=−√3x⊥B2(−2,2√3)B3(−3,3√3)⋯⊥B n(−n,n√3)按照此规律可得B2023(−2023,2023√3)故选：B．13．解：由题意可得点A1的坐标为(1，2)设点B1的坐标为(a,12a)⊥a2+(12a)2=12+22解得a=2（负根舍去）⊥点B1的坐标为(2，1)同理可得点A2的坐标为(2,4)点B2的坐标为(4，2)点A3的坐标为(4,8)点B3的坐标为(8,4)……⊥点B2023的坐标为(22023,22022)故选：D．14．解：∵OA1=1∴点A1的坐标为(1，0)当x=1时y=1∴B1(1，1)∴A1B1=1∵△B1A1A2是等腰直角三角形∴A1A2=1则OA2=2当x=2时y=2∴B2(2，2)A2B2=2∵△B2A2A3是等腰直角三角形∴A2A3=2则OA3=4当x=4时y=4⊥B3(22，22)同理可得：B4(23，23)…∴B2023(22022，22022)故选：B．15．解：⊥A1(1,0)⊥OA1=1⊥△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形∠B1OA1=30°⊥∠B1A1A2=60°⊥∠OB1A1=∠B1A1A2−∠A1OB1=30°⊥OA1=A1B1=A1A2=B1A2=1过点B1作B1C⊥x轴于点C⊥△A1B1A2中A1C=12A1A2=12×1=12B1C=√A1B12−A1C2=√1−(12)2=√32在Rt△OCB1中OC=OA1+A1C=1+12=32⊥B1(32,√32)且B1在直线y=kx上⊥3 2k=√32解得k=√33⊥直线的解析式为y=√33x⊥△A1B1A2△A2B2A3… △A n B n A n+1都是等边三角形⊥A1B1∥A2B2∥A3B3∥⋯∥A n B n B1A2∥B2A3∥B3A4∥⋯∥B n A n+1∠A1B1A2=∠A1A2B1=∠B1A1A2=60°⊥∠B1OA1=30°∠OA1B1=120°若A1(1,0)⊥∠OB1A1=30°⊥∠OB1A2=∠OB2A3=∠OB3A4=⋯=∠OB n A n+1=90°⊥A1B1=A1A2=B1A2=1A2B2=A2A3=B2A3=2A3B3=A3A4=B3A4=4⊥A n B n=A n A n+1=B n A n+1=2n−1⊥B1B2=√3B2B3=2√3则B n B n+1=2n−1√3⊥S1=12×1×√3=√32S2=12×2×2√3=2√3则S n=12×2n−1×2n−1√3=22n−3√3故选：D．16．解：当x=1时y=√3x=√3即A1B1=√3在Rt△OA1B1中由勾股定理得OB1=2⊥OB1=OA2⊥A2（2 0）同理可求：A3（4 0）A4（8 0）A5（16 0）……由点：A1（1 0）A2（2 0）A3（4 0）A4（8 0）A5（16 0）……即：A1（200）A2（210）A3（220）A4（230）A5（240）…可得A n（2n-10）故选：B．17．解：由题意可知令y＝x＋1中x=0 解得y=1 即A1纵坐标为1同理可得A2的纵坐标为2 A3的纵坐标为4 A4的纵坐标为8 …∵四边形A1B1C1A2是正方形∴A1和C1A2和C2A3和C3…An和Cn的纵坐标相同且C1C2C3C4C5的纵坐标分别为1 2 4 8 16由此规律可知Cn的纵坐标为2n−1故点C2022的纵坐标是22022−1=22021故选：B．18．解：当x=2时y=x+1=2+1=3⊥B（2 3）上⊥B（2 3）在双曲线y=kx⊥k=6得：y=1把x=6代入y=6x⊥C（6 1）⊥2019÷6=336......3 2025÷6=337 (3)⊥点P落在第337个“A-B-C”的P处而点Q落在第338个“A-B-C”的Q处示意如图：,把x=3代入y=6x∴y=2,∴P（2019 2）Q（2025 2）∵△PQG周长的最小PQ=6定值∴只要GP+GQ最小即可过Q作QH⊥x轴使Q,H关于x轴对称连接HP交x轴于G,∴H(2025,−2),∴PQ=6,QH=4,由勾股定理得：PH=√PQ2+HQ2=√62+42=2√13.⊥△PQG周长的最小值为PQ+GP+GQ=PH+PQ=6+2√13.故选B．19．解：分别过点C1,C2,C3,...作x轴的垂线交于D1,D2,D3,...再连接C1D1,C2D2,C3D3,...如下图：∵OA1=1∴OC1=1∴∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=⋯=60°在Rt△OC1D1中根据勾股定理得：OD12=OC12−C1D12即OD12=12−(12)2解得：OD1=√32∴C1的纵坐标为：√32横坐标为12∴C1(12√3 2 )∵四边形OA1B1C1A1A2B2C2A2A3B3C3…都是菱形∴A1C2=2A2C3=4A3C4=8…∴C2的纵坐标为：C2D2=√A1C22−A1D22=√4−1=√3代入y=√33x+√33求得横坐标为2∴C2(2,√3)C3的纵坐标为：C3D3=√A2C32−A2D32=√16−4=2√3代入y=√33x+√33求得横坐标为5∴C3(52√3)∴C4(114√3)C5(238√3)∴C6(4716√3)…C n(3×2n−2−1则点C n的横坐标是：3×2n−2−1故选：A．20．解：如图：a1=0a2=0a3=1a4=1+2a5=1+2+3⋯⊥a n=1+2+3+⋅⋅⋅+n−2=(n−2+1)(n−2)2=(n−1)(n−2)2⊥1 a n =2(n−1)(n−2)=2⋅(1n−2−1n−1)．⊥1 a3+1a4+⋅⋅⋅+1a20=2(1−12+12−13+⋅⋅⋅+118−119)=3619．故选：D．。
规律探索--图形规律(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。
中考数学专题复习— 探索规律问题 完整版 后附真题剖析
解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案 为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等 腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右 上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只 要我们善于观察、勤于思考，就可以发现 它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已
2020年中考数学高频重点《数的规律探索》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题17 数的规律探索【达标要求】规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，本节主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”类型.【知识梳理】数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数字,考查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力.常有以下类型:(1)等差数列类.即相邻数字的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一类数.(2)等比数列类.即相邻数字的比值相等.(3)加、减、乘、除、平方规律型.(4)个位数字规律类.在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.【精练精解】1.a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数，如2的差倒数为112=--1，﹣1的差倒数()11112=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．14-C ．43D ．452.观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-）=1134+=⨯1+（1134-），… 请利用你发现的规律，计算：+L，其结果为．3.按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1 4.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．10245.一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n个数为57，则n=（）A．50B．60C．62D．716.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．87.观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）8.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．89.按一定规律排列的一列数依次为：22a-，55a，810a-，1117a，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)10.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．7.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是．8.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD12=AC时，tanα134=；如图2，当CD13=AC时，tanα2512=；如图3，当CD14=AC时，tanα3724=；……依此类推，当CD11n=+AC（n为正整数）时，tanαn= ．9.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）= ．11.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．12.砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y 3=x 3+上，且∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，OA 1=1，则点C 6的坐标是 ．14.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s=1，则a2= ；（2）若s=2，则a0+a1+a2+…+a15= ．15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．16.观察下列式子第1个式子：2×4+1=9=32第2个式子：6×8+1=49=72第3个式子：14×16+1=225=152……请写出第n个式子：．