最新5-4平面向量应用举例汇总
平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
54平面向量应用举例15944 共59页
((11((())((212(证(证2222)))))解证)解)解明 解明解解明::::::::所设则 又 |所设则又|所设则 又 |因 所 所因 所 所 M所所设设则 又 |所则 又 |设则 又 |MM→MMM→→:→→→因 所 所以点由 由以点由由以点由 由P为 以 以 为 以 以P以以点点P由 由由 由以点由 由PPP||||为 以 以22||2O(|O(|2O2(点 OM点 OM|(→ M2→ MM|M→M＝＝O(M→M＝→11→＝→1→→＝1＝→ M→M＝→＝＝1A→A＝MAM))OM点)P)PAPP→及)P→P及|及及M|为M||⊥为P⊥为O⊥及＝O＝O(O＝＝ |M→＝(|(→ ＝为(⊥→|→P| |O＝(＝＝→＝|xMPxxx＝aPP线PO＝为 ＝ aa线线OaO为＝xO线O→OP(12→→→12a→→－线O|－2－x|－→|2xMB|2x O2MBPO－MB为→MB段P|(→线O2→段－(→线12段(→ － →段MB(→，O12－ A，段xxO1(2→，O－AxO1，2OO1→O2xPx→O→O，→线O12→－段12x)M＋段O)A12M→＋|A1 2 )知－MA)|OM知A2＝A|2O＝|知知)→M2＝A2B＝→|段 )B|O知12a＋|12a2M＝O→B122BA12O 1|22|Ma→|aOA|2|＝BM122O1222|＝M|→ aA|M的|→O→ ＋M)2的|＝AB1222|M→ ＋＝O→M→)＝A |12→MBM的→ M的→ ＋A2＝|＝2→＋)MB)＋2→A→M的BAA＋→ ＋O()A2中 A2(→→的中A BA(.(＝的|A(2A(x(|.中|A中＝(xBx|＋ 主＝A＝(y((|中＝x|yx(x点b|y|中 ＝(O的 ＝点b|＝.＝xy→y(中 yO|＝y －|点b→2点b＝2x|y页|M2－A|MM点b，→(1点M2yA，中| →O→|(2122|→1|点 2→ MM2＋ 1|1M2y－MB2，，→(→(|)1y2BM12B2＋ 1→B→A)MB，1 )2 1→， 2(12212点2)→|yyB2|B，2|O|1＝2)yB)2|B＝2＋ 1→2|＝)O＝yB＝OO))＝y→O)2B2O→→bO ||→b→Bb1， )22|2|＝O＝122A12||＝2＝O→ABO|O2A12|yMB|＝2→→1B →＝Mb.b1＝)M＝O→)＝2B1→ 21O2→ ).2→.b.A22A→B)|2＋.|221＋.221O1MM＋－OA＝＝)|12O))B→→1122.M1－..＝2)|2.→＋＋|2.＝(|.O).O＝(2＝(＋111－(O1y112y1|y|..1212＝，12＝((O12，12|.→，11|＝(OO |yAy|→→A12A1A→得12y12→12，，得A得B1O2A 12＋B→12B||，)AA|＋)→→|A)|＝2得得|A＝1122221＝→2BB得O＋12→OO21BO12))→1→→||1BO1＝＝22).B→B|21O B..＝22OOBO→→22→B 11O→BBB1..)B.222
平面向量的应用举例精选课件
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
5 4平面向量应用举例
D.???－79，－73???
大 版
[答案] D
第5章 第四节
高考数学总复习
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则 a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝
(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有
－3(1＋m)＝2(2＋n)，即 3m＋2n＝－7①
北
师
又 c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0②
大 版
由①②解得m＝－79，n＝－73.
第5章 第四节
高考数学总复习
3．若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力F1 与 F2，则|F1＋F2|为( )
A．2.5 B．4 2
北
师
C．2 2 D．5
大
版
[答案] D
[解析] 因为 F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(2,2)＋(－2,3)
＝(0,5)，
所以|F1＋F2|＝5，故选D.
