专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式

基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．

三个不等式关系：

（1）a ，b ∈R ，a 2

＋b 2

≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，

a 2＋

b 2

2

≤(

a ＋b

2

)2

，当且仅当a ＝b 时取等号．

上述三个不等关系揭示了a 2

＋b 2

，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(

a ＋b

2

)2

)，当且仅当a ＝b 时

取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则

1

12

-+b a 的最小值为 .

练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22

x y x y

+-的最小值

为 ．

2.若实数,x y 满足1

33(0)2

xy x x +=<<

，则313x y +

-的最小值为 ．

3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则

2ac c c b ab +-+

的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y

x ＋y 的最大值为 ．

【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.

变式：1.若,a b R +∈,且满足22

a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______

3.设R y x ∈,，142

2

=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________

4.已知正数a ，b 满足

19

5ab a b

+=-，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法

【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ，则1

1

24+++y x 的最小值为

练习1．已知正数y x ,满足111=+y

x ，则1914-+-y y

x x 的最小值为 .

2.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y

xy

+的最小值为 ．

3．已知函数(0)x

y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则41

1a b

+-的最小值为 .

4．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．

5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12

.若x ＋2y 的最小值为64，则a b

＝________.

6.已知正实数,a b 满足()()12

122a b b b a a

+=++，则ab 的最大值为 ．

【题型三】代入消元法

【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14

ab =，,(0,1)a b ∈，则

1211a

b

+

--的

最小值为 ．

练习1．设实数x ，y 满足x 2

＋2xy －1＝0，则x 2

＋y 2

的最小值是 ．

2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．

3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．

4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得2

1

4-+

b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________

6.已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，32

2

2

=++z y x ，求xyz 的最大值为______

【题型四】换元法

【典例6】已知函数f (x )＝ax 2

＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠，则1a －1

b

的最大值

是 ．

2．已知正数a ，b ，c 满足b+c≥a，则+的最小值为 ．

练习1．若实数x ，y 满足2x 2

＋xy －y 2

＝1，则22

2522x y

x xy y --+的最大值为 ．

2．设,x y 是正实数,且1x y +=,则22

21

x y x y +++的最小值是____.

3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2

＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为 ．

24

4．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .