S域分析极点与零点

§5.2 由系统函数决定系统频 率特性
什么是系统频率响应？
不同频率的正弦激励下系统的稳态响应 一般为复数，可表示为下列两种形式：
H ( j ) R( j ) jI ( j ) H ( j ) H ( j ) e
j ( j )
e(t ) Em sin 0t
Em 0 E ( s) 2 2 s 0
(1 e ) V01 (s) H (s).E1 (s) s( s )
（7）求第一周期的稳态响应
V0 s1 ( s ) V01 ( s ) V0t ( s)
(1 e ) 1 e 1 . T s( s ) 1 e s
s

1 e t v0 s1 (t ) [1 .e ].u (t ) T 1 e (1 e (t ) ).u (t )
一在原点的零点，一
在实轴的极点
只有无穷远处的零点
k H ( s) s p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ +
U1
—
C
R
U2 —
U 2 ( s) R s H ( s) U1 (s) R 1 s 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j ( ) H ( j ) e M
暂态 稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
K1 V0t ( s ) s
固定常数
1 e K1 V0 ( s)(s ) s 1 eT

衰减因子
1 e t v0t (t ) .e T 1 e
s
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
U2 U1
0, N 0, M 1 RC N M 0


900
1 RC
1源自文库
RC
, N
2 RC ,
1
RC
, 45 ,
0


M
,
N
M

1 2
450
N 1, 0 M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+ R
+
U2
C
1 U2 H (s) Cs 1 U1 R Cs
M1
1 p1 R1C1
M2
1 p2 R2C2
N1
1 1 R1C1 R2C2
高通
M2
p1 1 R1C1
M1
低通
1 p2 R2C2
k N1 H ( j ) e j (1 1 2 ) R1C1 M 1M 2
（2） 几种典型的极点分布—— (f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
0
h(t )

0

p2
j 1
t
1 H ( s) 2 2 (S ) 1
h(t ) e
t
sin 1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 j h(t ) j1 p1
m
( j p )
i i 1
j 1 n
N1 N 2 N m j ( i l ) k e i1 l 1 M 1M 2 M n
m
n
j
j p1 M1e
j1
p1
z1
2
j z1 N1e
j1

p
1 例：已知 H ( s) 3 试求当 1 2 s 2s 2s 1

p1
j
0
h(t )
e t

t
1 H (s) S
h(t ) e
t
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
j
0
h(t )

p1

e
0
t
t
1 H (s) S
h(t ) e
t
（2） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1
U1
_
_
1 1 . RC s 1 RC
j
M
1 RC
1 j ( 1 ) H ( j ) k e M
没有零点
U2 U1
幅频特性
0,

1 RC
M1
RC
U2
U1
1
1 , M 2 , U2 1 U1 2 RC RC
450
相位特性
45
0
与激励无关 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数 E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
激励E(s)的极点影响
激励E(s)的极点也可能是复数
增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 等幅，稳态
衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0 Re[ pk ] 0 Re[ pk ] 0
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t )

e(t )
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换
1 1 (1 e ) s snT E (s) (1 e ) e sT s s (1 e ) n 0
R2
V2


V2 ( s ) k s H ( s) V1 ( s ) R1C1 1 1 s s R1C1 R2C2 k s R1C1 ( s p1 )(s p2 )
k N1e j1 H ( j ) R1C1 M 1e j1 M 2 e j 2 k N1 V1 j ( ) j (1 1 2 ) e e R1C1 M 1M 2 V2
时的幅频和相位
1 H ( s) 1 j 3 1 j 3 ( s 1)(s )(s ) 2 2
M1
j1
1
M1 1.414
450
M2
j1
1 1 H ( j1) M 1M 2 M 3 2
2 M 2 0.517 2 150
M3
3
j1
j1 (450 150 750 ) 1350
0
j 1

p2

0
t
1 H ( s) 2 ( S ) 2 1
h(t ) sin 1t.u(t )
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t )