5．过点 A(－2,1)且与向量 a＝(3,1)平行的直线方程为
__________．
北
[答案] x－3y＋5＝0
师
大
版
[解析] 设 P(x，y)是所求直线上任一点，
A→P＝(x＋2，y－1)
∵A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
第5章 第四节
高考数学总复习
高考数学总复习
北 师 大 版
第5章 平 面 向 量
高考数学总复习
第四节
平面向量应用举例
北
师
大
版
第5章 第四节
高考数学总复习
北 师 大 版
第5章 第四节
高考数学总复习
考纲解读
1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题．
2025数学大一轮复习讲义北师大版 第五章 §5.4 平面向量中的综合应用
对于 A，由题意可得P→A·P→B－P→B·P→C＝P→B·(P→A－P→C)＝P→B·C→A＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，
故A正确；
对于
B，如图设A→E＝
→ AB →
，A→F＝
→ AC →
，则|A→E|＝|A→F|＝1，
|AB|
|AC|
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形
32yx·32xy＝3，
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题 例 3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC 的边长为 3，P 为△ABC 所在平面
内的动点，且|P→A|＝1，则P→B·P→C的取值范围是
A.－32，92 C.[1,4]
√B.－12，121
D.[1,7]
方法一 如图，建立平面直角坐标系，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
∴B(
3，0)，C
23，23，
∴P→B＝(
3－cos
θ，－sin
θ)，P→C＝
23－cos
θ，32－sin
θ，
∴P→B·P→C＝(
3－cos
θ)
23－cos
θ－sin
θ32－sin
θ＝52－32
3 cos
设△ABC外接圆的半径为R，
则 R2＝R22＋ 222，
解得 R＝1，CD＝1＋ 22，
∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×
2×1＋
22＝1＋2
2 .
思维升华
用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题―设――向――量→向量问题―计――算→解决向量问题―还――原→解决几何问题.
§5.4 平面向量应用举例
→ → → → 求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． 求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． → → → → 由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝2 10， → → → → 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝4 2. → (2) OC＝(－2，－1)， → → → → → → ∵(AB－tOC)·OC＝AB·OC－tOC2， → → → 易求AB·OC＝－11，OC2＝5， → －tOC)·OC＝0得t＝－11. 由(AB → → 5
题型三 平面向量在解析几何中的应用 例3 已知点P（ ， ）， ），点 在 轴上 轴上， 已知点 （0，-3），点 A在x轴上， 点 M满足 满足 uuu uuuu r r → ＝－ 3 MQ ，当点 在 x轴上移动 → 当点A在 轴上移动 PA ⋅ AM =0， AM ， 2
的轨迹方程． 时，求动点M的轨迹方程． 求动点 的轨迹方程 uuu uuuu r r → ＝－ 3 MQ ，求出 → 思维启迪 利用 PA ⋅ AM =0和 AM
探究提高
→ → → (1) AC·CA＝－|AC|2，注意不要将负号漏掉．
(2)此类题的解题思路，将未知向量用已知的不共线的向 量(即基底)表示，再进行计算,然后使用垂直的充要条件． (3)非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
变式训练1 (2010·江苏 在平面直角坐标系 江苏)在平面直角坐标系 变式训练 江苏 在平面直角坐标系xOy中，已知 中 ，－2)， ，－1)． 点 A(－1，－ ， B(2,3)，C(－2，－ ． － ，－ ， － ，－ (1)求以线段 、 AC为邻边的平行四边形的两条对角线 求以线段AB、 为邻边的平行四边形的两条对角线 求以线段 的长； 的长； (2)设实数 满足 → － tOC)·OC＝ 0，求 t的值． 设实数t满足 的值． 设实数 满足(AB → → ， 的值 → → 解 (1) AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，
平面向量应用举例
用向量的方法研究平面几何
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
作业： 课本P125 1,2
， n m 0
n
m 1 2
0
解得：n= m = 1
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设 AB a, AD b , AR r ,则 AC a b
平面向量应用
平面向量应用平面向量是解决几何问题的强大工具之一。
它广泛应用于各个领域，如物理、工程学、计算机图形学等。
本文将介绍平面向量的定义、运算以及它在实际问题中的应用。
一、定义平面向量是由有序数对(a, b)表示的几何对象。
其中，a和b分别表示向量在x和y轴上的分量。
平面向量通常记作a=i+bj，其中i和j是单位向量，分别表示x和y轴的方向。
例如，向量a=(2, 3)可以表示为a=2i+3j。
二、运算平面向量的运算主要包括加法、减法和数量乘法。
1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
例如，向量a=(2, 3)和向量b=(1, 2)的和为a+b=(3, 5)。
2. 减法：向量的减法可以通过加法和数量乘法得到。
例如，向量a=(2, 3)减去向量b=(1, 2)可以表示为a-b=a+(-1)b=(2, 3)+(-1)(1, 2)=(2,3)+(-1, -2)=(1, 1)。
3. 数量乘法：向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，向量a=(2, 3)乘以实数k的结果为ka=(2k, 3k)。
三、应用1. 位移和平移：平面向量可以描述物体的位移和平移。
例如，向量a=(3, 4)表示一个物体向右移动3个单位，向上移动4个单位。
如果一个图形绕（0，0）顺时针旋转90度，后者获得反方向的位移（4，-3），这是向量数量乘法的应用。
2. 力的合成：在物理学中，力可以表示为平面向量。
如果有两个力F1=(2, 3)和F2=(-1, 2)，求合力F=F1+F2。
通过向量的加法可得，F=(2, 3)+(-1, 2)=(1, 5)。
合力F的大小可以通过向量的模来计算，即√(1^2+5^2)=√26。
3. 图形相似性：平面向量在计算机图形学中有广泛应用。
例如，两个多边形之间的相似性可以通过向量来判断。
如果两个多边形的对应边平行且长度成比例，那么它们是相似的。
通过向量运算可以计算多边形的平移、旋转、缩放等操作。
4. 线性方程组的解：线性方程组的解可以通过向量计算得到。
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它可以用于求解平面上的距离、角度、垂直、平行等关系，为各种几何问题的解决提供了方便和简洁的方法。
本文将介绍平面向量在几种常见问题中的应用，包括向量的加减法、向量共线垂直性质、向量的数量积和向量的模、方向投影等内容。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量最基本的操作。
当我们要求两个向量的和或差时，可以通过将它们的对应分量相加或相减来得到结果。
例如，有向量 $\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和$\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的和为$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \langle x_1 + x_2, y_1 +y_2 \rangle$，差为 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。
二、向量共线与垂直性质对于两个非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线。
向量共线的判断可以通过它们的方向比较或通过计算它们的比值来得到。
如果两个向量的方向垂直，则称这两个向量垂直。
两个向量垂直的判断可以通过它们的数量积的结果是否为零来确定。
三、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，用符号 $\cdot$ 表示。
对于向量$\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和 $\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的数量积为 $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$。
数学课件第四节 平面向量应用举例
2019/8/15
8
(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，x∈0，π2
.
(1)若 m⊥n，求 tan x 的值；
(2)若 m 与 n 的夹角为π3 ，求 x 的值． 解：(1)若 m⊥n，则 m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
∴tan x＝1.
2019/8/∴m·n＝|m|·|n|cos 3 ，
即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝12，
∴sinx－π4 ＝12.
