江苏省无锡市江阴市2018-2019学年八年级下学期期末数学试题

江苏省无锡市江阴市2018-2019学年八年级下学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
2（）
A B C D
3．若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（）
A．
1
2
y
x
=B．
2
y
x
=-C．2
y
x
=D．
1
y
x
=
4．下列计算正确的是（）
A．336
x x x
+=B．236
m m m
⋅=C．
D
5．下列事件中，属于随机事件的是（）
A．没有水分，种子发芽；B．小张买了一张彩票中500万大奖；C．抛一枚骰子，正面向上的点数是7；D．367人中至少有2人的生日相同．6．下列调查中，不．适宜用普查的是（）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间；B．了解全市中小学生每天的零花钱；C．学校招聘教师，对应聘人员面试；D．旅客上飞机前的安检．
7．已知关于x的方程2
3
2
x m
x
+
=
-
的解是正数，那么m的取值范围为（）
A．m＞－6且m≠2B．m＜6 C．m＞－6且m≠－4 D．m＜6且m≠－2
8．如图，函数y＝k
x
与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（）
A．B．
C ．
D ．
9．如图，ABCD 是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A ．仅甲正确
B ．仅乙正确
C ．甲、乙均正确
D ．甲、乙均错误 10．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与4y x =-
的图像交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数8y x
=的图像于点C ，连接BC ，则△ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
11．当x ＝_________时，分式242
x x -+的值为0．
12x 的取值范围是_________．
13．给出下列3个分式：2213,,ab a b abc
，它们的最简公分母为__________． 14．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，若CE =8，则DF 的长是________．
15．如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，
曲线
k
y
x
=在第一象限经过点D，则k=_______．
16．在●〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇中，空心圈“〇”出现的频率是_____．17．如图，在▱ABCD中，∠A＝72°，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝_____°．
18．如图，在平面直角坐标系中，有A（﹣3，4）、B（﹣1，0）、C（5，10）三点，连接CB，将线段CB沿y轴正方向平移t个单位长度，得到线段C1B1，当C1A+AB1取最小值时，实数t＝_____．
19．计算：
2ab b
（2）．20．解方程：
（1）325
11
x
x x
+
=
--
；（2）
21
1
22
x
x x
=-
--
．
21．先化简，再求值：
2
444
x x
x
x x
-+
⎛⎫
-÷
⎪
⎝⎭
，其中2
x=．
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
23．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m＝，n＝，表示区域C的圆心角为度；（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？
24．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．
25．如图，一次函数y＝x+4的图像与反比例函数
k
y
x
=（k为常数且k≠0）的图像交于
A（－1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且
3
4
ACP AOB
S S
=
V V
，求点P的坐标．
26．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少4000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪1000元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬20元，加工1件B型服装计酬15元．在工作中发现一名熟练工加工2件A型服装和3件B型服装需7小时，加工1件A型服装和2件B型服装需4小时．(工人月工资＝底薪+计件工资)
(1)一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？
(2)一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A 型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？27．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P、点E分别是边AB、BC上的动点，连结DP、PE．将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处．
(1) 当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于K，求CK的长；
时AP的长．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形性质做出判断．①既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；②不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；③不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；④是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确．
故选A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：A=，不是同类二次根式，故本选项错误；
B=
C
2
=，不是同类二次根式，故本选项错误；
D=，不是同类二次根式，故本选项错误；
故选B.
3．B
【解析】
【分析】
首先设出反比例函数解析式，再把（﹣1，2）代入解析式可得k的值，进而得到答案．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y＝k
x
，
∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣2
x
，
故选：B．
【点睛】
考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
4．D
【解析】
试题解析：A、x3+x3=2x3，故A选项错误；
B、m2•m3=m5，故B选项错误；
C、=，故C选项错误；
D==D选项正确．
故选D．
考点：1.合并同类项；2.同底数幂的乘法；3.二次根式的乘法.
5．B
【解析】
A选项中，因为“没有水分，种子发芽”是“确定事件中的不可能事件”，所以不能选A；B选项中，因为“小张买了一张彩票中500万大奖”是“随机事件”，所以可以选B；
C选项中，因为“抛一枚骰子，正面向上的点数是7”是“确定事件中的不可能事件”，所以不能选C；
D选项中，因为“367人中至少有2人的生日相同”是“确定事件中的必然事件”，所以不能选D.
故选B.
6．B
【解析】
【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】
A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故A选项错误；
B、了解全市中小学生每天的零花钱，数量大，不宜用全面调查，故B选项正确；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试，必须全面调查，故C选项错误；
D、旅客上飞机前的安检，必用全面调查，故D选项不正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．C
【解析】
【分析】
先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知m+6＞0，从而可求得m＞-6，然后根据分式的分母不为0，可知x≠2，即m+6≠2．
【详解】
将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6．
∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞-6．
∵分式的分母不能为0，
∴x-2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．
∴m≠-4．
故m＞-6且m≠-4．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m 的不等式是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．
【详解】
解：k ＞0时，一次函数y ＝﹣kx +1的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B 符合；
k ＜0时，一次函数y ＝﹣kx +1的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．
故选：B ．
【点睛】
考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9．C
【解析】
试题解析：根据甲的作法作出图形，如下图所示.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
.DAC ACB ∴∠=∠
∵EF 是AC 的垂直平分线，
.AO CO EF AC ∴=⊥，
在AOE V 和COF △中，
EAO BCA AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴AOE V ≌COF △，
.AE CF ∴=
又∵AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形.
EF AC ⊥Q ，
∴四边形AECF 是菱形.
故甲的作法正确.
根据乙的作法作出图形，如下图所示
.
∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠2，∠6=∠7.
∵BF 平分ABC ∠，AE 平分BAD ∠，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
AB AF AB BE ∴==，，
.AF BE ∴=
∵AF ∥BE ，且AF BE =，
∴四边形ABEF 是平行四边形.
∵AB AF =，
∴平行四边形ABEF 是菱形.
故乙的作法正确.
故选C.
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的平行四边形是菱形.
10．C
【解析】
【分析】
根据正比例函数y=kx 与反比例函数4y x
=-的图象交点关于原点对称，可得出A 、B 两点坐标的关系，根据垂直于y 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A 、C 两点坐标的关系，设A 点坐标为（x ，4x -
），表示出B 、C 两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】
∵正比例函数y=kx 与反比例函数4y x
=-
的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，
4
x
-），则B点坐标为（-x，
4
x
），C（-2x，
4
x
-），
∴S△ABC=1
2
×（-2x-x）•（
4
x
-
4
x
-）=
1
2
×（-3x）•（
8
x
-）=12．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．
11．2
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】
∵
24
2
x
x
-
+
分式的值为0，
∴x2-4=0，x+2≠0，
解得：x=2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键．
12．x≥1 3
【解析】
【分析】
根据:a≥0,式子才有意义. 【详解】
在实数范围内有意义，则3x-1≥0，解得x≥1 3 .
故答案为x≥1 3
【点睛】
本题考核知识点：二次根式的意义.解题关键点：理解二次根式的意义.
13．a2bc．
【解析】
试题分析：观察得知，这三个分母都是单项式，确定这几个分式的最简公分母时，相同字母取次数最高的，不同字母连同它的指数都取着，系数取最小公倍数，所以它们的最简公分母是a2bc.
考点：分式的通分.
14．8
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2CE=16，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴AB=2CE=16，
∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF=1
2
AB=8．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．3.
