第七章第五节对角矩阵
7.5 对角矩阵
2
− x3
−1 −1 −1 1 , 0 → ξ = (ε , ε , ε ) 1 = − ε + ε ， → 基础解系为 1 1 2 3 1 2 0 1 0 −1 = ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 = − ε 1 + ε 3 是属于特征值 − 1 的线性无关的特 1
1 A = 2 2
阵. 解: 1)
2 1 2
2 2 ，求一个可逆矩阵 X，使得 X − 1 A X 是一个对角矩 1
据题设，已知 A 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 A .
λ −1
2) 求特征值：令 f A ( λ ) =
λE − A =
= λ
−2 −2
本节形成如下概念： 设线性变换 A 在数域 P 上的全部特征值是
λ1 , λ2 ,⋯, λk → 相应的 k 个齐次线组 (λ E − A)X = 0 的解空间即
A 的 k 个特征子空间: Vλ1 , Vλ2 , ⋯, Vλ k →
作业： 习题20.1)； 作业： P325 习题 ； 3)；5)；7)， λ2 + ⋯ + dim Vλ k = n(= dimV) ， ；dimVλ1 +dimV ； ， 习题21，习题23， 习题 ，习题 ，习 则解 k 个齐次线组 (λ E − A)X = 0 ， 求得之基础解系在给定基下的 题24.
□
3 （推论 推论1） A ∈L(V), dimV=n, fA (λ)在数域 中有 个 在数域P中有 推论 在数域 中有n个 不同的根，则可对角化 不同的根，则可对角化.
A λ1
ξ1
λ2
对角矩阵
对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵:满足A A T =矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n 阶矩阵. 一般地,一个n 阶行列式ija =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑8题aa a a aa a a a A 2012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n . 分析：证明：初等变换n a n na n a a a na n aa a aa a a aa a a aa a aa a a )1()1(34232)1(01000034000023000012201200034002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 例4 证明时）当b a b a ba b a ba a bb a b b a a b b a n n ni i i n ≠--==++++++=-∑(000000000110分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式再用归纳法证明之 也可以：nn n n a bD ab a b a b a bD ba ab ba b a b a bD ba ab ba b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---1110000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba b a D baD b a b a D D D D n n n n n n n n n n ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n n a n aaa a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当b a b a ba cd ba db acd b a n n --++++=++11000000000cd ab 其值为）推广：（于是对于可逆矩阵 A ,有,*1A A A =- A A A =-1*)(A 可逆时还有A A A =-1*)( 1*11*1)()()(----===A A A A A A .伴随矩阵的其它性质:错误！未找到引用源。
对角矩阵行列式计算公式
对角矩阵行列式计算公式对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非主对角线上的元素都为零。
对角矩阵一般形式如下：A=[a1,0,0, 0[0,a2,0, 0[0,0,a3, 0[...,...,...,...,...][0, 0, ..., ..., an]其中，a1, a2, ..., an是对角线上的元素，而0表示非对角线上的元素。
要计算对角矩阵的行列式，可以利用行列式的性质。
行列式是一个标量，用来度量矩阵的行与列之间的关系。
对角矩阵具有一些特殊的性质，使得行列式的计算非常简单。
首先，根据行列式的性质，一个矩阵的行列式等于它所有行或列的行列式的乘积。
对角矩阵只有主对角线上有非零元素，非主对角线上的元素都为零，所以矩阵的行列式可以简化为主对角线上元素的乘积。
行列式的计算公式是通过展开定理来计算的。
对于一个n阶矩阵，展开定理表示为：det(A) = a1 * det(A1) - a2 * det(A2) + a3 * det(A3) - ... + (-1)^(n-1) * an * det(An)其中，A1,A2,...,An是矩阵A的余子式，通过去掉第i行和第j列得到（其中第i行和第j列的元素可以是任意元素）。
对于对角矩阵来说，除了主对角线上的元素外，其余所有的余子式都是零。
因为对角矩阵的非主对角线上的元素都为零，所以无论去掉哪一行或者哪一列都会得到一个全零的矩阵。
所以，对角矩阵的行列式计算公式非常简单，即将主对角线上的元素相乘即可。
det(A) = a1 * a2 * a3 * ... * an这个公式适用于任意阶数的对角矩阵。
举个例子来说明：假设有一个3阶对角矩阵A：A=[2,0,0][0,3,0][0,0,4]根据行列式的计算公式，有：det(A) = 2 * 3 * 4 = 24所以，3阶对角矩阵A的行列式为24对角矩阵的行列式计算公式非常简单，只需要将主对角线上的元素相乘即可得到结果。
这个公式的计算效率非常高，不需要进行繁琐的展开运算。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
矩阵对角化
1 I A 5
0
1 0 1 1 5 0 ( 2) 5 5 0 2
( 2)( 2 6 ) ( 2)( 6) 0
得A的全部特征值为1 0, 2 2, 3 6.因A的特征值互 不相同, 故A必可对角化. 对于特征值1 0, 解方程组(0 I A) x 0,由 1 1 0 1 0 I A A A 0 0 1 基础解系1 1 0 0 0 0 对于特征值2 2, 解方程组(2 I A) x 0,由 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 I A 5 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 基础解系 2 (0, 0,1)T 对于特征值3 6, 解方程组(6 I A) x 0,同样可得
3 (1,5, 0)T , 则1 , 2 , 3就是A的3个线性无关的特征向量.
