位似

位似

一、知识要点

1、位似的概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、性质

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

①位似多边形的对应边平行或共线。

②位似可以将一个图形放大或缩小。

③位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。（2）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

（3）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

注意：

1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

2、两个位似图形的位似中心只有一个；

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

1.位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为 5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________

2.如图27-33，蜡烛与成像板之间的距离为3m，小孔纸板距蜡烛1m，若蜡烛AB长20cm，则所成的像长为_________cm.

图27-33

3.四边形ABCD和四边形A＇B＇C＇D＇是位似图形，O为位似中心，若OA∶OA＇，=1∶2，那么AB∶A＇B＇=________，S四边形ABCD∶S四边形A＇B＇C＇D＇=________.

4.如图27-34所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是________，点O是_____，相似比是________.

图27-34 图27-35

5.如图27-35所示，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且O为位似中心，相似比为1∶2，若A(0，1)、B(2，0)，则F点的坐标为________.

6.下列两个图形不是位似图形的是( )

7.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A＇B＇C＇，的坐标A＇，(0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________

8.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A＇B＇C＇，的坐标A＇(0，-3)、B(-6，0)、C＇(-9，-6)，那么△A BC与△A＇B＇C＇是_____图形，位似中心是_____，相似比为_____.

9.如图27-36所示，按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的2

1

，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，则下列说法： (1)△ABC 与△DEF 是位似形. (2)△ABC ∽△DEF.

(3)△ABC 与△DEF 周长的比为2∶1

(4)△ABC 与△D EF 面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )

图27-36

A.1

B.2

C.3

D.4

10.图27-36中，△ABC 与△DEF 是位似图形.那么，DE 与AB 平行吗?为什么?EF 与BC 呢?DF 与AC 呢?

11.如图27-37所示，O 为四边形ABCD 上一点，以O 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍.

12.如图27-38所示，O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的3

2

(要求对应顶点在位似中心的同旁).

13.如图27-39所示，O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).

图27-37 图27-38 图27-39

14.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的

3

1

，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A.9 B.3 C.3 D.

3

3

2 15.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似

中心是( )

A.一定点

B.原三角形三边垂直平分线的交点

C.原三角形角平分线的交点

D.位置不定的一点

16.下列说法正确的个数是( )

①位似图形一定是相似图形;

②相似图形一定是位似图形;

③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;

④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也

是位似的且相似比相等.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

17.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( )

A.每对对应点所在的直线相交于同一点;

B.两个图形上的对应线段之比等于相似比

C.两个图形上对应线段必平行

D.两个图形的面积比等于相似比的平方

18.如图27-40所示，在直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD.作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点.

图27-40

19.(1)如图27-41所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四

边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；

(2)若已知AB=2cm，BC=3cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，

求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.