极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)
极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答汇编
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
高中数学极坐标与参数方程大题及答案
高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。
二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。
因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。
对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。
2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。
利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。
我们现在来作图，首先确定参数的范围。
极坐标参数方程经典练习题带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标参数方程大题及答案详解
极坐标参数方程大题及答案详解1. 题目描述求函数 $r = f(\\theta)$, 其中 $f(\\theta)$ 是 $\\theta$ 的某个函数。
问题描述已知函数 $r = f(\\theta)$，具体要求如下：1.求函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。
2.求 $r = f(\\theta)$ 的对称轴。
3.求 $r = f(\\theta)$ 的顶部和底部的点。
4.求函数 $r = f(\\theta)$ 在给定范围内的最大值和最小值的坐标。
给定的函数 $r = f(\\theta)$ 满足条件：函数的定义域为 $\\theta \\in [a, b]$。
请根据给定题目中的参数方程，完成以上要求。
2. 解答详解给定函数 $r = f(\\theta)$ 的参数方程，我们首先可以绘制其图像，具体步骤如下：1.初始化一个极坐标系。
2.根据给定函数 $r = f(\\theta)$ 的参数方程，计算r和 $\\theta$ 所对应的坐标点。
3.将得到的坐标点在极坐标系上绘制出来。
4.连接相邻的点，即可得到函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。
完成上述步骤后，我们可以得到函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。
下面我们根据题目的要求，依次解答其他问题：2.1 求函数 $r = f(\\theta)$ 的对称轴函数 $r = f(\\theta)$ 的对称轴是指图像关于某条直线对称。
我们可以通过以下步骤来求解对称轴：1.对于给定的$\\theta$ 的取值范围，找到该范围内的最大值和最小值。
2.计算最大值和最小值所对应的函数值r。
3.选取最大值和最小值所对应的角度 $\\theta_{max}$ 和$\\theta_{min}$，计算其平均值 $\\theta_{avg}$。
4.根据 $\\theta_{avg}$ 计算其所对应的函数值r avg。
5.当 $\\theta$ 从 $\\theta_{avg}$ 开始递增或递减时，观察r的变化趋势，若r的值逐渐减小或递增，说明图像关于 $\\theta_{avg}$ 对称；若r的值逐渐增大或递减，说明图像不关于 $\\theta_{avg}$ 对称。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程． C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
29．在平面直角坐标系
xoy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
（
为参数），直线
l
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MA | | MB | 的值．
(2, )
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。 （I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
，直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
x 4 cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
为
t
2
，Q
为
C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
（t
为参数）距离的最大值。
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◎
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2024_2025学年新教材高考数学选修4_41考点2极坐标与直角坐标的互化练习含解析
考点2 极坐标与直角坐标的互化（2024·北京卷（理））在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a ＞0）与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1）2＋y 2＝1，圆心C （1,0），半径r ＝1.∵直线与圆相切，∴d ＝√22＝1，∴|a －1|＝√2. 又a ＞0，∴a ＝√2＋1.【答案】√2＋1（2024·全国Ⅰ卷（理））选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为（x ＋1）2＋y 2＝4.（2）由（1）知C 2是圆心为A （－1,0），半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B （0,2）且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满意题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【答案】见解析（2024·江苏卷）选修4－4：坐标系与参数方程−a)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6的弦长．【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为（2,0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为−a)＝2，ρsin(π6，则直线l过点A（4,0），且倾斜角为π6所以A为直线l与圆C的一个交点．.设另一个交点为B，则∠OAB＝π6如图，连结OB．因为OA为直径，从而∠OBA＝π，2＝2√3.所以AB＝4cos π6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2√3.【答案】见解析。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
高考数学题极坐标与参数方程大训练含答案