1 0 1 0 令矩阵P 1 2 3 1 0 5 , 则有P 1 AP 2 0 1 0 6 注意对角矩阵主对角元素( A的特征值)的排列次序与P的列向量 ( A的特征向量)的排列次序一定要一致. 0 0 1 例2 : 常数a, b满足什么条件时, A a 1 b 可对角化 ? 在可 1 0 0 对角化时, 求可逆矩阵P, 使得P 1 AP成为对角矩阵, 并求An 解 :由A的特征方程 0 1 I A a 1 b ( 1) 2 ( 1) 0 1 0 得A得全部特征值为1 2 1, 3 1
故A可对角化 a b 0 当a b 0时, 下面来求化A为对角矩阵的相似变换的矩阵P 0 0 1 此时A a 1 a 1 0 0
7.5 对角矩阵
T就是基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 到基 η1 ,η 2 ,⋯ ,ηn 的过渡矩阵 就是基 的过渡矩阵.
例 2 设线性变换 A 在基 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵
为
2 − 2 2 A= 2 5 − 4 . − 2 − 4 5
问是否存在一组基， 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对 角形？若存在，求出这组基 角形？若存在，求出这组基.
证毕
从上面这两个定理就得到
推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 个不同的根， A 有 n 个不同的特征值，那么 A 在某组基下的 个不同的特征值，
矩 阵是对角形的. 反之不然. 阵是对角形的. 反之不然. 个根, 因为在复数域中任一个 n 次多项式都有 n 个根 所以上面的论断可以改写成
作业
P325 20. (5)； 24.（1） ； （ ）
三、线性变换（矩阵）可对角化的步骤 线性变换（矩阵）
为维线性空间V的一个线性变换 设 A为维线性空间 的一个线性变换，ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 为维线性空间 的一个线性变换， 的一组基， 为V的一组基， 的一组基 A在这组基下的矩阵为 在这组基下的矩阵为A. 在这组基下的矩阵为
步骤: 步骤
λ 0 λ E − A = ⋯ 0 0
−1 0 λ −1 ⋯ ⋯ 0 0 0 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋯ = λn −1 λ
的特征值为0 ∴ D的特征值为0（n重）. 的特征值为 重 又由于对应特征值0的齐次线性方程组 − AX = 0 又由于对应特征值 的齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为n－ 的系数矩阵的秩为 －1，从而方程组的基础解系 只含有一个向量， 的维数n（＞ （＞1） 只含有一个向量，它小于P[ x ]n的维数 （＞ ）. 故D不可对角化 . 不可对角化
对角矩阵的交换律条件(一)
对角矩阵的交换律条件(一)对角矩阵的交换律条件什么是对角矩阵对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非对角元素均为零。
具体来说，如果矩阵A的非对角元素都是零，那么我们可以称A为对角矩阵。
对角矩阵的性质性质一：对角矩阵的乘法两个对角矩阵相乘的结果仍然是对角矩阵。
设A和B分别为两个对角矩阵，它们的乘积AB可表示为：AB = diag(a1 * b1, a2 * b2, …, an * bn)其中a1, a2, …, an分别为A的对角线上的元素，b1, b2, …, bn分别为B的对角线上的元素。
性质二：对角矩阵的转置对角矩阵的转置等于其本身，即A^T = A。
性质三：对角矩阵的行列式对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积，即|A| = a1 * a2 * … * an。
对角矩阵的交换律条件对于对角矩阵的交换律，我们需要考虑以下条件：1.两个对角矩阵A和B的规模相同，即A和B都为n阶矩阵。
2.两个对角矩阵A和B的对角线上的元素满足交换律，即a1 * b1 = b1 * a1, a2 * b2 = b2 * a2, …, an * bn = bn * an。
只有当以上两个条件都满足时，对角矩阵A和B才满足交换律。
换句话说，对角矩阵的交换律条件是：两个对角矩阵的规模相同且对角线上的元素满足交换律。
例子分析我们用一个例子来说明对角矩阵的交换律条件。
设A和B分别为如下两个对角矩阵：A = | 2 0 | | 0 -3 |B = | 1 0 | | 0 4 |我们可以观察到，A和B的规模相同，且对角线上的元素满足交换律。
因此，A和B满足交换律。
对角矩阵是一种特殊的方阵，其交换律条件是两个对角矩阵的规模相同且对角线上的元素满足交换律。
通过理解对角矩阵的性质和交换律条件，我们能够更好地应用这一概念在数学和工程问题中。
对角矩阵的交换律条件实际应用几何变换对角矩阵在几何变换中有着广泛的应用，特别是在缩放和旋转变换中。
在二维平面上，我们可以通过对角矩阵来表示缩放变换，对角线上的元素代表了在x和y方向上的缩放比例。
矩阵的特殊类型和对角化的计算
矩阵的特殊类型和对角化的计算矩阵在数学和工程领域中扮演着重要的角色，它不仅可以描述线性系统和变换，还可以应用于数据处理、图像处理等领域。
在矩阵理论中，存在着多种特殊类型的矩阵，如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
而对角化则是指将一个矩阵转化为对角阵的过程，它在矩阵运算和特征值计算中扮演着重要的角色。
一、对角矩阵对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的主对角线以外的元素全部为零。
具体而言，一个n阶对角矩阵可以表示为：其中a_i (i=1,2,...,n)为非零数。
对角矩阵有很多重要的性质，比如对角线元素之间的运算不会相互影响，可以通过分解成对角线元素的运算来简化问题，从而提高计算效率。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的主对角线以下的元素全部为零，下三角矩阵则是指主对角线以上的元素全部为零。
具体而言，一个n阶上三角矩阵可以表示为：而一个n阶下三角矩阵可以表示为：上三角矩阵和下三角矩阵在矩阵运算和求解线性方程组时有着重要的应用，比如高斯消元法中的三角分解法就是利用了上三角矩阵和下三角矩阵的性质。
三、对角化和特征值计算对角化是指将一个矩阵转化为对角阵的过程。
一个n阶矩阵A可以进行对角化的条件是存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D为对角阵。
对角化的重要性在于可以简化矩阵的运算和求解问题，尤其是在求解矩阵的特征值和特征向量时。
对于矩阵的对角化计算，主要分为以下几个步骤：1. 求解矩阵A的特征值λ和特征向量v；2. 构成特征向量矩阵P，P的每一列为矩阵A对应特征值的特征向量；3. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^(-1)；4. 进行对角化计算，得到对角矩阵D=P^(-1)AP。
对角化的计算过程中，特征值的计算是关键步骤。
特征值可以通过求解矩阵A的特征多项式的根来获得。
对于n阶矩阵A，其特征多项式可表示为：其中λ为变量。
求解特征多项式的根即可得到所有的特征值，进而计算出对应的特征向量。
在实际应用中，矩阵的对角化计算在优化问题、信号处理等方面有着广泛的应用。
矩阵的对角化及其应用
矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。
第七章 第五节 对角矩阵
§7.5 对角矩阵
1 0 1 0 1 0 . 1 ,2 ,3 1 , 2 , 3 1 0 1
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
§7.5 对角矩阵
所以A可对角化.
令
1 2 1 3 2 T 1 0 0 1 13
则
2 0 0 T 1 AT 0 2 0 0 0 4
§7.5 对角矩阵
四、小结 五、作业 P321，21,23,2）利用2） 的计算结果判断是否可以对角化。
§7.5 对角矩阵
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).
§7.5 对角矩阵
三、对角化的一般方法
设 为维线性空间V的一个线性变换， 1 , 2 ,
为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.
, n
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1 , 2 ,
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0 2 2 2 x2 0 3 6 3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , ,1) 3 3
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
§7.5 对角矩阵
定理8的推广：
4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 , k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri 是属于
§5 对角矩阵
ξi1 ,L, ξir (i = 1, 2,L, s),
i
显然，它就是特征子空间 Vλi 的一组基，i = dimVλi 即为 r 特征值 λi 的几何重数，若 r1 + r2 + L + rs = n,
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上式两端用A 作用得 A (a1ξ1 + a2ξ 2 + L + ak +1ξ k +1 ) = 0, 即 a1λ1ξ1 + a2λ2ξ 2 + L + ak +1λk +1ξ k +1 = 0, 另一方面，（1）式两端乘以 λk +1 得 a1λk +1ξ1 + a2λk +1ξ 2 + L + ak +1λk +1ξ k +1 = 0, (2)－(3)得
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注3 一个线性变换的的矩阵能不能在一组基下
是不是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于 一个对角阵的问题. 本节所讨论的是前一个问题，当然这些结论都可 以平移到后一个问题.
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例 在§4的例2中，已经算出线性变换A 的特征 值是－1（二重）与5，而对应的特征向量是 ξ1 = ε1 − ε 3 , ξ2 = ε 2 − ε 3 , ξ3 = ε1 + ε 2 + ε 3 . 由此可见，A在基 ξ1 , ξ 2 , ξ3 下的矩阵为对角阵
第七章 对角矩阵
λ
x1 = − x3 再解齐次线性方程组 ( −1 ⋅ E − A ) X = 0, 得 x = 0 2
故其基础解系为： 故其基础解系为： (1,0, −1) 所以， 所以， η3 = ε 1 − ε 3 的属于特征值－ 的线性无关的特征向量 的线性无关的特征向量. 是σ 的属于特征值－1的线性无关的特征向量
ai ∈ P
①
设 a1ξ1 + a2ξ 2 + ⋯ + akξ k = 0, 以 λk 乘①式的两端，得 式的两端，
a1λkξ1 + a2λkξ 2 + ⋯ak λkξ k = 0.
又对① 又对①式两端施行线性变换 σ ，得
②
a1λ1ξ1 + a2λ2ξ 2 + ⋯ ak λkξ k = 0.
③
③式减②式得 式减②
{
η1 ,η2 ,η3 线性无关，故 σ 可对角化，且 线性无关， 可对角化，
σ 在基 η1 ,η2 ,η3 下的矩阵为对角矩阵
1 0 0 0 1 0 ; 0 0 −1
1 0 1 (η1 ,η2 ,η3 ) = ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 . 1 0 −1
即 ai 1ξ i 1 + ⋯ + airi ξ iri = 0. 线性无关， 而 ξ i 1 ,⋯ , ξ iri 线性无关，所以有
ai 1 = ⋯ = airi = 0, i = 1, 2,⋯ , k .
线性无关. 故 ξ11 ,⋯ , ξ1r1 ,⋯ , ξ k 1 ,⋯ , ξ krk 线性ri ξ iri , i = 1,2,⋯ , k .
η 由④有， 1 + η2 + ⋯ + ηk = 0.
对角矩阵的计算公式(一)
对角矩阵的计算公式(一)对角矩阵什么是对角矩阵对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非对角元素都为零，对角元素可以是任意数。
简单来说，对角矩阵就是一个主对角线上都是非零元素，其他位置都是零的矩阵。
对角矩阵的表示方式对角矩阵可以使用数学符号进行表示。
假设对角矩阵的元素为 a1, a2, …, an，则可以表示为：A = [ a1 0 0 ... 0 ][ 0 a2 0 ... 0 ][ 0 0 a3 ... 0 ][ ... ... ][ 0 0 0 ... an ]对角矩阵的计算公式对角矩阵的转置对角矩阵的转置等于它本身，即 AT = A。
对角矩阵的和与差当两个对角矩阵 A 和 B 的阶数相同时，它们的和与差的计算非常简单，只需要对应位置上的元素进行相加或相减即可。
例如：A = [ 3 0 0 ][ 0 -2 0 ][ 0 0 4 ]B = [ 1 0 0 ][ 0 2 0 ][ 0 0 6 ]A +B = [ 3+1 0+0 0+0 ][ 0+0 -2+2 0+0 ][ 0+0 0+0 4+6 ]= [ 4 0 0 ][ 0 0 0 ][ 0 0 10 ]对角矩阵的乘法对角矩阵的乘法也相对简单，只需要对应位置上的元素相乘即可。
例如：A = [ 3 0 0 ][ 0 -2 0 ][ 0 0 4 ]B = [ 1 0 0 ][ 0 2 0 ][ 0 0 6 ]A *B = [ 3*1 0*0 0*0 ][ 0*0 -2*2 0*0 ][ 0*0 0*0 4*6 ]= [ 3 0 0 ][ 0 -4 0 ][ 0 0 24 ]对角矩阵的数乘对角矩阵的数乘，即将矩阵中的每个元素都乘以同一个数。
例如：A = [ 3 0 0 ][ 0 -2 0 ][ 0 0 4 ]2A = [ 2*3 2*0 2*0 ][ 2*0 2*(-2) 2*0 ][ 2*0 2*0 2*4 ]= [ 6 0 0 ][ 0 -4 0 ][ 0 0 8 ]结语对角矩阵是一种简单而重要的矩阵类型，它在数学和线性代数中有广泛的应用。
对角矩阵
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0 2 2 2 x 2 0 3 6 3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , ,1) 3 3
三、可对角化的条件
1.(Th.7)设 A 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量. 证明.