【解析】
试题分析：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．可以证出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，
所以S△DOE=1
2
•OE•DE=
1
2
×3×1=
3
2
，∴k=
3
2
×2=3．
故答案为3．
考点：反比例函数综合题．
16．0.75
【解析】
【分析】
用空心圈出现的频数除以圆圈的总数即可求解．
【详解】
解：由图可得，总共有20个圆，出现空心圆的频数是15，频率是15÷20＝0.75．
故答案是：0.75．
【点睛】
考查了频率的计算公式：频率=频数÷数据总数，是需要识记的内容．
17．36
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，得出BC＝BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1＝∠C1，由旋转角∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝72°，
∴∠DCB＝∠C1＝72°，
∴∠BCC1＝∠C1，
∴∠CBC1＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠ABA1＝36°，
故答案为36．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC 1是等腰三角形．
18．223
【解析】
【分析】
平移后的点B '（﹣1，t ），C '（5，10+t ），C 1A +AB 1取最小值时，A ，B '，C '三点在一条直线上.
【详解】
解：将B （﹣1，0）、C （5，10）沿y 轴正方向平移t 个单位长度，
B '（﹣1，t ），
C '（5，10+t ），
C 1A +AB 1取最小值时，A ，B '，C '三点在一条直线上， ∴
4523
t -=， ∴t ＝223
； 故答案为223； 【点睛】
考查最短距离问题，平面坐标变换；掌握平面内坐标的平移变换特点，利用三角形中两边之和大于第三边求最短距离是解题的关键．
19．(1)b a b
-【解析】
【分析】
（1）异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
（2）利用二次根式的乘法法则运算；
【详解】
（1）解：原式＝2()()()()()
ab b a b a b a b a b a b --+-+-
＝22()()()()()
ab ab b b a b a b a b a b a b -++=+-+-， ＝b a b
-；
（2）解：原式＝⎛
= ⎝
＝
【点睛】
考查了二次根式的运算，解题关键是熟记其运算顺序.
20．（1）原方程无解；（2）x = -1
【解析】
【分析】
根据去分母，去括号转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
（1）解：方程两边同乘(x －1)，得3x +2=5．解这个方程，得x =1．
经检验：x =1是增根，舍去，所以原方程无解。

（2）解：方程两边同乘(x -2)，得2x =x -2+1．
解这个方程，得x = -1．
经检验：x = -1是原方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.
21．22
x x +-1 【解析】
【分析】
先计算括号内的代数式，然后化除法为乘法进行化简，然后代入求值．
【详解】
原式＝22
4(2)x x x x
--÷ ＝2
(2)(2)(2)x x x x x -+⨯- ＝22
x x +-，
当x +2
1=． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值．这道求代数式值的题目，不应考虑把x 的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．
22．四边形BDFC 是平行四边形．理由见解析。

【解析】
【分析】
根据同旁内角互补两直线平行求出BC ∥AD ，再根据两直线平行，内错角相等可得
∠BCE=∠FDE ，然后利用“角角边”证明△BCE 和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF ，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可
【详解】
四边形BDFC 是平行四边形．理由如下：
∵∠A =∠ABC =90°，
∴∠A ＋∠ABC =180°，
∴BC ∥AF ，
∴∠BCE ＝∠FDE ，
∵E 是CD 中点，
∴CE ＝DE ，
在△BCE 和△FDE 中，
∵∠BCE ＝∠FDE ，CE ＝DE ，∠CEB =∠DEF ，
∴△BCE ≌△FDE (ASA) ，
∴BE ＝EF ，
∵CE ＝DE ，BE ＝EF ，
∴四边形BDFC为平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（1）学生总数100人，跳绳40人，条形统计图见解析；（2）144°；（3）200人．
【解析】
【分析】
（1）用B组频数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用A组人数除以总人数即可求得m值，用D组人数除以总人数即可求得n值；（3）用总人数乘以D类所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数；
【详解】
解：（1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%，
故被调查的学生总数有20÷20%＝100人，
喜欢跳绳的有100﹣30﹣20﹣10＝40人，
条形统计图为：
（2）∵A组有30人，D组有10人，共有100人，
∴A组所占的百分比为：30%，D组所占的百分比为10%，
∴m＝30，n＝10；
表示区域C的圆心角为
40
100
×360°＝144°；
（3）∵全校共有2000人，喜欢篮球的占10%，∴喜欢篮球的有2000×10%＝200人．
【点睛】
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．(1)证明见解析；.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
(1)∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠ACD，
∴DA＝DC．
∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30，∠AOB＝90°．
∵AB＝4，
∴OB＝2，AO＝OC＝2．
∵CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．
∴OE==
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（1）
3
y
x
=-；（2）点P（－6，0）或（－2，0）．
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标代入直线解析式求出a的值，再把A（-1，3）代入反比例函数关系式中，求出k的值即可；
（2）分别求出B、C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据
3
4
ACP AOB
S S
=
V V
列出方程求解
即可.