又∵x∈0，π2 ，∴x－π4 ∈－π4 ，π4 ，
λ|A→BA→|cBos
B＋|A→CA→|cCos
C，λ
∈(0，＋∞)，则如何选择？
解析：由条件，得A→P＝λ|A→BA→|cBos
B＋|A→CA→|cCos
C，
从而A→P·B→C＝λ|AA→→BB·|coB→sCB＋|A→A→CC|c·Bo→sCC
＝λ·|A→B|·|B→C|A|→cBos|c（os1B80°－B）＋λ·|A→C|A|→·C||Bc→oCs|cCos C＝0，所以
2019/8/15
5
【 探 究 迁 移 1 】 在 本 例 中 ， 若 动 点 P 满 足 O→P ＝ O→A ＋ λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|，λ ∈(0，＋∞)，则如何选择？
解 析 ： 由 条 件 ， 得 O→P － O→A ＝ λ |AA→→BB|＋|AA→ →CC| ， 即 A→P ＝
A→P⊥B→C，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．
第五章5.4平面向量的综合应用
§5.4
平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析
1.会用向量方法解决某些简单的平面几
何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题及
其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等
式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型所用知识公式表示
线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0，
其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b
≠0
垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0，
其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
且a ，b 为非零向量
夹角问题数量积的定义cos θ＝a ·b |a ||b |
(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量
长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2
，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．
2．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量。
第五章5.4 平面向量的应用
→→ 【例 1】 平面上的两个向量OA，OB满
足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→B＋yO→B (x，
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： M→P＝x－12O→A＋y－12O→B； (2)求|O→P|的最大值，并求此时四边
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B
＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
思维启迪
解析
探究提高
故 P，O，A，B 四点都在以 M
为圆心、1 为半径的圆上，所以
当且仅当 OP 为圆 M 的直径时， |O→P|max＝2.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： 这时四边形 OAPB 为矩形，则
M→P＝x－12O→A＋y－12O→B；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
解析
力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态，已知 F1， F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小 分别为 2 和 4，则 F3 的大小为 ________．
答案
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
平面向量平面向量应用举例
05
平面向量的挑战与解决方案
平面向量的运算复杂度问题
总结词
平面向量在运算时，往往涉及大量的矩阵和 向量运算，导致计算过程可能变得复杂和效的算法和 优化技术，如平行计算、GPU加速等，以提 高计算效率。同时，针对特定问题，可以采 用定制化的算法设计，减少不必要的计算量
向量与角度的转换
向量夹角的计算
通过两个向量的夹角余弦值，可以求得两个向量的夹角。
向量与极坐标
极坐标系中的极径和极角可以与平面向量相互转换，使得解析几何问题更加灵活和方便。
向量与距离的转换
向量的模长
通过平面向量的模长公式，可以计算出向量的长度，进而求得两点之间的距离。
向量投影
利用向量的投影，可以将一个向量投影到另一个向量上，得到该向量的分量，进而解决涉及距离和角 度的问题。
THANK YOU
案例一：向量在物理中的应用案例
总结词：向量在物理中有着广泛的应用 ，包括力学、运动学、电磁学等方面。
3. 在电磁学中，向量可以用来表示电荷 和电流，进而研究电磁场和电磁力的分 布和大小。
2. 在运动学中，向量可以用来表示物体 的速度和加速度，进而研究物体的运动 规律。
详细描述
1. 在力学中，向量可以用来表示物体的 质量和加速度，进而计算物体的运动状 态和轨迹。
向量的基底和坐标
总结词
平面向量的基底和坐标是描述向量在空 间中的位置和方向的重要方式。
VS
详细描述
平面向量的基底通常指的是一个非零向量 ，它与其它向量不共线，并且可以表示这 个空间中的所有向量。坐标系建立后，每 个向量都可以通过一组系数（即坐标）与 基底进行内积运算得到。这组系数就是这 个向量的坐标。
平面向量的可视化问题
5类平面向量解题技巧(“爪子定理”、等和线、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、(解析版)
5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧技法03极化恒等式的应用及解题技巧技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法05范围与最值的应用及解题技巧技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+。
