选修4-4极坐标与参数方程单元测试(含解析)

选修4-4极坐标与参数方程单元测试

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.点P的直角坐标为(?√2,√2)，那么它的极坐标可表示为()

A. (2,π

4) B. (2,3π

4

) C. (2,5π

4

) D. (2,7π

4

)

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查点的极坐标的求法，利用直角坐标和极坐标互化公式直接求解即可，属于基础题．

【解答】

解：∵点P的直角坐标为(?√2,√2)，

∴ρ=√2+2=2，tanθ=√2

?2

=?1，

∴θ=3π

4

．

∴点P的极坐标为(2,3π

4

)．

故选B．

2.直线{x=1+t

y=?3√3+√3t

(t为参数)与以原点为极点，x轴正半轴为极轴的圆ρ=4

交于A,B两点，则AB的中点坐标为()

A. (3,?3)

B. (?√3,3)

C. (√3,?3)

D. (3,?√3)【答案】D

【解析】略

3.直线2x?y?1=0经{x′=x

y′=1

2

y变换后，得到的曲线方程为

A. 2x ?2y ?1=0

B. 4x ?y ?2=0

C. x ?2y ?1=0

D. x ?2y ?2=0

【答案】A 【解析】略

4. 曲线的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，化为直角坐标方程为

A. x 2=4y

B. y 2=4x

C. x 2+4y =1

D. y =4x 2

【答案】B 【解析】略

5. 椭圆 {

x =3cos?

y =5sin?

(φ是参数)的离心率是( ) A. 3

5

B. 4

5

C. 9

25

D. 16

25

【答案】B

【解析】解：椭圆{

x =3cos?y =5sin?(φ是参数)消去参数化为普通方程为x 29+y 2

25=1，∴a =5，b =3，∴c =4， ∴e =

c

a =4

5

，

故选：B ．

把椭圆的参数化为普通方程为x 29

+y 2

25=1，求出a 、b 、c 的值，再根据离心率等于e =c

a

求得结果．

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，本题主要考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．

6. 在极坐标系中，点F(1,0)到直线θ=π

4(ρ∈R)的距离是( )

A. 1

2

B. √2

2

C. 1

D. √2

【答案】B 【解析】 【分析】

把极坐标方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求得点F 到直线的距离． 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

解：直线θ=π

4(ρ∈R)的直角坐标方程为y =x ， 故点F(1,0)到直线的距离为√2

=

√2

2

， 故选：B ．

7. 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M(2,π

6)

的直角坐标是( )

A. (2,1)

B. (√3,1)

C. (1,√3)

D. (1,2)

【答案】B

【解析】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ， 可得点M(2,π

6)的直角坐标为(√3,1)， 故选：B ．

根据直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把点M(2,π

6)化为直角坐标． 本题主要考查利用公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把点的极坐标化为直角坐标，属于基础题．

8. 在极坐标系中，坐标为(1,π

6)的点到极轴的距离为

A. 1

B. √3

2 C. √22

D. 1

2

【答案】D 【解析】略

9. 若直线l ：{

x =2t,y =1?4t (t 为参数)与曲线C ：{x =√5cosθ,

y =m +√5sinθ

(θ为参数)相切，则实数m 为( )

A. ?4或6

B. ?6或4

C. ?1或9

D. ?9或1

【答案】A 【解析】略

10. 将曲线y =sin2x 按照伸缩变换{x′=2x

y′=3y

后得到的曲线方程为( )

A. y =3sinx

B. y =3sin 2x

C. y =3sin 1

2x

D. y =1

3sin 2x

【解析】解：∵伸缩变换{x′=2x

y′=3y ，

∴x =1

2

x′，y =1

3

y′，

代入曲线y =sin2x 可得y′=3sin x′，即y =3sin x ． 故选A ．

利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．

本题考查代入法求曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．

11. 直线{

x =1+2t

y =1?t

(t 为参数)与曲线ρ=2cos θ相交，截得的弦长为 A. 2√55

B. 3√55

C. 4√55

D. √5

【答案】A 【解析】 【分析】

本题主要考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题．

先将直线的参数方程化成普通方程，曲线极坐标方程化为直角坐标方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形中求解即可． 【解答】

