(精华讲义)数学人教版高二必修五不等式

不等式

（一)不等式与不等关系

1、应用不等式(组）表示不等关系; 不等式的主要性质：

(1）对称性:a b b a <⇔> (２）传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>;d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,; bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘）

（5）倒数法则：b

a a

b b a 1

10,<⇒>> (6）乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7）开方法则:)1*(0>∈>⇒

>>n N n b a b a n n

且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集:

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆,则不等式的解的

各种情况如下表: 0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

(0>a )的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

a

b x x 221-

==

无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

02<++c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

∅

2、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()

()

0()()0;0()0()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨

≠⎩

3、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

（三）线性规划

1、用二元一次不等式(组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +Ｂｙ+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +Ｂy +Ｃ＝0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +Ｂy +Ｃ=0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标（y x ,）代入Ａx ＋Ｂy +C ,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0），从Ax 0+B ｙ0＋C 的正负即可判断A ｘ＋By +Ｃ＞0表示直线哪一侧的平面区域．（特殊地，当Ｃ≠０时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:

①线性约束条件：在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于ｘ、y 的一次不等式，故又称线性约束条件.

②线性目标函数:

关于x 、y 的一次式z ＝a ｘ+b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、ｙ的解析式,叫线性目标函数． ③线性规划问题:

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解:

满足线性约束条件的解(ｘ,y )叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:

(1）寻找线性约束条件,列出线性目标函数;

(２）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

(３)依据线性目标函数作参照直线a x +ｂy=０,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四)基本不等式2

a b

ab +≤

１．若a ，b ∈R ，则ａ2+ｂ2≥2a ｂ，当且仅当a ＝b 时取等号. ２．如果a ，b 是正数,那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形： 有:ａ+

b ≥ab 2；ab ≤2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a ,当且仅当ａ=b 时取等号．

3.如果ａ，b ∈R+,ａ·ｂ=P (定值),当且仅当a=ｂ时,a+b 有最小值P 2;

2

S

注:（1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小

值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2)求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：(1

2211

a b a b

+≥≥≥+（根据目标不等式左右的运算结构选用） ; 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（ａ、b 为正数)：

(2)a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时，取等号）；（３)若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<

+(糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题:

①2

2

,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,2

2

； ③2

2

,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若; ⑤b

a

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b

c b a c a b a c ->

->>>则若,0; ⑧11

,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是＿____＿____＿____＿＿_＿__＿__

题型二：比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式)

2. 设2a >，12

p a a =+-，2

422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .