金融风险理论与模型 第10章
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VaRP v0 zc P T v0 zc T
n n 2 0
w
i 1 2 i 2 i 2 i 2 2 i c n n i 1 j 1,i j
n
n
n
i 1 j 1,i j
源自文库
wi w j ij i j
v w z T
i 1 n
n
2 2 v0 zc Twi w j i j ij
(x y) （x) (y)
•次可加性反映了组合投资具有分散风险的特点，因此，任何 资产组合的总风险应该小于或等于该组合中各种资产（分组 合）分别计量的风险之和。标准差显然满足次可加性！
正齐次性
(ax) a (x), a 0
2
•此条件实际上是次可加性的特例，它反映了没有分 散风险的效应。
3
•若增加无风险的头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸 的增加而减少。该条件实际上是巴塞尔资本充足率的表示。
一致性公理表达的是金融风险最基本的常识，通 过公理可以检验风险计量工具对资产组合整体与 部分的风险测度是否具有“一致性”——系统与 组分之间没有逻辑上的矛盾。 一致性公理最重要的是次可加性，可是VaR在某 些情况下可能违背次可加性：
一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划给其下的各个
部门，由各个部门分别独立地计算其所暴露的风险，再将各个部 门风险加总，由此得到的整个金融机构的总风险，就小于从金融 机构层面直接计量的总风险，从而造成整个金融机构风险下降的 假相，可见，违背次可加性还会导致金融监管上的漏洞。
8
10.2 期损模型（ES，CVaR）
次可加性（Sub-additive）、正齐次性（Positively
Homogeneous）、单调性（Monotonous）和传递不变 性（Translation Invariant）四个条件，则该风险测度 是一致性风险测度（Coherent Risk Measure）。
1
若以X和Y分别表示两个资产（组合）的随机损 益，ρ 表示它们的风险测度（Risk Measure）则 一致性公理的4大条件可以表示为： 次可加性
1 ES ( X ) E ( X X VaR ) 1
1
0
F (q)dq
F (q)dq inf{x | Pr[ X x] q} VaRq ( y)
9
ES的满足次可加性
CVaR不是单一的分位数，而是尾部损失的条件期望值， 这与VaR有根本的区别，只有将所有大于VaR的资产损益 的下分位数全部估计到，才能够得到CVaR，因此，它对 尾部损失的测度是充分的，且满足次可加性。
根据凸函数的性质可知 （1）满足一致性公理的风险测度必定是凸性的风险测度 （2）必定可以对资产组合进行优化，找到一个最小风险点， 7 也就是可以进行资本或者风险的配置（risk allocation）
次可加性的重要性
若风险测度满足次可加性，则意味着该风险测度是凸风 险测度，就可以通过优化求得最小风险的资产组合，进 行资产组合的分配，从风险计量到风险管理的一致性。 违反次可加性可能导致资产组合的风险测度大于组合中 各资产（分组合）风险测度的和，由此将导致一个荒谬 的风险规避策略：
10.1 风险计量一致性公理
什么样的风险计量模型是合格的风险计量工具？ 它的基本条件是什么？ “一致性公理（Coherent Axiom ）”是由Artzer、 Delbean、Eber、Heath（ADEH，1997，1998， 2002，2004）共同提出的。其内容是：若某种风 险测度（Risk Measure）满足
为了修正VaR的缺陷，ADEH提出了条件VaR （Conditional VaR，下文简称CVaR），又称为 期望损失（Expected Shortfall，ES）。 CVaR是指大于某个给定的VaR的条件下，资产 组合极端损失的期望值。若资产组合的随机损益 为y，则对应于置信水平c的CVaR为
单调性
if x y, then (x) (y)
•若一个资产组合占优于另一个资产组合，则必须满足前 者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报所对应的 分量，且前者的风险至少不大于后者。 •这实际上马克维茨随机占优，或者是均方准则的扩展
传递不变性
(x b(1 r )) (x) b
假设市场上有100种债券，这些债券的期限都为1年，
债券的票面利率、到期收益率和违约率分别为3%、 3%和1%，且这些债券相互独立的。 组合A：100种债券各投资1万，组合B：全部资金投资 1种证券，由第7章可知，在95%置信水平下有
VaR( A) VaR( B)
4
若资产组合的回报的分布服从联合正态分布，则 VaR满足次可加性
X i:n为{ X i }i 1,2,..., n 的第i个次序统计量, 显然有 X 1:n X 2:n ,..., X n 1:n X i:n
[n ] max{m | m n , m }, the least
对照：凸函数的定义 f (tx (1 t ) y) tf ( x) (1 t ) f ( y)
( ) 为凸性风险测度。 可知，
6
( x)
在某点以上，凸 函数比与之相切 的线性函数增长 的快，凹函数则 相反。
x
( )为凸函数，且 ( x ) 0
则x使 ( )最小化。
VaR
i 1 2 i i 1
n
i 1 j 1,i j
VaRi VaR j ij
VaRi
除了正态分布以外，t分布、GED分布等都可以满足一致性公理
5
次可加性的意义
次可加性+正齐次性=凸性的风险测度
( x y ) ( x) ( y ) (ax) a ( x), a 0 (by) b ( y), b 0 (ax by ) (ax) (by ) a ( x) b ( y )
n n 2 0
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源自文库
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(x y) （x) (y)