解：∵直线{

x =1+2t

y =1?t

∴直线的普通方程为x +2y ?3=0，

曲线ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x ?1)2+y 2=1 圆心到直线的距离为d =√5

=

2√5

5

弦长=2√1?4

5=

2√5

5

. 故选A .

12. 极坐标方程(ρ?1)(θ?π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )

A. 两个圆

B. 两条直线

C. 一个圆和一条射线

D. 一条直线和一条射线

【答案】C

【解析】解：方程(ρ?1)(θ?π)=0?ρ=1或θ=π， ρ=1是半径为1的圆， θ=π是一条射线． 故选：C ．

由题中条件：“(ρ?1)(θ?π)=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 双曲线C:x 2?y 2

64

=1经过伸缩变换φ:{

x′=3x

2y′=y

后所得曲线C′的方程 ． 【答案】

x′29

?

y′216

=1

【解析】 【分析】

本题考查图形的伸缩变换，解题时只要代入法代入变形即得． 【解答】

解：由{x′=3x 2y′=y ，得{

x =x′

3y =2y′， 代入方程x 2?

y 264

=1，得

x′29

?

y′216

=1．

故答案为

x′29

?

y′216

=1．

14. 将参数方程为{

x =√t

y =2√1?t

(t 是参数)化为普通方程得_____________．

【答案】x 2

+

y 24

=1，(x ≥0,y ≥0)

【解析】

【分析】

本题考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由{x=√t

y=2√1?t 得{

x=√t

y

2

=√1?t，两式平方作和即可消去参数，得普通方程．

【解答】

解：由{x=√t

y=2√1?t 得{

x=√t

y

2

=√1?t

,

两式平方作和得x2+y2

4

=1，(x≥0,y≥0)

所以参数方程为{x=√t

y=2√1?t (t是参数)的普通方程为x2+y2

4

=1，(x≥0,y≥0)，

故答案为x2+y2

4

=1，(x≥0,y≥0)．

15.14.在极坐标系中，点到直线的距离为．

【答案】1

【解析】

【分析】

本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离．

【解答】

解：先把点极坐标化为直角坐标，

再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，

利用点到直线距离公式．

故答案为1．

16.在极坐标系中，设圆ρ=3

2

上的点到直线ρ(√7cosθ?sinθ)=√2的距离为d，则d 的最大值为________．

【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由圆ρ=3

2化为直角坐标方程：x2+y2=9

4

，可得圆心O(0,0)，半径r=3

2

．

直线ρ(√7cosθ?sinθ)=√2化为：√7x?y?√2=0.求出圆心O到直线的距离，即可得出d的最大值．

【解答】

解：由圆ρ=3

2化为直角坐标方程：x2+y2=9

4

，可得圆心O(0,0)，半径r=3

2

．

直线ρ(√7cosθ?sinθ)=√2化为：√7x?y?√2=0．

圆心O到直线的距离√2

√7+1=1

2

．

∴d的最大值=1

2

+r=2．

故答案为2．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. (选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程是：

{x =?√5+√2

2

t

y =√5+√

22t

(t 为参数)．

(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；

(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的1

2，再向左平移1个单位，得到曲线曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．

【答案】解：(Ⅰ)由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x 2+y 2=4x 即曲线C 的方程为(x ?2)2+y 2=4，直线l 的方程是：x ?y +2√5=0…(4分) (Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的1

2，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4，设曲线C 1上的任意点(cosθ,2sinθ) 到直线l 距离d =

√5|

√2

=

√5?√5sin(θ+?)|

√2

．

当sin(θ+φ)=1时

到直线l 距离的最小值为√10

2. …(10分)