A 2.(Cor.1)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
若 A 在域 P 中有 n 个不同的特征值.则A 可对角化 证明.
3.
(Cor.2) 在复数域C上的线性空间中，
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
1 0 1 T 0 1 0 , 1 0 1 1 0 0 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 1
例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使
3 2 1 T 1 AT 为以角矩阵. 这里 A 2 2 2 3 6 1
必有所有的 i 0, i 1,2, , k .
即 ai 1 i 1 airi iri 0. 而 i 1 , , iri 线性无关，所以有
ai 1 airi 0, i 1,2, , k .
故 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
得A的特征值是1、1、－1. 解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x1 x3 故其基础解系为： (1,0,1),(0,1,0) 所以， 1 1 3 , 2 2 是A 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.
对角矩阵的表示方法
对角矩阵的表示方法一、对角矩阵的基本概念。
1.1 对角矩阵啊，那可是矩阵家族里相当特别的存在。
简单来说呢，对角矩阵就是除了主对角线（从矩阵左上角到右下角的这条对角线）上的元素之外，其他位置的元素都为零的矩阵。
就像是住在公寓里，只有主对角线上的“房间”住着人，其他地方都是空的，多有趣的一种矩阵形式啊。
1.2 咱们用个小例子来说明。
比如一个3×3的对角矩阵可能长这样：主对角线上的元素是1、2、3，其他地方都是0，就像这样：begin{bmatrix}1 0 0 0 2 0 0 0 3end{bmatrix}2.1 一般来说呢，我们可以直接把对角矩阵写出来，就像刚刚举的那个例子一样，规规矩矩地把元素按照矩阵的格式排列好。
这就好比是把一个东西原原本本地摆在你面前，简单直接，没有什么弯弯绕绕的。
2.2 还有一种表示方法，就是用符号来表示。
我们可以写成diag(a₁, a₂, …, aₙ)，这里的a₁, a₂, …, aₙ就是主对角线上的元素。
这就有点像给对角矩阵取了个简洁的名字，一说这个名字，就知道是哪个对角矩阵了。
就好比我们说“老王”，大家就知道是特定的那个人一样。
这在数学里是很方便的表示方式，特别是当我们要处理很多对角矩阵的时候，这种简洁的表示就像一把“万能钥匙”，能让我们轻松地应对。
2.3 另外呢，如果我们从编程的角度来看对角矩阵的表示。
在一些编程语言里，我们可以用数组或者列表之类的数据结构来表示对角矩阵。
比如说在Python里，我们可以用嵌套的列表来表示。
不过这时候就要特别注意元素的排列顺序要符合矩阵的定义，可不能乱了套，就像排队一样，得按照规则来，不然就乱成一锅粥了。
三、对角矩阵表示方法的意义。
3.1 从数学运算的角度看，这种表示方法方便我们进行各种矩阵运算。
比如说矩阵的乘法，如果是对角矩阵相乘，因为有这样特殊的表示和结构，计算起来就比一般的矩阵相乘要简单得多。
这就好比走捷径一样，让我们在数学的道路上能够更快地到达目的地。
对角矩阵表示方法
对角矩阵表示方法今天咱们来唠唠对角矩阵这个有点奇特的家伙的表示方法。
这对角矩阵啊，就像是一群特殊的小方块排排站。
你可以把对角矩阵想象成一个超有个性的高楼大厦，每一层只有一个房间住着数字，其他房间都是空的。
它的表示方法呢，就像是这个大厦的建筑蓝图。
从数学的角度看，对角矩阵的表示那可是相当简洁明了。
就像用几个关键的密码就能打开宝藏一样，几个对角线上的数字就把这个矩阵的精髓给抓住了。
那些非对角线上的元素就像不存在似的，全是零，就好像是一群隐形人，默默地在旁边看着主角们（对角线上的元素）在那闪耀。
如果把矩阵比作一个大舞台，对角矩阵的表示方法就是只给舞台中央的几个明星（对角元素）打光，周围的黑暗处（非对角元素为零）就被忽略不计了。
它就像是一场只属于几个主角的表演，其他配角（非对角元素）都不需要出场。