高考23题极坐标与参数方程大训练1.1在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为,半径r ＝1,P 在圆C 上运动,求圆C 的极坐标方程；2．设直线l 经过点)3,2(πP ,倾斜角6πα=,写出直线l 的极坐标方程. 2．2009·高考辽宁卷在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－＝1,M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． 1写出C 的直角坐标方程,并求出M 、N 的极坐标； 2设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程．3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ,设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数．1将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； 2设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.4.已知曲线1C 的参数方程为210,10x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ θ为参数,曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． 1将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. 2曲线1C ,2C 是否相交 若相交,请求出公共弦的长；若不相交,请说明理由．5.2015·高考全国卷Ⅰ在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：x －12＋y －22＝1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 1求C 1,C 2的极坐标方程；2若直线C 3的极坐标方程为θ＝ρ∈R ,设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积． 6.本题满分12分已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ＋6＝0.1将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程； 2若点Px ,y 在该圆上,求x ＋y 的最大值和最小值．7.2014·高考课标全国卷Ⅱ在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈. 1求C 的参数方程；2设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l ：y ＝x ＋2垂直,根据1中你得到的参数方程,确定D 的坐标．8.2013·高考课标全国卷已知曲线C 1的参数方程为t 为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.1把C 1的参数方程化为极坐标方程；2求C 1与C 2交点的极坐标ρ≥0,0≤θ＜2π．9.2015·高考陕西卷在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为t 为参数．以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.121⎝⎛Ⅰ答方2的31解所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.2将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为4(2)3y x =--.令0y =,得2x =,即M 点的直角坐标为(2,0).又曲线C 为圆,圆C 圆心的直角坐标为(0,1),半径1r =,则MC =∴1MN MC r +=≤.故MN 的最大值为15+. 4.14分已知曲线1C 的参数方程为2,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ θ为参数,曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． 1将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. 2曲线1C ,2C 是否相交 若相交,请求出公共弦的长；若不相交,请说明理由．.解：1由2,,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得22(2)10x y ++=.∴曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=. ∵θθρsin 6cos 2+=, ∴θρθρρsin 6cos 22+=.∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x ,∴y x y x 6222+=+,即10)3()1(22=-+-y x . ∴曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(22=-+-y x .2∵圆1C 圆心的直角坐标为)0,2(-,圆2C 圆心的直角坐标为)3,1(,∴12C C∴两圆相交. 设相交弦长为d ,原ρ的立坐的l8.2013·高考课标全国卷已知曲线C 1的参数方程为t 为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.1把C 1的参数方程化为极坐标方程；2求C 1与C 2交点的极坐标ρ≥0,0≤θ＜2π．解：1将消去参数t ,化为普通方程x －42＋y －52＝25,即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 2C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由解得或所以C 1与C 2交点的极坐标分别为,,2,．9.2015·高考陕西卷在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为t 为参数．以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.1写出⊙C 的直角坐标方程；2P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标． 解：1由ρ＝2sin θ,得ρ2＝2ρsin θ, 从而有x 2＋y 2＝2y ,所以x 2＋y －2＝3. 2设P ,又C 0,, 则|PC |＝＝,故当t ＝0时,|PC |取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为3,0．10.2013·福建高考理科·Ｔ21在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π,直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ,且点A 在直线l 上;Ⅰ求a 的值及直线l 的直角坐标方程；Ⅱ圆C 的参数方程为)(sin ,cos 1为参数a a y a x ⎩⎨⎧=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系.解析Ⅰ由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上,可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=Ⅱ由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0),半径1r=以为圆心到直线的距离12d =<,所以直线与圆相交。
极坐标参数方程大题(含答案)
1、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程； （2与圆交于点，求线段的长.2、在直角坐标系中，以原点为极点，点的，点，曲线．（1和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.3、在平面直角坐标系中，直线（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为 （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求xOy C O xC C ,M N MN O A B 22:(1)1C x y -+=AB O l C M AB N ||||2OM ON =l xOy l t O x C l C P C l B A ,4、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线和曲线的普通方程； （2）已知点，且直线和曲线交于两点，求的值5、在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.6、在平面直角坐标系中，直线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若是直线C最大值.xOy C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k x l l C (2,0)P l C A B ，||||||PA PB -l ()0,1P x C 4sin ρθ=l C l C A B 、xoy l t x 2sin ρθ=l ()1,A ρθl参考答案1、【答案】（1（2试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标代入，得到，所以试题解析： （1（2得，∴，，∴2、【答案】（1）,；（2）.