【解析】(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得C 的直角坐标方程，将直线l 的参数消去得出直线l 的普通方程． (Ⅱ)曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4，设曲线C 1上的任意点(cosθ,2sinθ)，利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

本题考查曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．

18. 选修4?4；坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程是{

x =2cosφ

y =3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π

3). (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． 【答案】解：(1)点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,π

3),(2,

5π

6

),(2,

4π

3

),(2,11π6

)

点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,√3),(?√3,1),(?1,?√3),(√3,?1) (2)设P(x 0,y 0).则{x 0=2cosφy 0=3sinφ{x 0=2cos?

y 0=3sin?

(?(φ为参数) t =|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02

+16=32+20sin 2φ

∵sin2φ∈[0,1]

∴t∈[32,52]

【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．

(1)确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；

(2)利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+ |PD|2的取值范围．

19.已知点M是曲线C1：4x2?y2?4=0上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C2的极坐标方程为ρ=2，菱形ABCD的顶点都在曲线C2上，且A，B，C，

)．

D按逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,π

6

(1)求曲线C2的直角坐标方程，并写出A，B，C，D的直角坐标；

(2)求√|MA|2+|MC|2?√|MB|2+|MD|2的最小值．

【答案】(1)∵ρ=2，∴ρ2=4，所以曲线C2的直角坐标方程x2+y2=4．

)，知点A的直角坐标为(√3,1)菱形ABCD的顶点都在圆C2上，由点A的极坐标为(2,π

6

所以菱形ABCD是正方形，故知各顶点的直角坐标为A(√3,1)，B(?1,√3)，C(?√3,?1)，D(1,?√3).

(2)√|MA|2+|MC|2?√|MB|2+|MD|2=

√(x?√3)2+(y?1)2+(x+√3)2+(y+1)2?

√(x+1)2+(y?√3)2+(x?1)2+(y+√3)2=√2x2+2y2+8?√2x2+2y2+8=

2x2+2y2+8，将4x2?y2?4=0带入上式，得√|MA|2+|MC|2?√|MB|2+|MD|2= 10x2，∵|x|≥1，∴x2≥1，∴√|MA|2+|MC|2?√|MB|2+|MD|2?10，当x=±1时，取得最小值10．

【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，考查两点间的距离公式．

(1)确定A，B，C，D的极坐标，即可得到直角坐标；

(2)利用两点间的距离公式求出式子，在结合点M在曲线上，利用函数的单调性求出最

小值．

20. (本大题满分10分)

在直角坐标系

中，圆

的方程为

．

(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； (2)直线的参数方程是

(为参数)，与交于

两点，

，求的斜率．

【答案】解：(1)∵圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25， ∴x 2+y 2+12x +11=0，

∵ρ2=x 2+y 2，x =ρcosα，y =ρsinα， ∴C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0． (2)∵直线l 的参数方程是{x =tcosα

y =tsinα(t 为参数)， ∴直线l 的一般方程y =tanα?x ，

∵l 与C 交与A ，B 两点，|AB|=√10，圆C 的圆心C(?6,0)，半径r =5， ∴圆心C(?6,0)到直线距离d =

√1+tan 2α

=√25?

104

，

解得tan 2α=5

3，∴tanα=±√5

3

．

∴l 的斜率√153

或?√15

3

．

【解析】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用，属中档题．

(1)本小题考查圆的极坐标方程，只需把圆C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x 2+y 2，x =ρcosα，y =ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程；

(2)本小题考查直线和圆的位置关系，关键是由直线l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l 的斜率．

21. 【选修4?4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈[0,π

2]． (1)求C 的参数方程；

(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y =√3x +2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．

【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ， 可得直角坐标方程：x 2+y 2?2x =0， 配方为：(x ?1)2+y 2=1，圆心C(1,0)．