17.如图，直线y13x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，A n﹣1B n﹣1C n﹣1A n中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，S n，则S n可表示为．18.如图，点B1在直线l：y12=x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）19.如图，点A1，A2，A3…，A n在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，∁n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限角平分线OM上，OB1=B1B2=B1B3=…=B n﹣1B n2=a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，A n B n⊥B n∁n，…，则第n个四边形OA n B n∁n的面积是．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y3=于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C 2019B 2019B 2020的面积是 ．21.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S =1+2+22+…+22017+22018①则2S =2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S ﹣S =S =22019﹣1∴S =1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29= ；（2）3+32+…+310= ；（3）求1+a +a 2+…+a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）．22.观察以下等式：第 1个等式：211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明．23.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1=d，a3﹣a2=d，a4﹣a3=d，…，a n﹣a n﹣1=d，…．所以a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？24.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．25.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．专题17 数的规律探索【达标要求】规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，本节主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”类型.【知识梳理】数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数字,考查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力.常有以下类型:(1)等差数列类.即相邻数字的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一类数.(2)等比数列类.即相邻数字的比值相等.(3)加、减、乘、除、平方规律型.(4)个位数字规律类.在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.【精练精解】1.a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数，如2的差倒数为112=--1，﹣1的差倒数()11112=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．14-C ．43D ．45 【答案】D ．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a 2019相同的数即可得解．【详解】∵a 1=5，a 211111154a ===---，a 3211411514a ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，a 43114115a ===--5，… ∴数列以5，14-，45三个数依次不断循环． ∵2019÷3=673，∴a 2019=a 345=． 故选D ．2.观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-）=1134+=⨯1+（1134-），… 请利用你发现的规律，计算：+L ，其结果为 ． 【答案】201820182019． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．+L =1+（112-）+1+（1123-）+…+1+（1120182019-） =2018+111111112233420182019-+-+-++-L =201820182019．故答案为：201820182019．3.按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1B ．（﹣1）n x2n ﹣1C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1D ．（﹣1）n x 2n +1【答案】C ．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】∵x 3=（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，……由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n +1．故选C ．4.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a +b ）n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a +b ）0=1 （a +b ）1=a +b （a +b ）2=a 2+2ab +b 2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C．【分析】由“杨辉三角”的规律可知，令a=b=1，代入（a+b）9计算可得所有项的系数和．【详解】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9=29=512．故选C．5.一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n个数为57，则n=（）A．50 B．60 C．62 D．71【答案】B．【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为57时n的值，本题得意解决．【详解】11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，（12，21），（13，22，31），（14，2 3，32，41），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345678910111110987654321，，，，，，，，，，，∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60．故选B．6.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A．【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【详解】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．7.观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．8.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．9.按一定规律排列的一列数依次为：22a-，55a，810a-，1117a，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)【答案】312 (1)1nnan--⋅+.【解析】第1个数为31112 (1)11a⨯--⋅+，第2个数为23122 (1)21a⨯--⋅+，第3个数为33132 (1)31a⨯--⋅+，第4个数为34142 (1)41a⨯--⋅+，…，所以这列数中的第n个数是312 (1)1nnan--⋅+.故答案为312 (1)1nnan--⋅+.10.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．【答案】14n -．【分析】由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点A n的坐标，再由直线y=kx+2与此折线恰有2n（n ≥1，且为整数）个交点，即可得出点A n+1（8n，0）在直线y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．【详解】∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…，∴A n（8n﹣8，0）．∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1且为整数）个交点，∴点A n+1（8n，0）在直线y=kx+2上，∴0=8nk+2，解得：k14n =-．故答案为：14n -．6.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，2）．【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【详解】由题意得：A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1），A3的坐标为（﹣2，，A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣，A6的坐标为（16，﹣，A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣．∵2019÷6=336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2=﹣22017，纵坐标为2故答案为：（﹣22017，2．7.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是．【答案】（47，16）．【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y1133x=+，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【详解】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…．∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…，∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y13=x13+．∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y=16代入y13=x13+，解得x=47，∴C5的坐标是（47，16）．故答案为：（47，16）．8.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD 12=AC 时，tan α134=； 如图2，当CD 13=AC 时，tan α2512=；如图3，当CD 14=AC 时，tan α3724=；……依此类推，当CD 11n =+AC （n 为正整数）时，tan αn = ． 【答案】22122n n n++．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个，∴tan αn222121(21)1222n n n n n++==+-+． 故答案为：22122n n n ++．9.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．（n 为正整数）【答案】（n）．【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3．在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，由勾股定理得出A1P1==A2P2=，A3P3=P1的坐标为（ 1，P2的坐标为（ 2，P3的坐标为（3），……，得出规律，即可得出结果．【详解】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，∴A1P1===A2P2==，A3P3=……，∴P1的坐标为（ 1，P2的坐标为（ 2），P3的坐标为（3），……，…按照此规律可得点P n的坐标是（n，即（n）故答案为：（n）．10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D 2019F 2019）= ．【答案】40380．【分析】∵D 1F 1∥AC ，D 1E 1∥AB ，可得1111D F AB DE AC AB-=，因为AB =5，BC =4，则有4D 1E 1+5D 1F 1=20；同理有如下规律4D 2E 2+5D 2F 2=20，…，4D 2019E 2019+5D 2019F 2019=20． 【详解】∵D 1F 1∥AC ，D 1E 1∥AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=． ∵AB =5，BC =4，∴4D 1E 1+5D 1F 1=20，同理4D 2E 2+5D 2F 2=20，…，4D 2019E 2019+5D 2019F 2019=20，∴4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）=20×2019=40380． 故答案为：40380．11.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．【答案】（2，4，2）．【分析】根据点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论． 【详解】根据题意得：点C 的坐标可表示为（2，4，2）． 故答案为：（2，4，2）．12.砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个． 【答案】3．【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数． 【详解】∵210÷3=70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70=140个金蛋，重新编号为1，2，3， (140)∵140÷3=46...2，∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46=94个金蛋，重新编号为1，2，3， (94)∵94÷3=31…1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31=63个金蛋．∵63＜66，∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．故答案为：3．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y 3=x 3+上，且∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，OA 1=1，则点C 6的坐标是 ．【答案】（47，．【分析】根据菱形的边长求得A 1、A 2、A 3…的坐标然后分别表示出C 1、C 2、C 3…的坐标找出规律进而求得C 6的坐标．【详解】∵OA 1=1，∴OC 1=1，∴∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，∴C 1的纵坐标为：sin 60°•OC 1=横坐标为cos 60°•OC 112=，∴C 1（12．∵四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，∴A 1C 2=2，A 2C 3=4，A 3C 4=8，…，∴C 2的纵坐标为：sin 60°•A 1C 2=y =+求得横坐标为2，∴C 2（2），C 3的纵坐标为：sin 60°•A 2C 3入y 3=x 3+求得横坐标为5，∴C 3（5，），∴C 4（11，，C 5（23，，∴C 6（47，．故答案为：（47，．14.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s =1，则a 2= ；（2）若s =2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15= ．【答案】（1）105；（2）315．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x ）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和； （2）根据x 的特殊值代入要解答，即把x =1代入时，得到结论．【详解】（1）由图2知：（a +b ）1的第三项系数为0，（a +b ）2的第三项的系数为：1，（a +b ）3的第三项的系数为：3=1+2，（a +b ）4的第三项的系数为：6=1+2+3，…，∴发现（1+x ）3的第三项系数为：3=1+2；（1+x）4的第三项系数为6=1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s=1，则a2=1+2+3+…+14=105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x=1时，a0+a1+a2+…+a15=（2+1）15=315．故答案为：315．15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．【答案】6058．【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【详解】由图可得：第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇．故答案为：6058．16.观察下列式子第1个式子：2×4+1=9=32第2个式子：6×8+1=49=72第3个式子：14×16+1=225=152……请写出第n个式子：．【答案】（2n+1﹣2）×2n+1+1=（2n+1﹣1）2．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大2）与1的和；右边是比左边第一个因数大1的数的平方；②第1个式子的第一个因数是22﹣2，第2个式子的第一个因数是23﹣2，第3个式子的第一个因数是24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是2n+1﹣2，从而能写出第n 个式子．【详解】∵第1个式子：2×4+1=9=32，即（22﹣2）×22+1=（22﹣1）2，第2个式子：6×8+1=49=72，即（23﹣2）×23+1=（23﹣1）2，第3个式子：14×16+1=225=152，即（24﹣2）×24+1=（24﹣1）2，……，∴第n 个等式为：（2n +1﹣2）×2n +1+1=（2n +1﹣1）2． 故答案为：（2n +1﹣2）×2n +1+1=（2n +1﹣1）2． 17.如图，直线y 13=x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB ⊥AM ，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1A n 中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为 ．【答案】42223n n -．【分析】根据直线y 13=x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，可分别求出OA 、OM 的长，得出tan ∠AMO 13=，根据同角的余角相等可得∠OAB =∠AMO ，得出tan ∠OAB 13OB OA ==，进而得出OB 13=，进而表示出S 1，S 2，…，S n ．【详解】在直线y 13=x +1中，当x =0时，y =1；当y =0时，x =﹣3；∴OA =1，OM =3，∴tan ∠AMO 13=． ∵∠OAB +∠OAM =90°，∠AMO +∠OAM =90°，∴∠OAB =∠AMO ，∴tan ∠OAB 13OB OA ==，∴OB 13=．∵12133-=，∴2124()39S ==，易得tan 1113B C CBB tan OAB BC ∠==∠=，∴11111333B C BC AC AB ===，∴1143A B AB =，∴221416()39S S ==，同理可得23211616()99S S S ==，34311616()99S S S ==，…，4442421111222221616422222()()()99933333n n n n n n n n S S ------⎛⎫==⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：42223n n -．18.如图，点B 1在直线l ：y 12=x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点∁n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）【答案】173()22n -+． 【分析】根据点B 1的横坐标为2，在直线l ：y 12=x 上，可求出点B 1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C 1、C 2、C 3、C 4……的横坐标，根据规律得出答案．【详解】过点B 1、C 1、C 2、C 3、C 4分别作B 1D ⊥x 轴，C 1D 1⊥x 轴，C 2D 2⊥x 轴，C 3D 3⊥x 轴，C 4D 4⊥x 轴，……垂足分别为D 、D 1、D 2、D 3、D 4…… ∵点B 1在直线l ：y 12=x 上，点B 1的横坐标为2，∴点B 1的纵坐标为1，即：OD =2，B 1D =1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，1111121111112B D DA C D D A OD B D A D C D =====L ，∴点C 1的横坐标为：212++（32）0，点C 2的横坐标为：212++（32）0+（32）014⨯+（32）152=+（32）054⨯+（32）1 点C 3的横坐标为：212++（32）0+（32）014⨯+（32）1+（32）114⨯+（32）252=+（32）054⨯+（32）154⨯++（32）2 点C 4的横坐标为：52=+（32）054⨯+（32）154⨯+（32）254⨯+（32）3……点∁n 的横坐标为：52=+（32）054⨯+（32）154⨯+（32）254⨯+（32）354⨯+（32）454⨯+L L （32）n ﹣15524=+[（32）0+（32）1×+（32）2+（32）3+（32）4……]+（32）n ﹣1 173()22n -=+ 故答案为：173()22n -+19.如图，点A 1，A 2，A 3…，A n 在x 轴正半轴上，点C 1，C 2，C 3，…，∁n 在y 轴正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在第一象限角平分线OM 上，OB 1=B 1B 2=B 1B 3=…=B n ﹣1B n =，A 1B 1⊥B 1C 1，A 2B 2⊥B 2C 2，A 3B 3⊥B 3C 3，…，A n B n ⊥B n ∁n ，…，则第n 个四边形OA n B n ∁n 的面积是 ．【答案】2238n a ．【分析】过点C 1作C 1E ⊥OB 1于点E ，过点A 1作A 1F ⊥OB 1于点F ，过点B 1分别作B 1H ⊥OC 1于点H ，B 1N ⊥OA 1于点N ，先证明：△B 1HC 1≌△B 1NA 1（AAS ），再证明：△B 1C 1E ≌△A 1B 1F （AAS ），即可证得：C 1E +A 1F =B 1F +OF =OB 1，进而可得：1111111238OB C OB A OA B C S S S a =+=V V 四边形，同理可得：22222328OA B C S a =⋅四边形，33322338OA B C S a =⋅四边形，…，22223388n n n OA B C n a S a n =⋅=四边形． 【详解】如图，过点C 1作C 1E ⊥OB 1于点E ，过点A 1作A 1F ⊥OB 1于点F ，过点B 1分别作B 1H ⊥OC 1于点H ，B 1N ⊥OA 1于点N ．∵∠B 1OC 1=∠B 1OA 1，∴B 1H =B 1N ．∵∠HB 1N =∠C 1BA 1=90°，∴∠HB 1C 1=∠NB 1A 1．∵∠B 1HC 1=∠B 1NA 1=90°，∴△B 1HC 1≌△B 1NA 1（AAS ），∴B 1C 1=B 1A 1． ∵∠C 1B 1F +∠A 1B 1F =90°，∠A 1B 1F =90°，∴∠C 1B 1F =∠B 1A 1F ． ∵∠C 1EB 1=∠B 1FA 1=90°，∴△B 1C 1E ≌△A 1B 1F （AAS ），∴C 1E =B 1F ． ∵∠B 1OA 1=45°，∴∠FA 1O =45°，∴A 1F =OF ，∴C 1E +A 1F =B 1F +OF =OB 1．1111111112OB C OB A OA B C S S S OB =+=V V 四边形•C 1E 1111122OB A F OB +⋅=（C 1E +A 1F ）2221113)2228OB a ===，同理，222222221132)2228OA B C S OB a ===⋅四边形，333222231133)3228OA B C S OB a ===⋅四边形，…，2222221133)2288n n nn OA B C n a S OB n a n ===⋅=四边形． 故答案为：2238n a ．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =x 轴交于点A 1，与y 轴交于点A 2，过点A 1作x 轴的垂线交直线l 2：y 3=x 于点B 1，过点A 1作A 1B 1的垂线交y 轴于点B 2，此时点B 2与原点O 重合，连接A 2B 1交x 轴于点C 1，得到第1个△C 1B 1B 2；过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点B 3，过点B 3作y 轴的平行线交l 1于点A 3，连接A 3B 2与A 2B 3交于点C 2，得到第2个△C 2B 2B 3……按照此规律进行下去，则第2019个△C 2019B 2019B 2020的面积是 ．【分析】根据一次函数解析式的求法和相似三角形的性质解答即可．【详解】∵y =x 轴交于点A 1，与y 轴交于点A 2，∴()(12100A A -，，，在y 3x =中，当x =﹣1时，y =，∴113B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，设直线A 2B 1的解析式为：y =kx +b，可得：b k b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得：3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线A 2B 1的解析式为：3y x =，令y =0，可得：x 34=-，∴C 2（34-，0），∴11221111139224388C B B S B C A B =⋅=⨯⨯==V ∵△A 1B 1B 2∽△A 2B 2B 3，∴△C 1B 1B 2∽△C 2B 2B 3，∴2231122223221211()()9C B B C B B S B B A B S B B A B ====V V，∴2231129C B B C B B S S ==V V3342239C B B C B B S S ==V V ，∴△C 2019B 2019B 2020的面积==．21.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S =1+2+22+…+22017+22018①则2S =2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S ﹣S =S =22019﹣1 ∴S =1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29= ； （2）3+32+…+310= ；（3）求1+a +a 2+…+a n的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）．【答案】（1）210﹣1；（2）11332-；（3）①当a =1时，原式=n +1；②当a ≠1时，1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n 111n a a +-=-．【分析】（1）利用题中的方法设S =1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S =2+22+…+29，然后把两式相减计算出S 即可；（2）利用题中的方法设S =1+3+32+33+34+…+310，两边乘以3得到3S =3+32+33+34+35+…+311，然后把两式相减计算出S 即可；（3）利用（2）的方法计算． 【详解】（1）设S =1+2+22+…+29① 则2S =2+22+…+210② ②﹣①得2S ﹣S =S =210﹣1 ∴S =1+2+22+…+29=210﹣1． 故答案为：210﹣1．（2）设S =3+3+32+33+34+…+310①，则3S =32+33+34+35+…+311②，②﹣①得2S =311﹣3，所以S 11332-=，即3+32+33+34+…+31011332-=．故答案为：11332-；（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n ①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+．．+a n +a n +1②，②﹣①得：（a ﹣1）S =a n +1﹣1，分两种情况讨论：①当a =1时，不能直接除以a ﹣1，此时原式=n +1；②当a ≠1时，a ﹣1才能做分母，所以S 111n a a +-=-，即1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n 111n a a +-=-．22.观察以下等式：第 1个等式：211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明． 【答案】（1）21111666=+；（2）()2112121n n n n =+--． 【分析】（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律()2112121n n n n =+--，再利用分式的混合运算法则验证即可． 【详解】（1）第6个等式为：21111666=+． 故答案为：21111666=+； （2）()2112121n n n n =+-- 证明：∵右边()()112112212121n n n n n n n -+=+===---左边，∴等式成立． 故答案为：()2112121n n n n =+--． 23.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d 为 ，第5项是 ．。
