DSP正弦波——查表法原理

正弦波的产生方法

目前，正弦波的产生方法主要有两种：（1）查表法（2）利用数字振荡器产生正弦波

1）查表法

考虑一个模拟正弦波的表达式，并以固定的时间间隔对其进行采样，即

,...)2,1,0,()2sin(][)

2sin()(==+=+=n F F

f fn n x Ft t x s θπθπ

其中，θ为初始相位；F 为模拟频率，即需要产生的频率；F s 为采样频率；s s F T 1

=即为

采样间隔。 因此，要想产生一个正弦波，需要在每一个采样间隔计算x[n]的值，并通过数模转换器（DAC ，Digital-to-Analog Convector ）输出。通过将x[n]的值以不同的幅度和不同的采样间隔输出，就可以得到任意幅度、任意频率的正弦波或余弦波。

根据上式，x[n]通过计算正弦函数而得。基于此，可以构造一个查找表，表中所列为余弦函数的值。考虑到不可能把正弦函数或余弦函数的所有值都放在查找表内，不妨将表的大小初设为517项。又考虑到正弦函数和余弦函数之间只有一个90°的相移，可以将表的大小缩减为257项。表中的第一个值对应于︒0，最后一个值对应于180°，或者说π。这样，表中相邻两点之间的间隔为180/256=0.7031250°，即表格中的第1项是cos0°的值，第2项是cos0.7031250°的值，第3项是cos1.406250°的值，以此类推，最后一项是cos180°的值。利用该表所能构成的波形的相位步进通常是0.7031250°的整数倍。

在采样过程中，上式中的n 值在每一个采样间隔递增，从而得到模拟正弦波的采样版本。但是，如何通过查找余弦表的方法来产生一个任意频率F 的正弦波呢？由于在前面构造的余弦函数表中，已经包括了以0.7031250°为间隔的余弦函数值，现在的问题就变成了，当n 递增时，怎样估计出相位fn π2的值。

记录波形的初始相位和当前相位，以得到连续相位的正弦波。如果记录了上一个输出点的相位值，利用正弦波的频率信息，就可以计算出当前输出点的相位值，该相位值是和幅度值相对应的。在此基础上，就可以根据相位值去查找余弦表中相应的位置，得到当前输出点的幅度值。

假设需要产生频率为F 的正弦波，它的起始相位是Init_Phase ，和F 对应的相位步进为Phase_Step 。相位步进的计算式为 Phase_Step=⨯s F F

2π=f π2

例如，如果需要产生的正弦波的频率为10KHz ，采样频率为44.1KHz ，对应的相位步进为 Phase_Step=︒==⨯6.81)(4535.021.4410

radians ππ

其中，radians 为弧度。于是，在每一个采样间隔输出信号的幅度为)4535.0sin(n π（n=0,1,2,….）

利用这个式子计算的相位步进和上一个输出点的相位信息，就可以计算出当前输出点

的相位值。当前输出点的相位值等于上一个输出点的相位值加上相位步进。例如，如果输出信号的初始相位为0°，那么，下一个输出点的相位就为81.6°，再下一个输出点的相位为163.2°，以此类推。得到这些相位值后，就可以从查找表中的对应位置去读取当前输出点的幅度。

为了便于以DSP 处理器中常用的Q15格式来表示，将相位值按π进行归一化计算

相位值减去π/2，即4000H ，然后才能利用得到的相位值去查找表中读取对应的幅度值。

令COSOFF 指向查找表的表头，那么cos0、)2/cos(π 和πcos 在表中对应的地址分别为COSOFF 、（COSOFF+128）和（COSOFF+256）。如果输出信号的初始相位为-119.53°，那么，该初始相位在查找表中对应的地址为-119.53/0.703125= -170，即初始点的幅度值对应的地址为（COSOFF+170）。这里没有使用-170，是因为余弦函数具有偶对称性，即)53.119cos()53.119cos(︒=︒-。正是基于这一原因，在查表法中通常都是构造余弦表，而不是正弦表。

将该初始相位的地址按照查找表的大小进行归一化处理，得到其Q15格式的表示为：H AB 00256/170=-。其中，归一化的初始相位地址的范围为[-1,+1]，-1对应-180°，+1对应+180°。

仍然使用刚才的例子，需要产生一个10KHz 的正弦波，采样频率为44.1KHz ，其按π归一化后的相位步进的Q15格式表示为

CH A F F

Step Phase s 033276821.4410327682_=⨯⨯=⨯⨯=

在输出了初始相位对应的幅度值后，当前输出点的相位为Current_Phase ，即fn π2，n=1, 其计算过程如下：

Current_Phase=Init_Phase+Phase_Step

=AB00H+3A0CH

=E50CH

Init_Phase= Current_Phase ;For continuous phase

由于是产生正弦波，还需要减去π/2，即4000H 。

Sine_Phase=E50CH-4000H

=A50CH

注意得到的结果A50CH 为负，再次利用余弦函数的偶对称性质，使用该值的绝对值5AF4进行查表即可。

利用上面的结果查表，实际就是计算距离余弦表头的偏移量。余弦表头地址加上该偏移量，就得到当前输出点幅度值的地址。使用上面的绝对相位值计算偏移量为：

5AF4H/80H=B5H=181（十进制）。因此，余弦表中存储的第181个数据就是当前输出的幅度值，即]

cos[(π

181

⨯= -0.6055。

/

)

256

由于只有简单的加、减操作，查表法的速度非常快，这是它最重要的优点。另外，由于需要存储查找表，查找表需要消耗一定的存储时间，特别是当表格比较大时，这种开销是惊人的，往往令系统难以承受。这时，就需要使用其他方法来产生正弦波了，比如数字振荡器法。

还可以根据泰勒级数展开近似求得sin或者co s函数

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!

cos=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!

在利用2倍角来产生正弦，程序在下面的文档进行更新