试题分析：（1）将代入化简得.同理求出点,的直角坐标分别为,，所以的直角坐标方程为，极坐标方程为；（2）设射线，代入曲线得,代入直线得：，代入求得，即方程为. 试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：所以射线所在直线的直角坐标方程为 考点：坐标系与参数方程.cos ,sin x y ρθρθ==2250ρρ--=2250ρρ--=122ρρ+=125ρρ=-2cos ρθ=sin 3ρθ=3y x =cos ,sin x y ρθρθ==22(1)1x y -+=2cos ρθ=A B (0,3)A AB 3y =sin 3ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB ||||2OM ON =tan 3α=3y x =A B (0,3)A AB sin 3ρθ=C 2cos ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB l 3y x =3、【答案】（1（2试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．试题解析：（1得直线得圆的直角坐标方程为把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得故可设，又直线l ，两点对应的参数分别为，，考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题．4、【答案】（1）（2试题分析：（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线过P ，写出直线的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数，得曲线的普通方程为y x ,y x ,θρcos =x θρsin =y θρcos θρsin 2ρρl C l C 1t 2t B A ,1t 2t 24y x =l l l C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k k C 24y x =因为直线所以直线（2）因为直线经过点，所以得到直线（为参数）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.5、【答案】（1）直线(为参数）；曲线的直角坐标方程为；（2试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线的参数方程，利用化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方试题解析：（1）直线(为参数）. ∵，∴，∴，即， 故曲线的直角坐标方程为.l l l 20P （，）l t l C l t C ()2224x y +-=l y sin ,x cos ρθρθ==l t 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=()2224x y +-=C ()2224x y +-=（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，显然,∴,∴6、【答案】（1，曲线；（2）2试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，利用公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2这个最大值易求．【详解】（1）∵直线（为参数），∴消去参数，得直线由，得直线C的极坐标方程为，即，∴由，，得曲线C的直角坐标方程为.（2）∵在直线C上，l C230t t--=∆>2121,3lt t t t+==-2220x y y+-=cos,sinx yρθρθ==l tlcos,sinx yρθρθ==l2sinρθ=22sinρρθ=222x yρ=+sin yρθ=2220x y y+-=()1,Aρθl2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公是解题基础，在求论易得，学习时应注意体会．cos,sinx yρθρθ==。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
极坐标参数方程大题及答案高中
极坐标参数方程大题及答案高中问题一已知极坐标方程$r = 2\\sin(\\theta)$，求图形的方程。
解答：为了求得图形的方程，我们需要将极坐标方程转化为直角坐标方程。
通过换元法，我们可以将极坐标方程转化为两个直角坐标方程，如下所示：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$我们将极坐标方程$r = 2\\sin(\\theta)$代入上述直角坐标方程中，得到：$$x = 2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\sin^2(\\theta)$$从以上方程可以看出，这是一个平面上的曲线，但我们还需要进一步确定它的形状。
为了做到这一点，我们可以进行图形绘制。
问题二绘制$r = 2\\sin(\\theta)$的图形。
解答：通过绘制$r = 2\\sin(\\theta)$的图形，我们可以更好地理解它的形状。
下面是该图形的绘制结果：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plttheta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)r = 2 * np.sin(theta)x = r * np.cos(theta)y = r * np.sin(theta)plt.figure(figsize=(6, 6))plt.plot(x, y, color='blue')plt.title('Graph of r = 2 * sin(theta)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.grid(True)plt.show()通过运行上述代码，我们可以得到$r = 2\\sin(\\theta)$的图形。
从图中可以看出，该曲线是一个以原点为中心的对称图形，形状类似于玫瑰花。
极坐标与参数方程 练习题及解析
极坐标与参数方程练习题及解析1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x xy yλλϕμμ''=⋅>⎧⎨=⋅>⎩的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任何实数．注：极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点．极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．若ρ<0，则−ρ>0，规定点(−ρ，θ)与点(ρ，θ)关于极点对称，即(−ρ，θ)与(ρ，π+θ)表示同一点．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P(ρ，θ)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ，θ＋2kπ)或（−ρ，θ＋(2k+1)π），(k∈Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制，则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定ρ>0，0≤θ<2π或ρ< 0，−π<θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的，即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，从图中可以得出：x =ρcos θ , y =ρsin θ , ρ2=x 2+y 2 ， ()tan 0yx xθ=≠． 4．常见曲线的极坐标方程5在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点()00,P x y ，倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭的直线的参数方程00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．设P 是直线上的任意一点，则t 表示有向线段P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量．