大一高等数学教材2-6

的仰角为 α , 则 h tanα = 500
2
50ห้องสมุดไป่ตู้米
dα 1 dh 500米 = ⋅ 上式两边对 t求导得 sec α ⋅ dt 500 dt dh Q = 140米 / 秒, 当 h = 500米时, sec 2 α = 2 dt dα 仰角增加率 ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
α
河水以8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库 例10 形状是长为4000米, 顶角为120 的水槽 , 问水深
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
二、对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
方法: 方法: 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 方法求出导数 --------对数求导法 对数求导法 适用范围: 适用范围:
练 习 题
填空题： 一、填空题： 1 、设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 y 是x 的函 d2y dy =________， 数，则 =________， 2 = ________. dx (1,1) dx 2 、曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点（1 ，2 ）处的切线方程 在点（ 是___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 3 、曲线 在t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 4 、已知 ,则 =______； =______. t π dx dx t = y = e sin t
解
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt π sin dy 2 = 1. ∴ = π t= π dx 2 1 − cos 2
当 t = 时, x = a ( − 1), y = a . 2 2
所求切线方程为
π
π
y − a = x − a ( − 1) 2
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ(t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确 定的函数
x = 2t , x 例如 消去参数 t t= 2 y = t , 2 2 x 2 x 1 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = − 1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
Q ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x)
d 1 d f ( x) 又Q ln f ( x) = ⋅ dx f ( x) dx
d ∴ f ′( x) = f ( x) ⋅ ln f ( x) dx
∴ f ′( x) = u( x)
v( x)
v( x)u′( x) [v′( x) ⋅ lnu( x) + ] u( x)
x = ϕ (t ) 在方程 中, y = ψ (t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x − ex + ey =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
600
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 对数求导法: 对方程两边取对数 按隐函数的求 导法则求导; 导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 相关变化率: 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 式求导法求解.
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
vy
v0
v vx
轨迹在 t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映 .
o x
1 2 ( v 0 t sin α − gt )′ dy v0 sin α − gt 2 = = ′ dx (v 0 t cos α ) v0 cosα
dy ∴ dx
t = t0
= 1.
ex − y = x+ey
x=0 y=0
例2 设曲线 C的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对 求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′ 方程两边对x
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 求导得 方程两边对x
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
y′
x=0 y =1
(1)
1 = ; 4
将方程 (1)两边再对 x求导得
12 x 2 − 2 y′ − xy′′ + 12 y 2 ( y′ )2 + 4 y 3 y′′ = 0
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y = y( x)称为隐函数. 定义:
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) = 0
y = f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
0
20米时, 水面每小时上升几米 ?
解 设时刻 t水深为 h( t ), (t 水库内水量为 V ( t ), 则 V ( t ) = 4000 3h2 dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ⋅ dt dV Q = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, 米时 dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt
3
5 、设 xy = e x + y ,则
dy =________. dx
d2y 二 、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1 、 y = 1 + xe y ； 2 、 y = tan( x + y ) ； y 3 、 x y = x ( x > 0，y > 0) . 用对数求导法则求下列函数的导数： 三 、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y = x ； x + 2( 3 − x ) 4 2、 y = ； 5 ( x + 1) 3 、 y = x sin x 1 − e x .
即 y = x + a( 2 − ) 2
π
π
例7 不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角 α
发射炮弹 , 其运动方程为 x = v0 t cosα , 1 2 y v t sin α − gt , = 0 2 求 (1)炮弹在时刻 t 0的运动方向 ; ( 2)炮弹在时刻 t 0的速度大小 .
′ − sec2 t d y d dy ( − tan t ) = = ( ) = 2 3 ′ − 3a cos 2 t sin t dx dx dx ( a cos t )
2
sec 4 t = 3a sin t
四、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
π x = a ( t − sin t ) 例6 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
y= x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形 .
( x + 1)3 x − 1 例4 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
v 0 sin α − gt 0 . = v 0 cos α
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
vx = dx dt dy vy = dt
t = t0
= (v 0 t cos α )′ t = t 0 = v0 cosα
t = t0
1 2 = ( v 0 t sin α − gt )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
思考题
x = ϕ (t ) ψ ′( t ) (ϕ ′( t ) ≠ 0) 设 ，由 y ′ = x ϕ ′( t ) y = ψ (t ) ψ ′′(t ) (t 可知 y ′′ = ，对吗？ 对吗？ x ϕ ′ ′( t )
思考题解答
不对． 不对．
d dy′x dt ψ ′( t ) ′ 1 y′′ = ( y′ ) = ⋅ = ⋅ x x dx dt dx ϕ ′( t ) t ϕ ′( t )
上式两边对x 上式两边对 求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x
1 ∴ y ′ = y(cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x sin x sin x ) = x (cos x ⋅ ln x + x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升, 其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ? 解 设气球上升 t秒后, 其高度为 h, 观察员视线
∴ 在 t 0时刻炮弹的速度为
2 v = v x + v 2 = v02 − 2v0 gt 0 sin α + g 2 t 02 y
x = a cos 3 t 例8 求由方程 表示的函数的二阶导数 . 3 y = a sin t dy dy dt 3a sin 2 t cos t = = = − tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( − sin t ) dt
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ ∴ y′ = + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
例5 设 y = x sin x ( x > 0), 求y′. 解 等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x