北师大版初三数学上册《图形的位似》知识讲解及例题演练

图形的位似--知识讲解

【学习目标】

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

【要点梳理】

要点一、位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点二、坐标系中的位似图形

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.

要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.

【典型例题】

类型一、位似多边形

1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.

A. B. C. D.

【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．

【答案】D

【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．

据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；

而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．

故选D ．

【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．

举一反三

【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（ ）.

A. 3倍

B. 2

1 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断 【答案】C

2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.

【答案与解析】

即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比

为1.5.

画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE

＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案与解析】

作法：

（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；

（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；

（3）连接BF′，延长交AC 于F ；

（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；

∴四边形DEFG 即为所求．

类型二、坐标系中的位似图形

3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．

A 1

B 1

C 1

D 1

E 1 A B C D E

（1）在图中画出四边形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是三角形．

【思路点拨】

（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）如图所示：

（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，

∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，

∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角．

【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．

4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．

（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．

（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．

【思路点拨】

（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．

【答案与解析】

解：（1）图略；

（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

举一反三：

【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？

【答案】

解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.