参数的几何意义是有向线段P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量． （2）圆(x −a)2+(y −b)2=r 2的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数）；椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的参数方程为cos sin x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数）．（4）抛物线y 2=2px 参数方程22(2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数，1tan t α=）．参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形， 则一定要通过．根据t 的取值范围导出的取值范围．)(),(t g y t f x ==y x ,一、解答题．1．直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线； （2）设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求|MN|的最小值．【答案】（1）l:x +y =4，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；（2）2√2−√5．【解析】（1）由题得直线l:x +y =4，曲线22:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2219x y +=， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．（2）设N(3cos α，sin α)，则|MN|就是点N 到直线l 的距离，MN ==（φ的终边在第一象限且tan φ=3），当sin(α+φ)=1时，min ||MN ==． 【点评】参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解．2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M (0，1)，倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ． （1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l 的参数方程； （2）若直线l 被圆C 截得的弦长为√13，求直线l 的倾斜角α． 【答案】（1）C ：x 2+y 2−4y =0，cos :1sin x t l y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）；（2）6πα=或56π．【解析】（1）ρ=4sin θ⇒ρ2=4ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，① 直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．②（2）将②代入①⇒t 2−2sin α⋅t −3=0⇒t 1+t 2=2sin α，123t t ⋅=-，l 被C 截得弦长121sin 2d t t α=-====， ∴6πα=或56π． 【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换，直线参数方程中，参数的几何意义，属于中档题． 3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)−3，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，P (x ，y)是圆C 上的动点，试求x +2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【答案】（1）2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩是参数）；（2）最大值为11，P(3，4)．【解析】（1）因为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)−3，所以x 2+y 2−4x −4y +3=0， 即(x −2)2+(y −2)2=5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．（2）由（1）可知点P 的坐标可设为(2+√5cos φ，2+√5sin φ)，则x +2y =2+√5cos φ+4+2√5sin φ=2√5sin φ+√5cos φ+6=5sin(φ+α)+6，其中cos α=，sin α=， 当x +2y 取最大值时，sin(φ+α)=1，2,2k k πϕαπ+=+∈Z ，此时cos cos()sin 2πϕαα=-==，sin sin()cos 2πϕαα=-== 所以x +2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3，4)．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域，属于中档题．4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1122x t tt y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（2）已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且103PM PN ⋅=，求l 的参数方程． 【答案】（1）2222cos 4sin 4ρθρθ-=；（2）322x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．【解析】（1）由1122x t t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得112x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∵2222221111224t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+--=++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴x 2−(2y )2=4，即x 2−4y 2=4，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴2222cos 4sin 4ρθρθ-=， 即曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ-=． （2）设l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入x 2−4y 2=4，整理得()222cos 4sin 6cos 50t t ααα-++=， 设方程的两根分别为t 1，t 2，则12225cos 4sin t t αα=-， 则1222510cos 4sin 3PM PN t t αα⋅===-，解得cos 2α=±， ∵02πα<<，∴4πα=，故l的参数方程为322x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．【点评】在利用参数的几何意义时，一定要将参数方程化为标准方程．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1是圆心在(0，2)，半径为2的圆，曲线C 2的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数且02t π≤≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（2）若曲线C 2与坐标轴交于A 、B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线C 1交于点M （异于原点），求OM OP的最大值．【答案】（1）ρ=4sin θ；（2）√2+1．【解析】（1）曲线C 1的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4，即x 2+y 2−4y =0， 所以曲线C 1的极坐标方程为24sin ρρθ=，即ρ=4sin θ．