解三角形 (正弦、余弦定理)

（必修五）解三角形

1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…

2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

或

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

. （1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 注意：

①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；

②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；

类型一：解三角形

在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则

cos AC

A

的值等于 ，AC 的取值范围_____________

解析: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC

θθθθ

=∴=⇒=

由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<

，

又01803903060θθ<-<⇒<<

，故3045cos 22

θθ<<⇒

<<

，

2cos AC θ∴=∈

1．在△ABC 中，3,1==b a ，∠A=30°，求c 的值 解析：

举一反三：

变式1：在△ABC 中，已知2,1==b c ，B=45°，求C 和a

变式2：已知△ABC 中，3=a ，1=b , A=2B ，求角B 及边c .

变式3：在△ABC 中，

45,2==A a ，3

2

sin =

B ，求c 的值.

类型二：已知三角形面积解三角形

1．在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>== c b ,。

变式1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则

C

B A c

b a sin sin sin ++++=_______。

变式2.已知三角形的一个角为60°，面积为2

310cm ，周长为cm 20，求此三角形的各边

长.

类型三：判定三角形的形状 三角形的形状的判定

（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：

①化边为角； ②化角为边。

（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. （3）解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，

如：sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===. 1.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

2．在△ABC 中，bcosA ＝acosB ，则三角形的形状为 （ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

3．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状____________ 4.在△ABC 中，若2lg sin lg lg lg -==-B c a ，且B 为锐角，判定△ABC 的形状。

变式：在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．不能确定

D ．等腰三角形

类型四：证明三角形中的三角恒等式

例：已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，可以化角为边，也可以化边为角. 解析：法一：利用余弦定理

∵右=左，

∴

.

法二：利用正弦定理 ∵右==左，

∴.

举一反三：

1．在△ABC 中，求证：)cos cos (a

A

b B

c a b b a -=-

2．在△ABC 中，若2

23cos cos 222

C A b

a c +=，则求证：2a c

b +=

3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，如果a 2

=b （b+c ），求证：A=2B