线性代数与空间解析几何 教学大纲

《线性代数与空间解析几何》课程教学大纲
课程编号：11100340适用专业：理、工、经、管各专业
学时数：54 学分数： 4 开课学期：第一学期
先修课程：
执笔者：蒲和平编写日期：2010.1 审核人（教学副院长）：高建
一、课程性质和目标
授课对象：本科一年级学生
课程类别：公共基础课
教学目标：
《线性代数与空间解析几何》是理工科大学的基础理论课，是我校培养方案中各专业必修的公共基础课程。

由于线性问題广泛存在于科学技术的各个领域, 其些非线性问題在一定条件下可以转化为线性问題, 尤其是计算机飞速发展的今天, 解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等问题已经成为科学技术人员经常遇到的问題, 因此，本课程所介绍的内容和方法，广泛应用于各个学科，这就要求学生具备有关本课程的基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。

通过本课程的学习使学生获得本课程的基本理论和基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、熟练运算能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，以及综合运用所学知识解决一些实际问题的能力，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

二、课程内容安排和要求
（一）教学内容、要求及教学方法
第一章矩阵及其初等变换
1.教学内容：
（1）矩阵及其运算
（2）高斯消元法与矩阵的初等变换
（3）逆矩阵
（4）分块矩阵
2. 教学要求：
（1）理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解矩阵多项式的概念。

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质。

（4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

（5）了解分块矩阵及其运算。

第二章行列式
1. 教学内容：
（1）n阶行列式的定义
（2）行列式的性质与计算
（3）Laplace展开定理
（4）克拉默法则
（5）矩阵的秩
2. 教学要求：
(1) 了解行列式的概念。

(2) 掌握行列式的性质,会用行列式的性质计算行列式。

(3) 掌握方阵乘积行列式的性质以及矩阵可逆的充分必要条件。

(4) 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

(5) 会用克拉默法则，了解Laplace展开定理。

(6) 理解矩阵秩的概念，了解矩阵秩的性质，掌握用初等变换求矩阵秩的方法。

第三章几何空间
1. 教学内容：
（1）空间直角坐标系与向量
（2）向量的乘法
（3）平面
（4）空间直线
2. 教学要求：
（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；
（2）掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积);了解两个向量垂直、平行的条件。

（3）理解单位向量,方向余絃、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）掌握平面方程和空间直线方程及求法。

（5）会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

（6）会求点到直线以及点到平面的距离。

第四章 n维向量空间
1. 教学内容：
（1）n维向量空间的概念
（2）向量组的线性相关性
（3）向量组的秩与最大无关组
（4）线性方程组解的结构
2. 教学要求：
(1) 理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念。

(2) 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

(3) 理解向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩。

(4) 理解向量组等价的概念；理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。

(5) 了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。

(6) 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

(7) 理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念，了解解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

(8) 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

(9) 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

第五章特征值与特征向量
1. 教学内容：
（1）特征值与特征向量的概念与计算
（2）矩阵的相似对角化
（3）n维向量空间的正交性
（4）实对称矩阵的相似对角化
2. 教学要求：
(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值和特征向量。

(2) 理解相似矩阵的概念，了解相似矩阵的性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角阵的方法，
(3) 了解内积的概念与性质，掌握线性无关的向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

(4) 理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。

(5) 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角矩阵。

第六章二次型与二次曲面
1. 教学内容：
（1）实二次型及其标准形
（2）正定二次型
（3）曲面与空间曲线
（4）二次曲面
2. 教学要求：
(1) 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解可逆变换与合同矩阵的概念。

(2) 了解二次型的标准形、规范形的概念，理解惯性定理。

(3) 会用配方法化二次型为标准形，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。

(4) 理解正定二次型、正定矩阵的概念并掌握其判别方法。

(5) 了解曲面方程的概念，掌握二次曲面的标准方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

(6) 了解将二次曲面一般方程化为标准方程的方法。

(7) 了解空间曲线方程的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程；会求空间曲线在坐标平面上的投影。

教学方法
提倡研究型与探究式教学方法。

要以学生为中心,以教师为主导，激发学生学习的兴趣，充分调动学生自主学习积极性，教师起启发、引导、激励与评价的作用；要以问题为驱动，培养学生提出问題、分析问題、解决问題与评价问題的能力；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，淡化运算技巧的训练；要积极采用现代教育技术，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。

要在课程的教学过程中，认真总结教学经验，不断提高教学质量。

（二）自学内容和要求
了解各章应用实例：
实例一职工轮训
实例二敏感度分析---扰动分析
实例三计算机层析X射线
实例四矩阵、向量在计算机图形学中的应用
实例五投入产出模型
实例六 CO2分子振动
实例七人口流动问题
实例八最小二乘近似
实例九几何应用
实例十相对论：洛仑兹变换
三、考核方式
平时占20%(含作业及单元检测)；
中期考核占20%：闭卷笔试；
期末考核占60%：闭卷笔试.
四、建议教材及参考资料
1. 教材：《线性代数与空间解析几何》（第三版），黄廷祝成孝予高等教育出版社2008.0
2.
2. 参考资料：
《线性代数与空间解析几何学习指导教程》，黄廷祝余时伟高等教育出版社 2005. 《线性代数与解析几何》，俞正光，李永乐，詹汉生. 清华大学出版社 2003.07.
《代数与几何基础》，张肇炽徐仲高等教育出版社 2006.01. 《线性代数》（第二版）居余马清华大学出版社. 2002.09.。