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Shang Hai Normal University

《高级微观经济学》习题

1．一个凸的、单调偏好的消费者消费非负数量的12,x x ：

（1）如果121212

/(,)a a

u x x x x -=代表其偏好，那么，对参数值a 的取值有什么限制？请解释。

（2）给定这些约束，计算马歇尔需求函数

2．已知柯布－道格拉斯效用函数11212

αα

(,)u x x x x -=，试回答下列问题： （1）导出马歇尔需求函数(,)x p m 和间接效用函数(,)v p m ，并验证罗伊恒等式

（2）验证(,)x p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 （2）验证(,)x p m 满足瓦尔拉斯定律 （3）验证(,)v p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 （4）验证(,)v p m 在(,)p m 上是拟凹的

3．已知 CES 效用函数ρ

ρρ1

2121x x x x u )(),(+=（10<≠ρ），试回答下列问题：

（1）导出的希克斯需求函数(,)h p u 和支出函数(,)e p u ，并验证谢泼德引理 （2）验证(,)h p u 在p 上是零次齐次的

（3）验证(,)h p u 满足((,))u h p u u =，即没有超额效用 （4）验证(,)e p u 在p 上是一次齐次的 （5）验证(,)e p u 在u 上是严格递增的 （6）验证(,)e p u 在p 上是凹的

4．考察下式给出的间接效用函数：1212

(,,)m

v p p m p p =

+，求： （1） 马歇尔需求函数 （2） 支出函数

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（3） 直接效用函数

5．(,)i x p m 是消费者对商品i 的马歇尔需求函数（1,...,i k =），其需求收入弹性

和需求需求交叉价格弹性分别为：i i i x m m x η∂=∂，j i ij j i

p x p x γ∂=∂，试证明：

（1） 恩格尔加总规则：1

1k

i i i s η==∑，这里/i i i s p x m =

（2） 古诺加总规则：1

k

i ij i s s γ==-∑

6．令斯卢茨基方程右端第一项h i j x p ⎛⎫

∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭

为ij s ，ij s 为i x 和j x 的净替代效应，设效用

函数为12r u x x =，试证明：1111220s p s p +=

7．某人的效应函数是

1212

(,)u x x x x =，他的收入100m =。最初的商品价格是

p=(1,1)，假设现在价格变化为p’=(1/4, 1)。计算EV 、CV 和⊿CS,比较计算结果并做简要解释

8．设一个严格风险规避者的期望效用函数为()u ⋅，他的初始财富W 0面临着损失L 美元的风险，设发生损失的概率为π。决策者可以购买保险以规避风险，假设1美元财产的保险费为p ，当损失发生时保险公司提供1美元的补偿；假设保险价格为公平保费率，则决策者会购买多少保险？

9．设消费者的期望效用函数为1()/u w w =-，他可以参加一次赌局，以p 的概率获得财富w 1，以（1-p ）的概率获得财富w 2，当初始财富水平w 0为多少时，维持现有财富与接受赌局对他来说是无差异的？

10．如果个体的期望效用函数形如：2

0()u w Aw Bw B =->

（1）求该个体的绝对A-P 风险规避系数和相对A-P 风险规避系数； （2）证明绝对A-P 风险规避系数是财富ω的单增函数

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11．证明：

（1）A-P 绝对风险厌恶系数A(w)=c 的充要条件是期望效用函数为：

0()()cx u w Ae A -=->

（2）A-P 相对风险厌恶系数R(w)=c≠1的充要条件是期望效用函数为：

10()()c u w Aw B A -=+>

（3）A-P 相对风险厌恶系数R(w)=1的充要条件是期望效用函数为：

0()ln ()u w A w B A =+>

12．假设某人是风险厌恶的，有2万元的初始财富；假设某种事故的发生的概率为50％，在事故发生的情况下该人的财富会损失一半：

（1）如果由一个保险公司向该个体提供事故保险，公平保费率应该是多少？用图解释，在公平保费率下，这个人会购买完全保险。

（2）如果有A 和B 两家保险公司同时以公平保费率提供保险服务，但A 公司要求客户只能购买完全保险，而B 公司不允许客户的投保超过他所有财产的一半，证明这个人会购买A 公司的保险。

13．考虑下面保险需求的比较静态问题：

（1）证明：如果其他条件不变，则灾害发生的概率越高，或者灾害损失越大，则个体投保的金额越高

（2）如果灾害发生的概率p 增加时，保险公司按比例提高保费率：

00ππβ()p p =+-，讨论灾害发生概率从p 0增加到p 时保险需求的变化。

14.将A-P 绝对风险厌恶系数的导数定义为个体的风险容忍系数（risk tolerance ）：

()1()

'()"()R Tx Ax u x u x

==-，假设个体具有线性风险容忍系数：

()RT x x αβ=+，试证明：

()

10,1,11b

u a x γαβγβγ-=≠⇒=+

=-

14．当12αα≠时，一般的CES 技术(

)

11122

y x x =+ρρρ

αα的替代弹性为多少？