（2）曲线C 2的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，因为曲线C 2与两坐标轴相交，所以曲线C 2交x 轴于点A (2，0)、交y 轴于点B (0，2)， 所以，线段AB 的方程为x +y −2=0(0≤x ≤2)， 则线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭， 设点P 、Q 的极坐标分别为P (ρ1，θ)、Q (ρ2，θ)，点P 在线段AB 上，可得ρ1cos θ+ρ1sin θ=2，可得12sin cos OP ρθθ==+，点Q 在曲线C 1上，则|OM |=ρ2=4sin θ，2sin cos 4sin 2sin 2sin cos sin 2cos 212OM OP θθθθθθθθ+=⨯=+=-+214πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，02πθ≤≤，可得32444πππθ-≤-≤， 当242ππθ-=时，即当38πθ=时，OM OP取得最大值√2+1．【点评】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决．6．在直角坐标系xOy 中，直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线22:2x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）相交于不同的两点A ，B ． （1）当4πα=时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若|MA ||MB |=2||MA |−|MB ||，其中M (√3，0)，求直线l 的倾斜角． 【答案】（1）l ：y =x −√3，C ：y 2=2x ；（2）6π或56π．【解析】（1）当4πα=时，直线l 的普通方程为y =x −√3，曲线C 的普通方程为y 2=2x ．（2）将直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入y 2=2x ，得 sin 2α⋅t 2−2cos α⋅t −2√3=0，224cos 0Δαα=+>，1222cos sin t t αα+=，12t t =121222cos ||||2||22sin MA MB MA MB t t t t αα=-⇒=+⇒=‖‖，|cos |2α∴=， 所以直线l 的倾斜角为6π或56π．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设A ，B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB △的最大面积．【答案】（1）ρ=4sin θ；（2）2√2+2．【解析】（1）设曲线C 上任意点的极坐标为(ρ，θ)，由题意，曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4，即x 2+y 2−4y =0， 则24sin ρρθ=，故曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ． （2）设A(ρ1，θ)，则2,4B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，故30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为点A ，B 在曲线C 上，则ρ1=4sin θ，24sin()4πρθ=+，故1sin sin()24AOB S OA OB AOB πθθ=∠=+△24(sin sin cos )2sin 22cos 22)24πθθθθθθ=+=-+=-+，30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故38πθ=时，OAB △取到最大面积为2√2+2． 【点评】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与化归的思想以及运算求解的能力，属于中档题．一、解答题．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ． （1）求曲线C 1与曲线C 2两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l 1过点P (1，2)且与直线:2sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭平行，直线l 1与曲线C 1相交于A ，B 两点， 求11PA PB+的值． 【答案】（1）4πθ=(ρ∈R )；（2）3． 【解析】（1）由2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，消去参数ϕ，得曲线C 1的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4． 所以两方程相减可得交线为y =x ， 所以直线的极坐标方程为4πθ=(ρ∈R )．（2）由:2sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得√3ρsin θ+ρcos θ=1， ∴直线l 的直角坐标方程x +√3y =1， 直线l 的斜率为33-，所以直线l 1的斜率为33-，倾斜角为56π， 所以直线l 1的参数方程为312122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 将直线l 1的参数方程代入曲线C 1，x 2+(y −2)2=4中，得2330t t --=． 设A ，B 两点的参数为t 1，t 2，∴123t t +=，t 1t 2=−3，则t 1，t 2异号．∴()21212121212124111115333t t t t t t t t PA PB t t t t +-+-+=+====． 【点评】将参数方程化为普通方程消参的3种方法： （1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参； （2）利用三角恒等式消去参数；（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数．一、解答题．1．已知曲线C 1的参数方程为21(23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2:ρ=2a cos θ(a >0)关于C 1对称． （1）求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线223:143x y C a a+=与两坐标轴正半轴交于A 、B 两点，P 为3C 上任一点，求△ABP 的面积的最大值．【答案】（1）1sin 220:4C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；C 2:(x −4)2+y 2=16；（2）4643+． 【解析】（1）121:23x t C y t =+⎧⎨=-⎩，消去t ，得x −y =4．精准预测题又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入x −y =4，得cos sin 40ρθρθ--=，∴cos sin 40sin 404πρθρθθ⎛⎫--=⇒-+= ⎪⎝⎭，所以C 1的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；C 2:ρ=2a cos θ(a >0)化为(x −a )2+y 2=a 2(a >0)， 又C 2关于C 1:x −y =4对称，∴(a ，0)∈C 1，∴a =4， ∴C 2:(x −4)2+y 2=16．（2）由（1）知a =4，∴223:11612x y C +=，∴A (4，0)，B (0，2√3)， ∴|AB |=2√7，易得l AB :√3x +2y −4√3=0，设P (4cos θ，2√3sin θ)到l AB 的距离为d ．则1d ==≤当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d1．∴()max11122ABP S AB d ==⨯=△． 【点评】本题关键在于准确运用x =ρcos θ，y =ρsin θ进行由极坐标方程向直角坐标方程转化，以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P(0，2)，倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ−2sin θ=0． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l 的斜率．【答案】（1）l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，C 的直角坐标方程为x 2=2y ；（2）斜率为±2．