程守洙版普通物理学课后习题答案——01运动学习题

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解： x = 4t - 2t3 （1） Δ x = x 0 = 4t - 2t3 = 4× 2 2× 23 = 8 m 8 Δx v= = 4m s Δt= 2 dx = 4 6t 2 = 4 6×22 = 20 m s v= dt （2） Δ x = x3 x2 (4× 3 2× 33) (4× 1 2× 13) = = 44 m 44 Δx v= = 3 1 = 22 m s Δt
1-12 在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成 图示曲线。质点穿在钢丝上，可沿它滑动。 已知其切向加速度为 -gsin q ， 是曲线切向 q 与水平方向夹角。 试证：质点在各 y ds q dy 处的速率v与其位置 坐标 y 有如下关系： q v 2-v02 = 2g (y0-y) 式中 v0与 y0分别为 其初速度与初位置。 x
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v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0 v A (1)求B在时刻 t 的加速度。 v´ B 在 v ´~ t 坐标系中质点2的 b 运动方程为： v 2b 2 2 2 o t v´ + t = ( v0+ c) v´ c o´ 因为 v´= v + c t´ 在 v ~ t 坐标系中质点2的运动方程为： 2 2 2 ( v + c) + t = ( v0+ c) （1） 当 t = 2b， = 0 ；且 v0 =b 代入式（1） v 3 b 得： c = 代入式（1）得： 结束 目录 2
R = (1+ y )
3 2 2
y v o mg
N
a
y a= 1 2 = cos 2 1+ tg a 1+ y
x
y 3+3y 4 = 0 由 N = 0 得： y 2+ y + 4 ) = 0 ( y 1)( 其中 ( y 2+ y + 4)= 0 有两个虚根，不符题意。 ... y 1= 1, x = 1/2 结束 目录
.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t/s
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(2)质点在1秒到3秒时间内的平均速度为： 3.75-3.00 v = =0.285(m/s) 3.0-1.0
(3)由作图法可得到质点在t =0时的位置为：
x =2.71m
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1-2.质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为： x = 4t - 2t3，式中x、t分别以m、s为单位。试 计算： （1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时 速度； （2）1s末到3s末的位移、平均速度； （3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加 a 1+ a 2 速度是否可用 a = 2 计算？ （4）3s末的瞬时速度。
运动学习题
1-1
1-6
1-2
1-7
1-3
1-8
1-4
1-9
1-5
1-10
1-11
1-16 1-21 1-26
1-12
1-17 1-22 1-27
1-13
1-18 1-23 1-28
1-14
1-19 1-24
1-15
1-20 1-25
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习题总目录
1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在 不同时刻的位置如下：
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y = y 0= 4 t = 0 dy = v0 dt y = y 0 v 0t
A
y v0
l = 5m
B
x 2 +y 2 = l 2 将此式微分得： x 2ydy + 2 xdx = 0 用 y0=4, v0= 2, y dy y dx t =1代入，得B端 ( v 0) = x = dt x dt 的速度。 ( y 0 v 0t )v 0 4 = = 0.87m/s = 2 2 21 l ( y 0 v 0t )
轨迹方程： y =4z
2
x =1
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轨迹为在 x = 1 平面的一条抛物线。
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1-10 一质点的运动方程为 x = 3t +5 1 t 2+ 3 t 4 y= 2 （1）以 t 为变量，写出位矢的表达式； （2）描绘它的轨迹； （3）式中 t 以s为单位，x、y以m为单位， 求:质点在t = 4 时的速度的大小和方向。
l v db = h l 0 dt
l b x
h
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l v db = h l 0 dt 所以人影头顶移动速度为： h b = l (x + b )
. ..
h d ( x + b ) h db = l dt = h l v0 dt
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1-6 长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直 的墙上。设 t =0 时，顶端离地面4m,当顶端 以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求： （1）梯子下端的运动方程；并画出x~t 图 和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离 分别为 x 和 y ）。 （2）在 t =1s 时， 5m 下端的速度。 v0 4m
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v （2）当 t = 2b 时B静止 A追上B，A的位移等于B的位移 b A B的位移： B Δ x B = v dt o 2b t 2b 3b 1 2 =0 ( + 25b 4t 2 ) dt 2 2 2b 1 3 b.2b 2 + 0 2 25b 4t 2 dt = 2 2b 其中： 0 25b2 4t 2 dt 4 φ 25 b 2 1 sinφ cosφ ] arc sin 5 [ + = 0 2 2 2 2 = 8.79 b 结束
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x = dx = =
( y 0 v 0t )v 0
2
l
y 0 v 0t ) 2 (
dt + c
= t =0 x =
8 4t dt + c 2 9 4t +16 t 2 9 4t +16 t + c
9 4t +16 t + c = x 0 = 3
2
... c = 0
x=
9 4t +16 t
t/s x/m 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.57 3.00 3.14 3.29 3.42
(1)画出位置对时间的曲线;
(2)求质点在1秒到3秒时间内的平均速度; (3)求质点在t =0时的位置。
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解：
3.60
x/m
.
3.45
3.30 3.15 3.00 2.85 2.70
.
.
.
-10
v/(m.s-1)
10 20 30 40 50 60
o
-10 -10
t/s
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解：由v~t 图的总面积可得到路程为： 1 (30+10)×5 + 1 (20×10) S= 2 2 =200(m)
总位移为： 1 (30+10)×5 Δx = 2
所以平均速度也为零
1 (20×10) =0 2
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dy 已知：x = a e b k e kt y t =0 = b dt = 解： dy = b k e kt dt dy = b k e kt dt + c = b e kt + c y=
kt
当 t =0
y
= b + c =b t =0
... c =0
x = a ekt 轨迹方程： x y =ab { y b e kt = 2 2 dx a k e kt d x = a k 2e kt d y = b k 2e kt 2 = dt dt dt
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1-4.直线 1与圆弧 2分别表示两质点A、B 从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的 v-t 图。已知B的初速v0=b m/s,它的速率由 v0变为0所化的时间为t1= 2bs, （1）试求B在时刻 t v 的加速度； （2）设在B停止时， 1 A恰好追上B，求A的速 b 度； 2 （3）在什么时候， A、B的速度相同？ o 2b t
2
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x=
x
9 4t +16 t
2
v=
v
8 3
8 4t 2 9 4t +16 t
5
3
t
2 4.5
t
8 3
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1-7.人以恒定的速率v0运动，船之初速 为0，求：任以位置船之速度加速度。 y
v
0
x
hh
r
x
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r=xi
hj
y
d r = dx i v = dt dt
v
2
0
O
x
h x
r
r = r=
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(3) v1 = 4 6t = 4 6× 12 = 2 m s 2 v3 = 4 6t = 4 6× 32 = 50 m s v3 v1 50 ( 2 ) a= t = 3 t1 3 1
2
= (4)
24 m s2
dv = 12 t = 12 × 3 a= dt = 36 m s2
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1-3 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度 和时间的关系如图中折线OABCDEF所示。 (1)试说明图中OA、AB、BC、CD、 DE、EF等线段各表示什么运动？ (2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整 个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度。
( v + c) + t = ( v0+ c) （1） 3b v0 = b 代入（1）化简后得： 得： c = 2 2 2 2 （2） v + 3bv + t = 4b
2 2 2
解得： v =
3b
式中取正号，对 t 求导后得： dv a= = dt 2t 25b
2
m
. ..
25b 2
2
4t
2
4t 2
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y
ds
dv = g sinq dt dy sinq = ds
q dy
ds
q
dy
q
x
dv dv ds dy = = g sinq = g ds d t ds d t dv dy v = g ds v dv = g dy ds
v0 y v v dv = y0 g dy
v 2 v02 = 2g ( y y0)
N
a
2ydy = 2dx dy 1 = y = tg a dx 2 dy 1 dy = 1 dx 2 = y 2 dx y 3
mg
x
( 1+y ´ ) R= y´ ´
2
3 2
1 )3 3 (1+ y 2 2 (1+ y 2) 2 = = 1 y3
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m g (2 y ) = 1mv 2 2 mv 2 m g cosa N = R
x +h
2
d r d x 2+ h 2 dx x = d = v0 = 2 2 dt t x + h dt 2 2 d r dx i = v 0 v = dt = dt x +h i x 2 2 2 v0 h d v =d x a = i 2 i = 3 x dt dt
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1-8 在质点运动中，已知 x = aekt , dy/dx = -bke-kt, 当 t = 0, y=y0=b 求：质点的速度和轨道方程。
a = 66.80
v = 3 2+ 7 2 = 7.61m/s
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1-11 一质点沿光滑的抛物线轨道，从起 始位置（2，2）无初速地滑下，如图。问质 点将在何处离开抛物线？抛物线方程为: y2 = 2x，式中x、y以m为单位。 y v o x
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(2,2)
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由
y2
y = 2x两边微分得： v o
k = 0.7
v A = kt = 0.7t
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1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度； （2）影子长度增长的速率。
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h l 解： h b = l (x + b ) =b x +b 上式两边微分得到：
db d ( x + b ) l dx l db h = + =l dt dt dt dt dx v 而 = 0 dt 影子长度增长速率为：
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1 t 2+ 3 t 4 y= x = 3t +5 2 (1) r = ( 3t +5 ) i + ( 1 t 2+ 3 t 4 ) j 解： 2 1 ( x 5 )2 3 ( x 5 ) 4 (2) y = 2 3 + 3
(3) v = 3 i + ( t + 3 ) j = 3 i + 7 j tg a = 7 3
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1-13 如图所示，杆AB以匀角速度绕A 点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动。 设起始时刻杆在竖直位置，OA= h 。 （1）列出质点M沿水平杆OC的运动方程； （2）求质点M沿杆OC沿动的速度和加速 度的大小。 B w x O C M h
...
a = ak
2
e kt i
+ b k e kt
2
j
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1-9一质点的运动方程为 r = i +4t j + t k 式中r、t分别以m、s为单位.试求： （1）它的速度与加速度； （2）它的轨迹方程。
2
解：
d r 8t j k v= t= + d x = 1 y =4t
2
dv 8 j a= dt = z =t
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Δ x B = 3b + 8.79 b = 1.40 b 设A的速度为: v A = kt 2b 2 Δ x A = v dt = 0 kt dt = 2kb 相遇时A与B的位移相等 ：Δ x A = Δ x B
1.40 b = 2kb
2 2
2
2
2
dvA 0.7 m s2 aA = = dt (3) 当 v A = v B 时有： 3b 1 2 25b 4t 2 +2 0.7t = 2 解得： t = 1.07b