0
t
1 H ( s) 2 S
h(t ) t
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
（4） 零点的影响
sa H1 ( s ) ( s a) 2 2
零点移动 到原点
s H 2 ( s) ( s a) 2 2
z0
z0
a h(t ) e 1 cos(t ) a 1 tg ( )
at 2
h(t ) eat cost
（4） 零点的影响
零点的分布只影响时域函数的幅度
和相移，不影响振荡频率
幅度多了 一个因子
h(t ) e
at
at
cost
2
a h(t ) e 1 cos(t ) a 1 tg ( )
多了相移
结论
H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
系统函数的定义
系统零状态下，响应的拉氏变换与激励
拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
R( s ) H ( s) E ( s)
可以是电压传输比、电流传输比、转移
阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
系统函数的极零点分布

s
（2）求系统函数H(s)
H ( s) 1 Cs 1 R Cs

j
1 RC


s


（3）求系统完全响应的拉氏变换 V0 ( s)
(1 e ) V0 ( s) E ( s).H ( s) sT s( s )(1 e )
s
)s( s0V )s( t0V )s(0 V
Vos1 (t )
(T )
1
0

t
（8）整个周期矩形信号的稳态响应
v0 s (t ) v0 s1 (t nT )[u (t nT ) u (t (n 1)T )]
n 0

稳态响应
完全响应
A
B
暂态响应
B
1 e A T 1 e

1 e B T 1 e
n ki h(t ) L s pi i 1
1

k e
i 1 i
n
pi t

h (t )
i 1 i
n
总特性
第 i个极点决定
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
0
h(t )

p1
t
1 H (s) S
h(t ) u (t )
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
0
j1

h(t )
0
p2
j 1
t
1 H ( s) 2 2 S 1
h(t ) sin 1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布—— (e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1
0
j1

h(t )
0
p2
j 1
t
S H ( s) 2 2 S 1
h(t ) cos1t.u(t )
j
H (s)
k (s z j )
m
p1
p0
p2
z1
z0
(s pi )
i 1
j 1 n

z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
H (s) k (s z j )
m
反变换
(s p )
i i 1
j 1 n


e(t ) Em sin 0t
幅度该变
r(t ) Em H0 sin(0t 0 )
相位偏移
H ( j0 ) H0e
j0
若 0 换成 变量

H ( j) H ( j) e
系统频率 特性
j ( j )
幅频特性
相位特性
用几何法求系统频率特性
H ( j ) k ( j z j )
j
h(t )

0
t
1 H ( s) 2 (S )
h(t ) te
t
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点 j h(t )

0
t
2S H ( s) 2 2 2 ( S 1 )
h(t ) t sin 1t
（3） 有二重极点分布—— (d)在左半平面有二重共轭极点
M3 1.932 3 750
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析
已知该系统的H(s)的极零点在S平面
的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
（1）一阶系统
s z1 H (s) K s p1 s H (s) K s p1
一零点，一在实轴的
极点
j0
k j0 ( s j ) R( s)
Em H 0e j 0 2j
k j 0 ( s j ) R( s)
稳态响应 有关的
s j 0
Em H 0 e 2j
j 0
Em H 0 j ( 0t 0 ) j ( 0t 0 ) Rw ( s) e e 2j
j
j1

h(t )
0
j 1
t
2 ( S ) H ( s) [(S ) 2 12 ]2
h(t ) te sin 1t
t
j

一阶极点
j

二重极点
极点影响小结：
极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋
势 极点落在右半平面— h(t)逞增长趋 势 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 极点落在原点— h(t)等于 u(t)


0
1 RC
U2 , M ,
U1
0
90
90
0
（2） 二阶非谐振系统的S平面分析
只考虑单极 点使系统逞 低通特性

只考虑一极点 和一零点使系 统逞高通特性

高通

总体是个带通
H ( j)
低通 中间状态是个常数

例：


V1
R1
C1

C2

KV3
R( s ) E ( s ) H ( s ) n k j 0 k j 0 ki s j 0 s j 0 i 1 s pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
如系统是稳定的， 该项最后衰减为零
H ( j0 ) H0e
j0
H ( j0 ) H0e
s j 0