【详解】
（1）把点A（－1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（－1，3），∴k=－3，
∴反比例函数的表达式为y=－3
x
；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y=－3
x
，
解得：b＝－3，∴B（－3，1），当y＝x+4＝0时，得x＝－4，
∴点C（－4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝1
2
×4×3－
1
2
×4×1＝6－2＝4，S△ACP=
3
4
S△AOB，
∴1
2
×3×│x－(－4)│＝
3
4
×4＝3，
解得x1=－6，x2=－2，
∴点P（－6，0）或（－2，0）．
【点睛】
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
26．(1)一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要2小时和1小时；(2)该服装公司执行规定后违背了广告承诺．
【分析】
（1）设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，根据“一名熟练工加工2件A 型服装和3件B 型服装需7小时，加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时”，列出方程组，即可解答．
（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×
8-2a ）件．从而得到W ＝﹣10a+4000，再根据“加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．
【详解】
解：(1) 设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时,
由题意得：23724x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：21x y =⎧⎨=⎩
答：熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时.
(2)当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装(25×8﹣2a)件．
∴W ＝20a+15(25×
8﹣2a)+1000， ∴W ＝﹣10a+4000， 又∵()12002,2
a a ≥- 解得：a≥50，
∵﹣10＜0，
∴W 随着a 的增大则减小，
∴当a ＝50时，W 有最大值3500．
∵3500＜4000，
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．
【点睛】
考查一次函数的应用, 二元一次方程组的应用, 一元一次不等式的应用，读懂题目，列出方程是解题的关键.
27．（1）4013
CK =
；（2）,P A 的长为2或6．
【分析】
（1）由折叠的性质可得E ,F,D三点在同一直线上，在Rt△DEC中,根据勾股定理可求出BE，CE，DE的长，再根据面积法即可求出CK的值；
（2）分两种情况进行讨论：根据A′B′＝4列出方程求解即可.
【详解】
⑴如图，
∵四边形ABCD为矩形，将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，
∴∠PFD＝∠PFE＝90°,
∴∠PFD＋∠PFE＝180°,即：E ,F,D三点在同一直线上．
设BE＝EF＝x,则EC＝6－x,
∵DC＝AB＝8, DF＝AD＝6,
在Rt△DEC中,∵DE＝DF＋FE＝6＋x, EC＝6－x, DC＝8,
∴(6＋x)2＝(6－x)2＋82,
计算得出x=8
3
,即BE＝EF＝
8
3
,
∴DE＝26
3
, EC＝
10
3
,
∵S△DCE＝1
2
DC∙CE＝
1
2
DE CK,
∴CK＝40 13
；
⑵①如图2中,设AP＝x,则PB＝8－x,
由折叠可知：P A′＝P A＝x , PB′＝PB＝8－x,
∵A′B′＝4,
∴8－x－x＝4,
∴x＝2, 即AP＝2．
②如图3中,
∵A′B′＝4,
∴x－(8－x)＝4, ∴x＝6, 即AP＝6．
综上所述,P A的长为2或6．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理．熟练运用勾股定理列方程求解是解本题的关键．。