中考数学规律型问题专题
中考数学规律型问题专题【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3一、选择题1.（2019）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．82.（2018）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（）A．S=3n B．S=3（n﹣1）C．S=3n﹣1 D．S=3n+13.（2019）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋14．（2019）如图，小聪用一面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．5．（2019）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A ．（，﹣） B ．（1，0） C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1） 6.（2019·广西贺州）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．7．(2019•)按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x二、填空题8.（2018）观察下列各式：，，，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．9.（2019）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10.（2019·）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．11.（2019•省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．12.（2019•省市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）13．（2019）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）14．（2019省）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．15. （2019•省市）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x 轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．16.（2019•）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．17．（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）三、解答题18．（2019）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？19. （2019•）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．答案【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n ＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。
全国专卷2019年中考数学真题分类解析汇编 38规律探索
规律探索一、选择题1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．个数是故答案为：2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）二.填空题1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16 ，第672 行最后一个数是2014．2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是165 ．，得到方程组二.填空题1. （2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为8 ．OA，OA=2，=2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是（，）．考点：规律型：点的坐标；等边三角形的性质．分析：根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，P6的纵坐标为，故答案为：（，）．点评：本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）考点：规律型：数字的变化类．分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解答：解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．≥5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（63，32）．6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014．先计算得到=100=10=1000=10，=1000=10=100=10=1000=10=1000=107．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027 ，4027 ）．（（（8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）个数是故答案为：9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．分析：首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．三.解答题1. （2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4× 4 2= 17 ；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题36 规律探索(含解析)
规律探索一.选择题1. （2019•山东省济宁市 •3分）已知有理数a ≠1，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a 1＝﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是（ ） A ．﹣7.5B ．7.5C ．5.5D ．﹣5.5【考点】数字的变化【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【解答】解：∵a 1＝﹣2， ∴a 2＝＝，a 3＝＝，a 4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣， ∵100÷3＝33…1，∴a 1+a 2+…+a 100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 2. （2019•广东深圳•3分）定义一种新运算：⎰-=⋅-abn n n b a dx x n 1，例如：⎰-=⋅khh k xdx 222，若⎰-=--m522mdx x ，则m =（ ）A. -2B. 52-C. 2D.52【答案】B 【解析】⎰-=-=-=----m51122511)5(mmm m m dx x ，则m =52-，故选B.3.（2019，山东枣庄，3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4. （2019•湖北十堰•3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．5. （2019•湖北武汉•3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．二.填空题1. （2019•江苏连云港•3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1.2.3.4.5.6.7.8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为（2，4，2）．【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．2.（2019•浙江衢州•4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
2019-2020年中考数学试题分类专题1实数
2019-2020年中考数学试题分类 专题1实数选择题 1.（2002年江苏淮安3分）—3的绝对值是【】【答案】C ・ L 考点】绝对值°【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点・3到 原点的距离是灵所［次-』的绝对值是灵 故选G 2.（2002年江苏淮安3分）长江三峡工程电站的总装机容量是18 200 000千瓦，如果用科学记数法表示电站的总装机容量，应记作【 】千瓦.A. 1.82 X 106 B . 1.82 X 107 C . 0.182 X 108 D . 18.2 X 106【答案1B.【若点】科学记颤法.【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为廿1〔鬥 其中l<a<135 n 淘整 熟 表示时关诞要正确确定a 的值収及n 的值.在确定n 的值时，養该数是大于或等于1 还是小于1H 当该数犬于或等于1时，n 为它的整魏位数滅h 当该数小于1时，-n 沖它藹 一个有放数字前0的个数（含小数点前的1个0）・18 200 009 -共&位，从而 I£200000-L82xl0\ 故选玄13.（2003年江苏淮安3分） 2的相反数是【】 11A. — 2 B 2 C. 2 D2【答案】 Bo【考点】 相反数。
【分析】相反数的定义是:如果两个数只有符号不同， 我们称其中一个数为另一个数的相反11数，特别地，0的相反数还是0。
因此 2的相反数是2。
故选B 。
4.（2003年江苏淮安3分）截至5月22日全国各地民政、卫生部门、红十字会、中华 慈善总会等系统共接收防治非典型肺炎社会捐赠款物总计约 177000万元，用科学记数法应表示为（【 】A. 1.77 X 104 万元 B . 1.77 X 105 万元 C . 17.7 X 104 万元 D . 177X 106万元A. 2 B12 C .3 D . ±3【答^13.I考点】科学记数法.【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为凶叽其中口沟整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值B在确定n的值时，看诗数是大于或等于1 还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减I;当该数小于1时.一口为它第—个有■效数字前0的个数（含小数点前的1个0）・177000 —共6位，从而17兀曲=1一？"1叽故选Bn5. （2004年江苏淮安3分）下列式子中，不成立的是【】A .—2>—l B. 3>2 C. 0>—I D. 2>—1【答案】九【考点】有理数的大小比较.【分析】有理数犬小的比较方法；一、数轴比较法；在数轴上表示的两个数匚右边朗数总比左边的数大.二、直捋比较法；h正数都犬于零，负数都小于零.正数大于一切负敷* 2.两个正数匕濒大小，购个负数比较大小，绝对值大的数反而小.因此，一2>—1错误.故选丄6. （2004年江苏淮安3分）据统计，今年1至4月份，全国入境旅游约3371.9万人次，将它保留两位有效数字的结果为【】A. 3.37 X 103 万人次B. 3.4 X 103 万人次C. 3.3 X 10 3 万人次D. 3.4 X 104万人次【答案】氏【若点】科学记数法，有效数字.【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为沪1俨，其中l<a<10, 整数,表示时关键要正确确定a的值以及n怖值.在确定n的值时，看该数是丈于或等于1 还是小于L当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1,当该数小于1时，一H为它第字前0的个数（含小数点前的1个0）・3371.9 —共」位，从而33^1.9=1371 -有效数字的计算方法是’从左辺第一个不是。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2019全国中考数学真题分类汇编之32：规律探索(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：规律探索一、选择题1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【考点】坐标、平移、规律探索【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2. （2019年山东省济宁市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2 的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5【考点】规律探索【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．3. （2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【考点】规律探索、图形的变化规律【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∴a 2019＝a 3＝，故选：D ．5. （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：3，－5，7，－9，11，…… 第n 个单项式是（ ）A.（－1）n －12n －1B.（－1）n2n －1C.（－1）n －12n ＋1D.（－1）n2n ＋1 【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n ， （n 为大于等于1的整数）控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为12+n ，故选C6. （2019年广西贺州市）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝＝＝．故选：B ．7.（2019年河南省）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （﹣3，4），B （3，4）， 将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D 的坐标为（ ）A ．（10，3）B ．（﹣3，10）C ．（10，﹣3）D ．（3，﹣10）【考点】规律探索、旋转【解答】解：∵A （﹣3，4），B （3，4），∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【考点】规律探索、数字的变化【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．9. （2019年内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【考点】规律探索、中点四边形【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题1.（2019年山东省滨州市）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）【考点】规律探索、同底数幂的乘法【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴a n＝＝；故答案为；2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为．【考点】规律探索、二次根式的化简【解答】解：+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2018，故答案为：2018．3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【考点】解直角三角形、规律探索【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在正半轴上，其横坐标为2n ﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为2n﹣2， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为2n ﹣2，与第四点方位相同的点在负半轴上，其横坐标为﹣2n ﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A 2019的方位与点A 23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，故答案为：（﹣22017，22017）．4.（2019年江苏省扬州市）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC∴CB CD AB E D 111= BCBD AC F D 11= ∵AB=5 AC=4 ∴CB CD E D 1115= BCBD F D 114= ∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=403805. （2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
专题17规律探索题(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
… ∴第 2019 个图形中共有： 1+3×2019=1+6057=6058 个〇，故答案为： 6058．
【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用 数形结合的思想解答．
12．（ 2019?甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第
1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个
又∵对于任意的 M i ={ ai， bi} 和 M j ={ aj ，bj} （ i ≠j，1≤i≤S，1≤j ≤S）都有 ai+bi≠aj+bj ，∴ S 的最大值为 5．故
选 C．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出
ai+bi 共有几个不同的值是解题的关键．
1
1
5．（ 2019?济宁）已知有理数 a≠１，我们把
【答案】 A
【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA=1 ，∴ A（ 0， 1），
∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，
∴ A1（ 2 ， 2 ）， A2（ 1， 0）， A3（ 2 ， - 2 ），…，
22
2
2
发现是 8 次一循环，所以 2019÷8=252 …… 3，∴点 A2019 的坐标为（ 2 ， - 2 ），故选 A ．
一般． 11．（ 2019?天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
形中共有 __________ 个〇．
2019 个图
【答案】 6058 【解析】由图可得，第 1 个图象中〇的个数为： 1+3×1=4 ，
第 2 个图象中〇的个数为： 1+3×2=7， 第 3 个图象中〇的个数为： 1+3×3=10， 第 4 个图象中〇的个数为： 1+3×4=13，
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索(含答案)
