线性代数基和维数

定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无 关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果 能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是 的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一 组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任 一向量 必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.
span1,2 ,3 span1,3.
证
事实上，若 span1,2 ,3 , 则 k11 k22 k33
k1 2k2 1 k2 k3 3 span1,2. k11 k2 21 3 k33
定理4.5.2 矩阵的初等行变换不改变矩阵 的列之间的线性关系.
1 2 例4.5.5 A 1 , 2 ,3 , 4 ,5 2 求ColA的基. 3
3 2 3 4
3 2 0 1
2 8 7 11
9 2 , 1 8
解：验证可知，对A进行初等行变换后得到的 行最简形矩阵是上例中的B，因此A的主元 列是 1,2 ,5. 由定理4.5.2和上例的结果，有
k11 k2 2 k33 k4 4 k5 5
k11 k2 2 k3 31 22 k4 51 2 k5 5
是 1 , 2 , 5 的线性组合. 因此 1, 2 , 5 是ColB 的生成集. 同时，1 , 2 , 5 是4阶单位阵的不同 列，线性无关. 因此B的主元列构成B的列空 间的一组基.
特殊地，n阶单位阵的列向量组e1, e2 ,..., en 称为 R n 的 标准基.
定理4.5.1 设
S 1 , , p R n , H span 1 , , p .
(1) 如果S中的某个向量 k 是S中其余向量的 线性组合，则从S中去掉 k 后剩余向量构成 的集合仍然是H的生成集. (2) 如果 H 0 , 则必有S的某个子集是H的基. 证明：(1)不妨设 p 是1,, p1 的线性组合：
p c11 cp1 p1.
Hห้องสมุดไป่ตู้的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1 ,, p1 的线性组合. 因此 1 ,, p 1 是H的生成集.
（2）如果初始集合S线性无关，则S是H的基. 否则，S中某个向量可表成其余向量的线性组 合，由（1），可以从S中删除该向量后得到H 的更小的生成集. 只要生成集包含至少两个向 量，则这个过程可以持续到生成集线性无关为 止，从而得到H的一组基. 如果生成集最终只包含一个向量，则由 H 0 可知该向量为非零向量，线性无关，因而是H 的基. 定理说明，基可以通过从生成集中去除冗余 n R 向量构造出来, 且 的非零子空间一定存在基.
定理4.5.5说明子空间H的每一组基含有相同 个数的向量，因此有以下定义. 定义4.5.2 R n 的非零子空间H的维数dimH 定义为H的任一组基中所含向量的个数. 零空间｛0｝的维数规定为0.
n R 空间 的维数是n.
注意：向量空间的维数与向量的维数的区别
例4.5.6 R3 的子空间可以按照维数进行分类： 0维子空间：0 1维子空间：由一个非零向量生成，几何上是 过原点的直线; 2维子空间：由两个线性无关向量生成，几何 上是过原点的平面; 3 R 3维子空间： .
x2 x4 x5 .
上式说明 NulA span , , . 同时， , , 的构造方式保证其线性无关性. 因此， , , 是NulA的基. 以上例子说明将Ax=0的解写成参数形式的 过程同时可以确定NulA的一组基.
例4.5.4 求行最简形矩阵 的列空间的基.
反之，span1,3 中的任意向量
k11 k33 k11 02 k33 span1,2 ,3.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息， 即如果 S 1 , 2 ,, p 是子空间H的线性相关生成 集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集. 另一方面，如果 B 1, 2 ,, r 是H的线性无关生成 集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）. 在这个意义下，线性无关生成集是子空间的最小 生成集，是描述子空间结构的更有效的方式.
§4.5 基和维数
将向量组的极大无关组和秩的概念放在 R n 的子空 间H上来考察.
R n 的非零子空间包含无穷多个向量，在处理有
关子空间的问题时，利用该子空间的生成集会更加 方便. 子空间的生成集不唯一，但不是所有的生成 集都同样有效. 例如，令 u 1 1 , e1 , e2 和 e1 , e2 , u是 R 2 的 2 R 两个生成集，u对于张成 是冗余的. 事实上， 注意到 e1 , e2 , u 是线性相关的.
c , c , , c
1 2 p
T
.
基向量组可以建立一个H中的坐标系统.
例4.5.8
1 1 1 , 2 是 0 2
R 2 的一组基，
xR
则
2
2 的坐标为 , 3
1 1 1 x (2)1 3 2 (2) 3 . 0 2 6
3 31 22 , 4 51 2 .
类似于上例，可证 1,2 ,5 是ColA的生成集. 同时，由 1 , 2 , 5 的线性无关性和定理4.5.2， 知 1, 2 ,5 线性无关. 因此 1,2 ,5 是ColA的基.
定理4.5.3 A的主元列构成ColA的一组基.
例4.5.9
R 中的向量x在单位向量组 e1, e2 ,, en
由 1,2 ,..., p 的线性无关性，
0 c1 d1 c2 d2 cp d p ,
所以 的两种表出方式一致，即表出方式唯一.
定义4.5.3 设 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基. H中的向量x若可表成 x c11 c2 2 ... cp p , 称系数 c1, c2 ,..., c p 为x相对于基B的坐标. 记为
解：令
B 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,
1 0 B 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
5 1 0 0
0 0 1 0
有
3 31 22 , 4 51 2 ,
即3 , 4 是主元列的线性组合. 任取ColB中向量 ,
下面考虑A的零空间和列空间的基.
例4.5.3
3 6 1 1 7 , A 1 2 2 3 1 2 4 5 8 4
求NulA的一组基.
解：利用初等行变换可化A为行最简形：
1 2 0 1 3 A 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0
x4 3x5 0 x1 2 x2 x3 2 x 4 2 x5 0. 0 0
取 x2 , x4 , x5 为自由变量，则解为：
x1 2x2 x4 3x5 , x3 2x4 2x5 .
一般解的参数向量形式为：
x1 2 x2 x4 3x5 2 1 3 x x 1 0 2 2 0 x3 2 x4 2 x5 x2 0 x4 2 x5 2 x4 x4 0 1 0 0 0 1 x x 5 5
T
例4.5.1
3 S , , R , 其中 设 1 2 3
1 4 2 1 2 , 2 5 , 3 1 . 3 6 0 注意到 2 21 3 , 可知S线性相关. 证明
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
注意：是A自身的主元列，而不是行阶梯形矩阵 B的主元列，构成了ColA的基.
子空间的基是不唯一的. 下面，我们讨论基中所含 向量的个数.
n R 定理4.5.4 令H是 的子空间，S 1 , 2 ,, p
是H的生成集. 若m>p，则H中任意m个向量 必线性相关.
定理4.5.5 若子空间H有一组基包含p个向量， 则H的任一组基都恰含有p个向量. 证明：令 B 1 , 2 , , p 是H的包含p个向量 的一组基, S 1,2 ,,r 是H的任一组基. S是H的生成集，由定理4.5.5，H中任意多 于r个向量必线性相关，而B是H的线性无 关子集，所以 p r. 同理 r p. 因此有 r p.