经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

《极坐标和参数方程》综合测试题

1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点

P （1,0），倾斜角为3

π

，且直线l 和曲线C 1交于A ，B 两点． （1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求

+

．

2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极

点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；

（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+

）=3

，射线OM ：θ=和圆C 的交

点为O 、P ，和直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C 的参数方程；

（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x +y 的最大值，并求

出此时点P 的直角坐标．

4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐

标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=

．

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l 的参数方程为

（t 为参数），3P ,02⎛⎫

⎪⎝⎭

，当直线l 和曲线C

相交于A ，B 两点，求

2

AB

PA PB

⋅.

5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立

极坐标系，曲线C 1的参数方程为3cos (2sin x y θ

θθ=⎧⎨=⎩为参数）

，曲线C 2的极坐标方程为

．

（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．

6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；

（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．

7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）和曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．

（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；

（2）已知直线l和曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．

9．在极坐标系中，射线l：θ=和圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．

（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．

11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；

（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，

（1）求曲线C的参数方程；

（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．

13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）和C1交于O、A两点，和C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．

14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换

后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3和曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．

15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．

（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系，求半圆C 的极坐标方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆C 上一点，且OT=

，试写出T 点的极

坐标．

16．已知曲线C 1的参数方程为

（t 为参数），以坐标原点为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1和C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

《极坐标和参数方程》综合测试题答案

一．解答题（共16小题）

1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P

（1,0），倾斜角为3

π

，且直线l 和曲线C 1交于A ，B 两点． （1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求

+

．

【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1． ∴曲线C 1的直角坐标方程为=1， ∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣

，0），（

，0），长轴长为4的椭圆

（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得2134120t t +-=．

设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∴

+

=

2

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． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极

点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；

（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+

）=3

，射线OM ：θ=和圆C 的交

点为O 、P ，和直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程

为参数）