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索中考备考攻略规律探索型问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.纵观宜宾近五年中考，往往以选择题、填空题形式出现，这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖.其目的是考查收集、分析数据、处理信息的能力.所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题.规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，既考查分析、解决问题能力，也考查观察、联想、归纳能力以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空题、选择题或解答题.中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ ）A .5B .－14C .43D .451.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ ）A. a 10＋b 19 B .a 10－b 19 C .a 10－b 17 D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数： .3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116，1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ .4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n、…，若前n行点数和为930，则n＝（）A.29B.30C.31D.325.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57911131517192123252729………………根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639B.637C.635D.633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（）A B C D6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数4710131619…（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 .8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 .中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 .,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 .5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ .6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.10.一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x －1）个车站发给该站的邮包（x －1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n －x ）个车站的邮包（n －x ）个.（1）根据题意，完成下表：车站序号 在第x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总个数1 n －12 （n －1）－1＋（n －2）＝2（n －2）3 2（n －2）－2＋（n －3）＝3（n －3）4 3（n －3）－3＋（n －4）＝4（n －4）5 … … n 0（2）根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y （用x 、n 表示）； （3）当n ＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？参考答案中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ D ）A .5B .－14C .43D .45【解析】∵a 1＝5，a 2＝11－a 1＝11－5＝－14，a 3＝11－a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－14＝45，a 4＝11－a 3＝11－45＝5，…，∴数列以5、－14、45三个数依次不断循环.∵2 019÷3＝673，∴a 2 019＝a 3＝45.1.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ B ）A .a 10＋b 19B .a 10－b 19C .a 10－b 17D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数：2n －1n 2＋1Ｗ. 3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116， 1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ 1190 Ｗ. 4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法： 设S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，① 则2S ＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.② ②－①，得2S －S ＝S ＝22 019－1.∴S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1＋2＋22＋…＋29＝ ； （2）3＋32＋…＋310＝ ；（3）求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－12； （3）设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，①则aS ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1.②②－①，得（a －1）S ＝a n ＋1－1.∴S ＝a n ＋1－1a －1，即1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝an ＋1－1a －1.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n 、…，若前n 行点数和为930，则n ＝（ B ）A .29B .30C .31D .32【解析】设前n 行的点数和为S ，则S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（2n ＋2）n2＝n （n ＋1）. 若S ＝930，则n （n ＋1）＝930，即（n ＋31）（n －30）＝0，∴n 1＝－31（不合题意，舍去），n 2＝30.5.将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A .639 B .637 C .635 D .633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（ B ）A B C D【解析】根据题意可知前面4个笑脸循环出现，因为2 018÷4＝504……2，所以第2 018个图形是循环出现到第2个图形.6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … n火柴棒根数4 7 10 13 16 19 … 3n ＋1（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？解：（1）见上表；（2）由3（n ＋1）＋1＝22，解得n ＝6. ∴这位同学最后摆的图案是第7个图案.图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ C ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h 2＝1＋12h 1，依次得出h 3、h 4、…、h n ，再对h n 进行计算变形即可.,7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ D ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 （505，505） .【解析】根据各个点（点A 1和第四象限内的点除外）分别位于象限的角平分线上，逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，根据规律推出点A 2 018的坐标.通过观察可得序号是4的倍数的点在第三象限，由2 018÷4＝504……2，得点A 2 018在第一象限，其横、纵坐标都为（2 018－2）÷4＋1＝505.,8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 （47，16） Ｗ.中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ D ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 （2n －1，2n －1） Ｗ.,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1 838 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 （－22 017，22 0173） Ｗ.5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ 1 Ｗ.6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 （3n ＋1） 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形共有 6 058 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.解：尝试 （1）由题意，得－5－2＋1＋9＝3，故前4个台阶上的数字的和是3； （2）由题意，得－2＋1＋9＋x ＝3，所以x ＝－5；应用 由题意知台阶上的数从下到上每4个循环，因为31÷4＝7……3，所以7×3＋1－2－5＝15， 即从下到上前31个台阶上数的和是15. 发现 “1”所在的台阶数为4k －1.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0， 解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019＝1－12 019＝2 018 2 019.10.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（2（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。
中考数学复习专题一探索规律问题试题
