专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式
基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
（1）a ，b ∈R ，a 2
＋b 2
≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，
a 2＋
b 2
2
≤(
a ＋b
2
)2
，当且仅当a ＝b 时取等号．
上述三个不等关系揭示了a 2
＋b 2
，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(
a ＋b
2
)2
)，当且仅当a ＝b 时
取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则
1
12
-+b a 的最小值为 .
练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22
x y x y
+-的最小值
为 ．
2.若实数,x y 满足1
33(0)2
xy x x +=<<
，则313x y +
-的最小值为 ．
3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则
2ac c c b ab +-+
的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y 的最大值为 ．
【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.
变式：1.若,a b R +∈,且满足22
a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.
2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______
3.设R y x ∈,，142
2
=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________
4.已知正数a ，b 满足
19
5ab a b
+=-，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法
【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ，则1
1
24+++y x 的最小值为
练习1．已知正数y x ,满足111=+y
x ，则1914-+-y y
x x 的最小值为 .
2.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y
xy
+的最小值为 ．
3．已知函数(0)x
y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则41
1a b
+-的最小值为 .
4．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．
5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12
.若x ＋2y 的最小值为64，则a b
＝________.
6.已知正实数,a b 满足()()12
122a b b b a a
+=++，则ab 的最大值为 ．
【题型三】代入消元法
【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14
ab =，,(0,1)a b ∈，则
1211a
b
+
--的
最小值为 ．
练习1．设实数x ，y 满足x 2
＋2xy －1＝0，则x 2
＋y 2
的最小值是 ．
2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．
3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．
4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得2
1
4-+
b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________
6.已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，32
2
2
=++z y x ，求xyz 的最大值为______
【题型四】换元法
【典例6】已知函数f (x )＝ax 2
＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠，则1a －1
b
的最大值
是 ．
2．已知正数a ，b ，c 满足b+c≥a，则+的最小值为 ．
练习1．若实数x ，y 满足2x 2
＋xy －y 2
＝1，则22
2522x y
x xy y --+的最大值为 ．
2．设,x y 是正实数,且1x y +=,则22
21
x y x y +++的最小值是____.
3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2
＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为 ．
24
4．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .
【题型五】判别式法
【典例7】已知正实数x ，y 满足24
310x y x y
+++=，则xy 的取值范围为 ．
练习1.若正实数满足，则的最大值为 ．
2.设R y x ∈,，132
2=++xy y x ，则y x +2的最大值为________
变式1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式
2
(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，
则实数m 的最大值是 ．
【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数
),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨
⎧<∆>⇔00a 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0
⎩⎨⎧<∆<⇔a
分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值。

一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔
确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

2．设二次函数()c bx ax x f ++=2
（c b a ,,为常数）的导函数为()x f
'
．对任意R x ∈，
不等式()()x f x f '
≥恒成立，则2
22
c
a b +的最大值为 ．
【题型六】分离参数法
【典例8】已知x ＞0，y ＞0，若不等式x 3
+y 3
≥kxy （x+y ）恒成立，则实数k 的最大值为_______ ．
练习1．已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 .
2．若不等式x 2
＋2xy ≤a (x 2
＋y 2
)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为 ．。