【解析】（1）因为直线l 过点P(0，2)，倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭， 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数) ．因为ρcos 2θ=2sin θ，所以ρ2cos 2θ=2ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2=2y ． （2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，代入x 2=2y 可得： cos 2αt 2−2t sin α−4=0， 设A ，B 所对应的参数为t 1，t 2，所以1222sin cos t t αα+=，1224cos t t α-⋅=， 因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即242sin cos os 4c ααα=， 解得tan 2α=4，tan α=±2，故直线l 的斜率为±2．【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t 的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．3．在直角坐标系xOy 中，已知点M(2，0)，曲线C 1的参数方程为cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ>0)，点Q 是C 1与C 2的公共点． （1）当03πθ=时，求直线MQ 的极坐标方程；（2）当023πθ=时，记直线MQ 与曲线C 1的另一个公共点为P ，求|MP|⋅|MQ|的值． 【答案】（1）ρcos θ+√3ρsin θ−2=0；（2）3． 【解析】（1）曲线C 1的普通方程是x 2+y 2=1，当03πθ=时，点Q 的坐标为12⎛ ⎝⎭， 直线MQ 的普通方程为x +√3y −2=0，所以直线MQ 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−2=0．（2）当023πθ=时，点Q 的坐标为1,22⎛- ⎝⎭，所以MQ 的斜率为5k =-，所以直线MQ的参数方程为214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 代入x 2+y 2=1并化简得230t -+=， 设它的两根为t 1，t 2，则|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=3．【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义．其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线MQ的参数方程为214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，进而利用直线参数方程几何意义求解． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，t ，α∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=． （1）将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）设曲线C 1与C 2的交点分别为A ，B ，求△OAB 的面积的最小值．【答案】（1）C 1:x sin α−y cos α−2sin α=0，曲线C 1表示过点()2,0的直线；C 2:y 2=2x ，曲线C 2表示抛物线；（2）4． 【解析】（1）由12cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），消去t 得C 1:y cos α=(x −2)sin α，即x sin α−y cos α−2sin α=0，曲线C 1表示过点(2，0)的直线． 由C 2:ρsin 2θ−2cos θ=0，得22sin 2cos 0ρθρθ-=．将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入C 2的方程得y 2=2x ，曲线C 2表示抛物线． （2）由于直线C 1过定点(2，0)，由题意可设C 1:x =my +2．联立222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得y 2−2my −4=0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−4，且C 1与x 轴的交点为(2，0)， 所以12122OAB S y y =⨯-==△，所以当m =0时，S △OAB 取得最小值4．【点评】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题，属于中档题．5．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ：ρ=sin 3θ（ρ∈R ，[)0,2θπ∈）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ=θ0，02πθθ=+（[)00,2θπ∈，ρ>0），l 1，l 2分别交曲线C 于点M ，N 两点，求2211OMON+的最小值．【答案】（1）1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）4． 【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立sin31ρθρ=⎧⎨=⎩，解得sin 3θ=1，所以()322k k πθπ=+∈Z ，()263k k ππθ=+∈Z ，因为[)0,2θπ∈，所以取k =0，1，2，得6πθ=，56π，32π，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C π⎛⎫⎪⎝⎭． （2）将θ=θ0，02πθθ=+代入C ：[)()sin3,0,2ρθρθπ=∈∈R ，点M ，N 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，所以ρ1=sin 3θ0，ρ2=−cos 3θ0， 即220sin 3OMθ=，|ON |2=cos 23θ0，()22002222220000111111sin 3cos 3||||sin 3cos 3sin 3cos 3OM ON θθθθθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭22002200sin 3cos 324cos 3sin 3θθθθ=++≥， 当且仅当 tan 23θ0=1时，取得最小值4．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．。
极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)【范本模板】
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13．已知 A 是曲线 ρ=3cosθ上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值和最小值。
14 ． 已知 椭圆
C
的极坐标方程为 2
12
3 cos2 4 sin 2
，点
F1 ， F2 为其 左 ，右 焦 点 , 直 线 l 的 参数 方 程为
C
2
:
x
y
2 cos , 4sin ,
（
为参数）。
（Ⅰ）化
C1
，C
2
的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;（II)若
C1
上的点
P
对应的参数为 t
2
，Q
为
C
2
上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : 2x y 7 0 （t 为参数)距离的最大值。
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(t是参数)
,圆
C
的极坐标方程为
2 cos(
)． 4
2
（1）求圆心 C 的直角坐标；(2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值．
5．在直角坐标系 xOy
中,直线
l
的参数方程为
x
a
3t, t为参数 .在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度
y t
单位,且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 4cos .
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22．设椭圆 E 的普通方程为 x2 y2 1 3
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(1)设 y sin , 为参数，求椭圆 E 的参数方程;（2)点 P x, y 是椭圆 E 上的动点,求 x 3y 的取值范围。
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17．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为：
x y
1 4 5
1
t 3
t
(t
为参数)，若以
O
为极点，x
轴正半轴为极轴建立
5
极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为= 2 cos(θ+ )，求直线 l 被曲线 C 所截的弦长． 4
18 ． 已 知 曲 线 C 1 的 极 坐 标 方 程 为 4 cos ， 曲 线 C 2 的 方 程 是 4x 2 y 2 4 , 直 线 l 的 参 数 方 程 是 ：
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13．已知 A 是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值和最小值。
14 ． 已 知 椭 圆
C
的极坐标方程为 2
12
3cos2 4 sin 2
，点
F1，F2 为其左，右焦点，直线 l 的参数方程为
x 2
2t 2 (t为参数，t R) ．（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；
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极坐标与参数方程高考精练（经典 39 题）
1．在极坐标系中，以点 C(2, ) 为圆心，半径为 3 的圆 C 与直线 l : ( R) 交于 A, B 两点.（1）求圆 C 及直线
2
3
l 的普通方程.（2）求弦长 AB .
2．在极坐标系中，曲线 L : sin2 2 cos ，过点 A（5，α）（α 为锐角且 tan 3 ）作平行于 ( R) 的
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C( 2, )
7．在极坐标系中，极点为坐标原点 O，已知圆 C 的圆心坐标为
4 ，半径为 2 ，直线 l 的极坐标方程为
sin( ) 2
4
2 .（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）若圆 C 和直线 l 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
x 4cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
直线
l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（
t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的极坐标；若
M
、N
分别为曲线 C
、
直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
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10．已知极坐标系下曲线 C 的方程为 2cos 4sin ，直线 l 经过点 P( 2, ) ，倾斜角 .
x 5 13 t y 5 13 t
直线 l 距离的最小值.
(t为参数）.（1）求曲线 C 1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；（2）求曲线 C 2 上的点到
2
4
轴建立平面直角坐标系，斜率是 1的直线 l 经过点 M ．
（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、 B ，并求| MA | | MB |的值．
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4．已知直线 l 的参数方程是 x
y
2t 2 2t4 2
y
2t 2
（2）求点 F1，F2 到直线 l 的距离之和.
15．已知曲线
C
:
x y
3 cos 2 sin
，直线
l
:
(cos
2
sin
)
12
．
⑴将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
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16．已知 O1 的极坐标方程为 4cos ．点 A 的极坐标是 (2, ) . （Ⅰ）把 O1 的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点 A 的极坐标化为直角坐标．（Ⅱ）点 M（ x0 ，y0 ）在 O1 上 运动，点 P(x, y) 是线段 AM 的中点，求点 P 运动轨迹的直角坐标方程．
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整
个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴
为极轴，建立的极坐标中的曲线 C2 的方程为 4sin ，求 C1 和 C2 公共弦的长度．
9．在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4cos ，
（Ⅰ）求圆 C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆 C 与直线 l 相切，求实数 a 的值.
(2, ) 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。
（I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
4
4
直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B，C 两点.
(Ⅰ)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的
普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.
3．在极坐标系中，点 M 坐标是 (3, ) ，曲线 C 的方程为 2 2 sin( ) ；以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半
4
3
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程; （Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，求点 P 到 A、B 两点的距离之积.
11．在直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
4 cos 3 sin
(为参数)
．以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极
坐标系中．曲线
C2
的极坐标方程为
(t是参数 )
，圆
C
的极坐标方程为
2 cos(
4
)
．
2
（1）求圆心 C 的直角坐标；（2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
a
3t, t为参பைடு நூலகம் .在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长
y t
度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 4cos .
sin(
4
)
5
2．
（１）分别把曲线 C1与C2 化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线．
（２）在曲线 C1 上求一点 Q ，使点 Q 到曲线 C2 的距离最小，并求出最小距离．
12．设点 M , N 分别是曲线 2sin 0 和 sin( ) 2 上的动点，求动点 M , N 间的最小距离. 42