2020年北京市高考数学试卷及其详细解析

2020年北京市高考数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2} 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则(i z = ) A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i -- 3．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为( )A ．5-B ．5C ．10-D ．104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63+B ．623+C ．123D ．1223+ 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．76．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( )A ．(1,1)-B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 9．已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A ．30303(sintan )n n n ︒︒+ B ．30306(sin tan )n n n ︒︒+C ．60603(sin tan )n n n ︒︒+D ．60606(sin tan )n n n︒︒+8．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1n n T a a a n =⋯=，2，)⋯，则数列{}(n T )A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数f 1()1x lnx x =++的定义域是 ．12．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD = ；PB PD = ．14．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[a ，]b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在1[t ，2]t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，1]t ，1[t ，2]t ，2[t ，3]t 这三段时间中，在[0，1]t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17．（13分）在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和ABC ∆的面积．条件①：7c =，1cos 7A =-；条件②：1cos 8A =，9cos 16B =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案男生女生 支持不支持支持 不支持方案一 200人 400人 300人 100人 方案二350人250人150人 250人（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ．试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）20．（15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求||||PB BQ 的值． 19．（15分）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(t ，())f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ()t ，求()S t 的最小值． 21．（15分）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =．（Ⅰ）若(1n a n n ==，2，)⋯，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若12(1n n a n -==，2，)⋯，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （Ⅲ）若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列．2020年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2}【思路分析】根据交集的定义写出AB 即可．【解析】：集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则{1AB =，2}，故选：D ． 【总结与归纳】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目． 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则(i z = ) A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【思路分析】根据复数的几何意义先求出z 的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可． 【解析】：复数z 对应的点的坐标是(1,2)，12z i ∴=+，则(12)2i z i i i =+=-+，故选：B ． 【总结与归纳】本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．比较基础．3．在52)的展开式中，2x 的系数为( ) A ．5- B ．5 C ．10- D ．10【思路分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数．【解析】：52)的展开式中，通项公式为5215(2)r r rr T C x -+=-， 令522r -=，求得1r =，可得2x 的系数为15(2)10C -=-，故选：C ．【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【思路分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．【解析】：如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB，A在OB上且1AB=，此时距离最小，由5OA=，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选：A．OB=，得4【总结与归纳】本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题．4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A．63++D．1223+C．123+B．623【思路分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解析】：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，几何体的表面积为：13⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故选：D．32222212232【总结与归纳】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．6．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．(1,1)- B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞【思路分析】不等式即21x x >+．由于函数2x y =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【解析】：法一：（通解）（图像法），由不等式()0f x >，即21x x >+． 由于函数2x y =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式()0f x >的解集是(-∞，0)(1⋃，)+∞， 故选：D ．法二：（特值法）（甘肃潘裕补解），我们遵从小题巧做的原则，令x=2，排除AC ，再令x=-1,排除B,故选D【总结与归纳】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题． 7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【思路分析】本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为24y x =，不妨设(1,2)P ，可得可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．【解析】：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为24y x =，则(1,0)F ，准线为l 为1x =-， 不妨设(1,2)P ，(1,2)Q ∴-，设准线为l 与x 轴交点为A ，则(1,0)A -， 可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ 的垂直平分线，经过点P ，故选：B ．【总结与归纳】本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．8．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1n n T a a a n =⋯=，2，)⋯，则数列{}(n T )A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【思路分析】由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{}n a 是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．【解析】：设等差数列{}n a 的首项为d ，由19a =-，51a =-，得511(9)2514a a d ----===-，92(1)211n a n n ∴=-+-=-．由2110n a n =-=，得112n =，而*n N ∈， 可知数列{}n a 是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知190T =-<，2630T =>，33150T =-<，49450T =>为最大项， 自5T 起均小于0，且逐渐减小．∴数列{}n T 有最大项，无最小项．故选：B ．【总结与归纳】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．9．已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k 为偶数和奇数时，是否成立即可． 【解析】：当2k n =，为偶数时，2n απβ=+，此时sin sin(2)sin n απββ=+=，当21k n =+，为奇数时，2n αππβ=+-，此时sin sin()sin απββ=-=，即充分性成立， 当sin sin αβ=，则2n απβ=+，n Z ∈或2n αππβ=+-，n Z ∈，即(1)k k απβ=+-，即必要性成立，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件， 故选：C ．【总结与归纳】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A ．30303(sintan )n n n ︒︒+ B ．30306(sin tan )n n n ︒︒+C ．60603(sin tan )n n n ︒︒+D ．60606(sin tan )n n n︒︒+【思路分析】设内接正6n 边形的边长为a ，外切正6n 边形的边长为b ，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．【解析】：如图，设内接正6n 边形的边长为a ，外切正6n 边形的边长为b ，可得360302sin 2sin 12a n n ︒︒==，360302tan 2tan12b n n ︒︒==， 则66303026(sin tan )2na nb n n n π+︒︒≈=+，即30303(sin tan )n n nπ︒︒≈+，故选：A ．【总结与归纳】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。