则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++A例1-1．（全国·高考真题）设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC=-+B.1433AD AB AC=-C.4133AD AB AC=+ D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC=-+答案：A例1-2．（2023江苏模拟）如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511 C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP mAB nAC =+ ，由已知211AP mAB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C1．（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【答案】12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)平面向量的应用(解析版)平面向量是数学中一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过解析的方式介绍平面向量的应用。
以下是几个实际问题，通过解析平面向量可以得到解决。
1. 物体运动的描述在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。
平面向量可以用来描述物体在平面上的位置和运动情况。
我们可以用一个有向线段来表示一个物体的位移，该有向线段的长度表示位移的大小，而箭头的指向表示位移的方向。
通过将位移向量进行相加、相减和缩放等运算，可以得到物体相对于某一初始位置的位置矢量，从而描述物体的运动轨迹和速度等信息。
2. 力的合成和分解在力学中，我们经常需要计算合力和分力的情况。
平面向量可以用来描述物体受到的力以及力的作用方向。
对于多个力的合力，我们可以通过将这些力的向量相加得到。
同样地，对于一个力的分解，我们可以将该力的向量按照一定比例分解为多个力的向量。
通过使用平面向量，我们可以更加方便地计算合力和分力的大小和方向。
3. 平面图形的性质在几何学中，平面向量可以用来描述和证明平面图形的性质。
例如，通过向量的加法可以证明平行四边形的对角线互相平分；通过向量的减法可以证明平行四边形的对边相等；通过向量的数量积可以计算平面图形的面积；通过向量的夹角可以判断平面图形是否垂直或平行等等。
平面向量在解析几何中起到了重要的作用，使得我们能够更加简单地研究平面图形的性质。
4. 导航和地图定位在导航和地图定位中，平面向量可以用来表示位置和方向。
我们可以将某一固定点作为原点，建立一个坐标系，通过向量来表示目标位置相对于原点的位置矢量。
同时，我们也可以通过向量的加法和缩放来表示导航的方向和距离。
通过平面向量，我们可以更加准确地确定目标位置，并指导我们的行进方向。
总结:平面向量的应用涉及到物理学、力学、几何学、导航和地图等多个领域。
通过解析平面向量，我们可以更加方便地描述物体的运动，计算合力和分力，研究平面图形的性质，以及进行导航和地图定位。
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5-4平面向量应用举例一、选择题1．已知△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，则一定有( ) A.AB →⊥AC → B.AB →＝AC →C ．(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →) D.AB →＋AC →＝AB →－AC → [答案] C[解析] ∵|AB →|＝|AC →|∴(AB →＋AC →)(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →)．2．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．53NB ．5NC ．10ND ．52N[答案] B[解析] 如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F 合＝F 1＋F 2， 四边形OABC 是矩形，∵∠AOB ＝60°， ∴|F 1|＝|F 合|cos60°＝10×12＝5(N)．3．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3 [答案] C[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.在△ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B ＋cos B sin A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1， ∴C ＝π2，故B ＝π6.解法2：接解法1中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C ，∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 4．已知点B (2，0)，点O 为坐标原点且点A 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上，则OA →与OB →夹角θ的最大值与最小值分别是( )A.π4，0B.5π12，π4C.5π12，π12D.π2，5π12[答案] C[解析] 如图，当直线OA 与圆C 相切时，OA →与OB →夹角最小或最大；由于C (2，2)∴∠BOC ＝π4又由于|OC |＝2，r ＝1.∴∠AOC ＝π6；因此OA →与OB →夹角的最大、小值分别为5π12，π12，故选C.5．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 [答案] D[解析] k 1＝－m2，向量(1－m,1)所在直线的斜率k ＝11－m ，由题意得－m2＝11－m. 解得m ＝2或－1.6．(2011·湖北理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3][答案] D [解析]本题考查向量垂直的充要条件及线性规划问题的求解． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z )＝0，∴z ＝2x ＋3y 不等式|x |＋|y |≤1表示如图所示平面区域．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A (0,1)时z 取最大值3.平移l 0过点C (0，－1)时，z 取最小值－3，∴z ∈[－3,3]．二、填空题7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值等于________．[答案] 2 [解析] |PF 1→|·|PF 2→|＝12[|PF 1→|2＋|PF 2→|2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12[|F 1F 2|2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12[(2c )2－(2a )2]＝2b 2＝2. 8．(2012·金华十校联考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1，0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以 OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.三、解答题9．已知a ，b 是非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直．试求a 与b 的夹角．