人教A版高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件
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人教A版高中数学必修四2.4.1《平面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义》 教学课 件【精 品】
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知 | a | 6 ,| b | 4 ,a 与 b 的夹角为 60 o ,
求 (a2b)(a3b).
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分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
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再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例1.证明(1) (ab)2a22abb2;
22
(2) (ab)(ab)ab.
证明:(1) (a b) 2 (ab)(ab)
aaabbabb
2
2
a 2abb
(2)(ab)(ab) aa-abba-bb
22
a b
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问题1. 某人拉车,沿着绳子方向上的力为 F ,
车的位移为 S ,力和位移的夹角为 ,力所做的
功为多少?
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
F S
FS
问题2.决定功的大小的量有哪几个?
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
b
F
S
a
a • b | a || b | cos
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
人教A版高中数学必修四2.4.1《平面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义》 教学课 件【精 品】
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
探究:数量积作为一种运算,有怎样的运算律呢?
运Fra Baidu bibliotek律 实数乘法
向量的数量积
交换律
abba
abba
(ab)ca(bc)
结合律 (ab)ca(b)c (a ) b a (b ) a b
若a 与 b 反向,则 a b | a || b | ;
特别地,a a |
a
| 2
2
a ,|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ;
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
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概括总结
平面向量数量积的物理背景及其含义
今天你学到了什么?
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解: (a2b)(a3b)
aaab6bb |a|2ab6|b|2 |a|2|a|b ||co 6s 0 6|b|2 62641642
2 72
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典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例3 已知︱a ︱=3,︱b ︱=4,且 a 与 b 不共线.求 当k为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直?
(× ) (× )
5.若b≠0,a ·b= b ·c,则a=c
(× )
6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 ( × )
7对任一向量a,有a2=|a|2
(√ )
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定义 已知两个非零向量 a 与b ,我们把数量 | a||b| cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积),
记作 a b ,即 ab|a||b|cos,
其中是 a 与 b 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
1.“ ”是数量积运算符号,不能省略也不能用“ ”代替; 2. 数量积 a b 的结果是一个实数.
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巩固练习
平面向量数量积的物理背景及其含义
1.在△ABC中, BA =a , BC =b ,a·b<0 ,则△ABC 是_钝__角__三角形
2.已知正三角形ABC的边长为1,求:
1
(1)AB AC
2
;
1
(2)AB BC
2
;
1
(3)AC BC
2
.
B
A
120
60
C
60
总结性质
平面向量数量积的物理背景及其含义
3.平依面据向数量量积数定量义积完的成性以质下问题(a 与(ba是与非零b向是量)非零向量)
(1) a b ab 0 ; 判定两向量垂直 (2)若 a 与 b 同向,则 a b | a || b | ;
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
B
b
O OB | b | cos B1 1
ab|a||b|cos
a A
| b | cos 叫做 b 在 a 方向上的投影; | b | cos a b |a|
| a | cos 叫做 a 在 b 方向上的投影; | a | cos a b |b|
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平面向量数量积的物理背景及其含义
练习:判断正误
1.若a=0,则对任一向量b ,有a ·b=0
(√ )
2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a ·b≠0 ( × )
3.若a≠0,a ·b=0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标:
(1)理解和掌握向量数量积的定义; (2)掌握向量数量积的重要性质; (3)理解向量数量积的几何意义; (4)掌握向量数量积的运算律
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
F
S
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
F S
证明分配律:
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
是OM、MN、 ON, 则 O M
Nc
(a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
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再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab|a||b|cos
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投
影 | b | cos 的乘积.
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交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
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平面向量数量积的物理背景及其含义
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
2π
3
则 a在е方向上的投影是___–_2_
3.设a、b、c是非零向量,则(a·b)·c是( C )
(A)数量
(B)与a共线的向量
(C) 与c共线的向量 (D)无意义
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探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab| a||b| cos
问题3.决定向量数量积的大小的量有哪几个? 数量积的正、负、零由谁决定?
0 0
2
22
a b 0
巩固定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
口答
1.已知| a | 5 ,| b | 4 , a 与 b 的夹角 120o , a b 10 .