•次可加性反映了组合投资具有分散风险的特点，因此，任何 资产组合的总风险应该小于或等于该组合中各种资产（分组 合）分别计量的风险之和。标准差显然满足次可加性！
正齐次性
(ax) a (x), a 0
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•此条件实际上是次可加性的特例，它反映了没有分 散风险的效应。
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•若增加无风险的头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸 的增加而减少。该条件实际上是巴塞尔资本充足率的表示。
一致性公理表达的是金融风险最基本的常识，通 过公理可以检验风险计量工具对资产组合整体与 部分的风险测度是否具有“一致性”——系统与 组分之间没有逻辑上的矛盾。 一致性公理最重要的是次可加性，可是VaR在某 些情况下可能违背次可加性：
一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划给其下的各个
部门，由各个部门分别独立地计算其所暴露的风险，再将各个部 门风险加总，由此得到的整个金融机构的总风险，就小于从金融 机构层面直接计量的总风险，从而造成整个金融机构风险下降的 假相，可见，违背次可加性还会导致金融监管上的漏洞。
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10.2 期损模型（ES，CVaR）
次可加性（Sub-additive）、正齐次性（Positively
Homogeneous）、单调性（Monotonous）和传递不变 性（Translation Invariant）四个条件，则该风险测度 是一致性风险测度（Coherent Risk Measure）。
1
若以X和Y分别表示两个资产（组合）的随机损 益，ρ 表示它们的风险测度（Risk Measure）则 一致性公理的4大条件可以表示为： 次可加性
1 ES ( X ) E ( X X VaR ) 1
1
0
F (q)dq
F (q)dq inf{x | Pr[ X x] q} VaRq ( y)
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ES的满足次可加性
CVaR不是单一的分位数，而是尾部损失的条件期望值， 这与VaR有根本的区别，只有将所有大于VaR的资产损益 的下分位数全部估计到，才能够得到CVaR，因此，它对 尾部损失的测度是充分的，且满足次可加性。
根据凸函数的性质可知 （1）满足一致性公理的风险测度必定是凸性的风险测度 （2）必定可以对资产组合进行优化，找到一个最小风险点， 7 也就是可以进行资本或者风险的配置（risk allocation）
次可加性的重要性
若风险测度满足次可加性，则意味着该风险测度是凸风 险测度，就可以通过优化求得最小风险的资产组合，进 行资产组合的分配，从风险计量到风险管理的一致性。 违反次可加性可能导致资产组合的风险测度大于组合中 各资产（分组合）风险测度的和，由此将导致一个荒谬 的风险规避策略：
10.1 风险计量一致性公理
什么样的风险计量模型是合格的风险计量工具？ 它的基本条件是什么？ “一致性公理（Coherent Axiom ）”是由Artzer、 Delbean、Eber、Heath（ADEH，1997，1998， 2002，2004）共同提出的。其内容是：若某种风 险测度（Risk Measure）满足
为了修正VaR的缺陷，ADEH提出了条件VaR （Conditional VaR，下文简称CVaR），又称为 期望损失（Expected Shortfall，ES）。 CVaR是指大于某个给定的VaR的条件下，资产 组合极端损失的期望值。若资产组合的随机损益 为y，则对应于置信水平c的CVaR为
单调性
if x y, then (x) (y)
•若一个资产组合占优于另一个资产组合，则必须满足前 者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报所对应的 分量，且前者的风险至少不大于后者。 •这实际上马克维茨随机占优，或者是均方准则的扩展
传递不变性
(x b(1 r )) (x) b
假设市场上有100种债券，这些债券的期限都为1年，
债券的票面利率、到期收益率和违约率分别为3%、 3%和1%，且这些债券相互独立的。 组合A：100种债券各投资1万，组合B：全部资金投资 1种证券，由第7章可知，在95%置信水平下有
VaR( A) VaR( B)
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若资产组合的回报的分布服从联合正态分布，则 VaR满足次可加性
X i:n为{ X i }i 1,2,..., n 的第i个次序统计量, 显然有 X 1:n X 2:n ,..., X n 1:n X i:n
[n ] max{m | m n , m }, the least
对照：凸函数的定义 f (tx (1 t ) y) tf ( x) (1 t ) f ( y)
( ) 为凸性风险测度。 可知，
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( x)
在某点以上，凸 函数比与之相切 的线性函数增长 的快，凹函数则 相反。
x
( )为凸函数，且 ( x ) 0
则x使 ( )最小化。
VaR
i 1 2 i i 1
n
i 1 j 1,i j
VaRi VaR j ij
VaRi
除了正态分布以外，t分布、GED分布等都可以满足一致性公理
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次可加性的意义
次可加性+正齐次性=凸性的风险测度
( x y ) ( x) ( y ) (ax) a ( x), a 0 (by) b ( y), b 0 (ax by ) (ax) (by ) a ( x) b ( y )