可得参数方程为：{

x =1+cosα

y =sinα(α∈[0,π]，α为参数)． (2)如图：

设切点D(1+cosα,sinα)．

∵CD//l ，则sinα

1+cosα?1=√3，即tanα=√3， 解得α=π

3．

∴D (32,

√3

2

)． 【解析】本题考查了极坐标系，曲线的参数方程和两条直线垂直的判定．

(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，利用三角函数基本关系式可得：圆C 参数方程．

(2)设切点D(1+cosα,sinα)，根据CD//l ，可得sinα

1+cosα?1

=√3，解出即可得出．

22. 【选修4?4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +3t

y =4t (t 为参数)，在以O

为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=ρcos 2θ+4cos θ．

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)设直线l 与x 轴交于点P ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，若|AB|是|PA|与|PB|的等比中项，求实数m 的值．

【答案】解：(1)由直线l 的参数方程得x =m +3×y

4， 所以直线l 的普通方程为4x ?3y ?4m =0．

由ρ=ρcos2θ+4cosθ得ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ，即y 2=2x ． 所以，曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ．

(2)∵P(m,0)，直线的参数方程为{x =m +3

5t y =4

5

t

(t 为参数)，将其代入y 2=2x ， 得1625t 2=2(m +3

5t)，即8t 2?15t ?25m =0． ∵Δ=225+800m >0，∴m >?9

32． 由韦达定理可知t 1+t 2=

15

8

，t 1·t 2=?25m 8

，

∵|AB|是|PA|与|PB|的等比中项，

∴|AB|2=|PA|·|PB|，即(t 1?t 2)2=|t 1·t 2|， ∴(t 1+t 2)2?4t 1·t 2=|t 1·t 2|， 显然当时m ≥0不满足题意，于是m <0， ∴(t 1+t 2)2=5t 1·t 2， 即(15

8)2=5(?

25m 8

)，

解得m =?9

40．

【解析】本题考查参数方程和普通方程的转化，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，等比中项的性质，考查计算能力，属于中档题．

(1)直接利用将t =y

4，代入x =m +3t ，整理即可求得直线l ，将极坐标ρ=ρcos2θ+4cosθ两边同乘以ρ，整理求得曲线C 的普通方程；

(2)将直线l 代入曲线C ，求得关于t 的一元二次方程，Δ>0，求得m 的取值范围，由

韦达定理求得t 1+t 2=

15

8

，t 1·t 2=?25m 8

，由|AB|2=|PA|·|PB|，可知(t 1+t 2)2=5t 1·

t 2，代入即可求得m 的值．

23. [选修4—4：坐标系与参数方程]

已知直角坐标系xOy 中，直线l 过点P(1,0)，且倾斜角α为钝角，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+2sin 2θ)=3． (Ⅰ)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若α=

5π6

，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求|MN|的长．

【答案】解：(Ⅰ)l 的标准参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα (t 为参数，α∈(π

2,π))， 曲线C 的直角坐标方程为

x 23

+y 2=1；

(Ⅱ)∵α=

5π6

，

∴sinα=1

2，cosα=?√32， ∴直线的参数方程{x =1?

√32

t y =1

2t

把直线l 代入

x 23

+y 2=1中，

可得3t 2?2√3t ?4=0， ∵P(1,0)在椭圆内部，

所以Δ>0且点M ，N 在点P 异侧， 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=

2√3

3

，t 1t 2=?4

3，

∴|MN |=|t 1?t 2|=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2=

2√15

3

．

【解析】此题考查直线的参数方程、椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，及利用直线的参数方程求直线与椭圆相交的弦长．

(Ⅰ)利用直线参数方程、切线极坐标方程与普通方程互化的公式，得直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)将直线的参数方程代入椭圆的普通方程得3t 2?2√3t ?4=0，则t 1+t 2=2√3

3

，t 1t 2=?4

3，所以得弦长为|MN |=|t 1?t 2|=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2=2√153

．