[分析] 要求a ，b 的夹角θ，就需要利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a |，|b |等来表示a ·b ，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．[解析] 解法一：由条件知 ⎩⎨⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0(a －4b )·(7a －2b )＝0所以⎩⎨⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，所以b 2＝2a ·b . 将它代入②得a 2＝2a ·b .所以|a |＝|b |. 所以由b 2＝2a ·b 可知|b |2＝2|a ||b |cos θ，所以cos θ＝12，所以θ＝60°.即所求的向量a 与b 的夹角为60°. 解法二：由条件知： ⎩⎨⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0(a －4b )·(7a －2b )＝0∴⎩⎨⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②①×15＋②×8得|a |＝|b |，由①得7|a |2＋16|a ||b |cos θ－15|b |2＝0， ∴7＋16cos θ－15＝0，∴cos θ＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 即向量a 与b 的夹角为60°.[点评] 向量的数量积满足交换律a ·b ＝b ·a ，但不满足a ·b ＝|a ||b |，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果a ·b ＝b ·c ，但不能得出a ＝c .一、选择题1．(2012·佛山期末)平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 [答案] B[解析] 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得 [(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， ∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形，应选B.2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27[答案] D[解析] 考查平面向量的运算法则、概念． 由条件知，F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)， ∵F 1·F 2＝|F 1|·|F 2|·cos 〈F 1，F 2〉 ＝2×4×cos60°＝4，∴|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝22＋42＋2×4＝28， ∴|F 3|＝27. 二、填空题3．已知A (3，0)，B (0,1)，坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C ，则OA →·OC →＝________.[答案] 34[解析] 由射影定理求出|OC →|＝32，OC →与OA →成角60°，∴OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos60°＝3×32×12＝34.4．(文)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|B D →，则四边形ABCD 的面积为________． [答案]3[解析] 本小题考查向量加法的几何意义，数量积的应用． 由A B →＝D C →＝(1,1)知四边形ABCD 为平行四边形， |AB |→＝|DC |→＝2，又1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|·B D →.∴∠ABD ＝∠CBD ，即四边形ABCD 为菱形， 设∠ABD ＝∠CBD ＝α， ∵1|B A →|·B A →2＋1|B C →|·B A →·B C →＝3|B D →|·B A →·B D →，∴cos2α＋1＝3cos α.∴cos α＝32，∴α＝30°.∴S ▱ABCD ＝|A B →|·|B C →|sin60°＝2sin60°＝ 3.(理)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝m ，m 2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是__________．[答案] [－6,1][解析] ∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α，又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4， 又∵λ＝2m －2，∴λm ＝2－2m ，∵－6≤2－2m ≤1，∴－6≤λm ≤1.三、解答题5．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] (1)OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，故知3(1－m )≠2－m .∴实数m ≠12时，满足条件． (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74. 6．求证：若平面四边形两组对边的平方和相等，则它的两条对角线互相垂直．[解析]如图，四边形ABCD 中，已知AB 2＋CD 2＝AD 2＋CB 2，求证：AC ⊥BD . 证明：∵AB 2＋CD 2＝AD 2＋CB 2，∴AB →2＋CD →2＝AD →2＋CB →2.∴AB →2－AD →2＝CB →2－CD →2.∴(AB →＋AD →)(AB →－AD →)＝(CB →＋CD →)(CB →－CD →)．∴(AB →＋AD →)·DB →＝(CB →＋CD →)·DB →.∴(AB →＋AD →－CB →－CD →)·DB →＝0.∴(AB →＋BC →＋AD →＋DC →)·DB →＝0.∴2AC →·DB →＝0.∴AC →⊥DB →.∴AC ⊥DB .7．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .[证明] 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA →＝(－1,2)由题设BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23. ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， ∴DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23， 又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55， cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55， 又∠ADB 、∠FDC ∈(0，π)， ∴∠ADB ＝∠FDC .。