在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016在第类型层．类型二图形变化规律这类题型一般是给出一组排列的图形，探索图形的变化规律或图形蕴含的数量关系．解答这类问题，首先要观察图形的变化趋势，即是增加还是减少；然后从第一个图形的构成元素开始分析，寻找其中的变化规律或蕴含的数量关系，归纳出结论后，再验证其正确性．(20__·黑龙江)观察下列图形，第1个图形中有1个三角形；第2个图形中有5个三角形；第3个图形中有9个三角形；…；则第2 017个图形中有_____个三角形．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，找出规律，然后写出第2 017个图形中三角形的个数．4．(20__·连云港)如图，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O 方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( )A．4 B．2 C．2 D．05．(20__·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个菱形，图②中一共有7个菱形，图③中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，图⑨中菱形的个数为( ) A．73 B．81 C．91 D．1096．(20__·内江)将一些半径相同的小圆圈按如图所示的规律摆放，请仔细观察，图n中有___________个小圆圈．(用含n的代数式表示)类型三点的坐标规律这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 017次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A．(1，4) B．(3，0) C．(6，4) D．(8，3)【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2 017除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．7．如图，在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B 绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，…以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2 017的坐标为__________．8．(20__·菏泽)如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－_上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－_上，依次进行下去…，若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为__________．9．(20__·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在_轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，依此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为______________．参考答案【例1】 n＝1时，结果为＝；n＝2时，结果为＝；n＝3时，结果为＝，故第n个式子的结果为.故答案为. 【变式训练】1．B 2. 3.44【例2】第1个图形中，三角形的个数是1；第2个图形中，三角形的个数是1＋4＝5；第3个图形中，三角形的个数是1＋4＋4＝9；…第n个图形中，三角形的个数是1＋4(n－1)＝4n－3.当n＝2 017时，4n－3＝8 065.故答案为8 065.【变式训练】4．A 5.C 6.n2＋n＋4【例3】如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3).∵2 017÷6＝336……1，∴当点P第2 017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，此时点P的坐标为(3，0)．故选B. 【变式训练】7．(4 033，1) 8.9＋3 9.(－，)。
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探索规律专题练习卷
1．观察下列一组数：32，1，710，917，11
26，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是________. (n
为正整数)
2．在求1＋3＋32
＋33
＋34
＋35
＋36
＋37
＋38
的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32
＋33
＋34
＋35
＋36
＋37
＋38
①，然后在①式的两边都乘以3，得3S ＝3＋32
＋33
＋34
＋35
＋3
6
＋37
＋38
＋39
②，②－①，得3S －S ＝39
－1，即2S ＝39
－1，所以S ＝39
－1
2.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把
“3”换成字母m (m ≠0且m ≠1)，能否求出1＋m ＋m 2
＋m 3
＋m 4
＋…＋m
2 016
的值？如能求出，其正确答案是________．
3．如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有________根火柴棒．(用含n 的代数式表示)
4．如图在平面直角坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，OA ＝1.先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2 014次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 014的坐标为________．
5．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( )
A ．M ＝mn
B ．M ＝n (m ＋1)
C ．M ＝mn ＋1
D ．M ＝m (n ＋1)
6．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2 017个格子中的数为( )
3
a b c －1 2 …
A ．3
B ．2
C ．0
D ．－1
7．如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是( )
……
A ．y ＝2n ＋1
B ．y ＝2n
＋n C ．y ＝2
n ＋1
＋n D ．y ＝2n
＋n ＋1
8．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2 017个白色纸片，则n 的值为( )
A ．671
B ．672
C ．673
D ．674
9．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，……设碳原子的数目为n (n 为正整数)，则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示( )
A ．C n H 2n ＋2
B ．
C n H 2n C ．C n H 2n －2
D ．C n H n ＋3
10．观察下列各数：1，43，97，16
15
，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )
A.
2531 B.3635
C.47
D.6263
11．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为( ) A ．135 B ．170 C ．209 D ．252
12．下列图形都是按照一定规律组成的，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形……依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )
A．22 B．24
C．26 D．28
13．观察下列关于自然数的等式：
(1)32－4×12＝5，
(2)52－4×22＝9，
(3)72－4×32＝13，
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×()2＝( )；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
14．将正六边形纸片按下列要求分割(每次分割，纸片均不得有剩余)：
第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；
第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；
按上述分割方法进行下去……
(1)请你在下图中画出第一次分割的示意图；
(2)若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
分割次数n 123…
正六边形的面积S
(3)观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n之间有何关系？(S 用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程)
参考答案
1.2n＋1
n2＋1
2.
m2 017－1
m－1
3. 2n2＋2n或2n(n＋1)
解析：方法一，根据图形的变化规律，得出结果．
方法二，依题意，得
n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；
n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；
n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；
……
n＝n时，根数为2n(n＋1)．
4. (1 342，0)
5.D
6.A
7.B
8.B 9．A 10.C 11.C 12．C 13．解：(1)4 17
(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.
∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，
∴第n个等式成立．
14．解：(1)如图所示：
(2)
分割次数n 123…
正六边形的面积S a2
4
a2
16
a2
64
…
(3)S＝a
4n .。