而且啊，对角矩阵的表示方法就像一个超级高效的快递员，只把最重要的包裹（对角元素）送到目的地，那些没用的包裹（非对角的零元素）就留在原地。
这效率，简直高到飞起。
有时候我觉得对角矩阵的表示方法像是一种魔法咒语。
你只要按照这个咒语（写出对角线上的元素，其他地方写零），就能召唤出这个特殊的矩阵。
它就像一个神秘的魔法阵，那些对角线上的数字就是魔法阵的关键符文。
再夸张一点说，对角矩阵的表示方法就像一把特制的钥匙，这把钥匙只能打开一扇超级特别的门，而这个门后面就是对角矩阵的世界。
这个世界里简单又纯粹，只有那些对角线上的数字在那蹦跶。
我们还可以把对角矩阵的表示方法想象成是一个独特的星座图，那些对角线上的数字就是最亮的星星，周围空荡荡的，就像宇宙中的黑暗深渊，只有这几颗星星在闪耀着独特的光芒。
总的来说，对角矩阵的表示方法虽然看起来简单，但却有着独特的魅力。
它就像数学世界里的一颗小宝石，虽然不大，但是却有着独特的光泽，吸引着我们去探索它背后的奇妙之处。
这小小的表示方法，就像是打开一个神秘宝藏的入口，里面充满了无限的数学乐趣呢。
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四、小结 五、作业 P321，21,23,2）利用2） 的计算结果判断是否可以对角化。
§7.5 对角矩阵
2 3
x2 x3
0 0
的一个基础解系: ( 1 , 2 ,1) 33
§7.5 对角矩阵
所以A可对角化.
令
T
2
1
0
1
0 1
1
3 2
3 1
2 0 0
则
T 1 AT
0 0
2 0
0 4
§7.5 对角矩阵
D
2
n
则 1） 的特征多项式就是
f ( ) 1 2 n
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).
§7.5 对角矩阵
三、对角化的一般方法
设 为维线性空间V的一个线性变换，1, 2 , , n 为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.
则 可对角化 有 n个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果1,2 , k分别是 的属于互不相同的特征值 1,2 , k 的特征向量，则1,2 , k 线性无关.
§7.5 对角矩阵
3. (推论1) 设 为n维线性空间V的一个线性变换，
如果 的特征多项式在数域 P中有n个不同特征值， 则 可对角化.
特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中，
如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可
对角化.
§7.5 对角矩阵
定理8的推广：
4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，
1,2 , k 是 的不同特征值，而i1,i2 , iri 是属于 特征值 i 的线性无关的特征向量，i 1,2, ,k, 则向量 11, ,1r1 , ,k1, ,krk 线性无关.
1 0 1
1
,2
,3
1
,
2
,
3
0 1
1 0
01 .
即基 1, 2 , 3 到 1,2 ,3 的过渡矩阵为
1 0 1
T
0 1
1 0
0 1
,
1 0 0
T
1 AT
0 0
1 0
01 .
§7.5 对角矩阵
例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使
如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 可对角化.
定义2：矩阵A是数域 P上的一个 n 级方阵. 如果
存在一个 P 上的 n 级可逆矩阵 X，使 X 1AX 为对角 矩阵，则称矩阵A可对角化.
§7.5 对角矩阵
二、可对角化的条件
1. (定理7)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
3 2 1
T 1AT 为以角矩阵.
这里
A
2 3
2 6
2 1
解: A的特征多项式为
3 2 1 E A 2 2 2
3 6 1
3 12 16 22 4
得A的特征值是2、2、-4 .
§7.5 对角矩阵
x1 x3 x2 0
故其基础解系为： (1, 0, 1)
所以， 3 1 3
是 的属于特征值－1的线性无关的特征向量.
1,2 ,3 线性无关，故 可对角化，且 在基 1,2 ,3 下的矩阵为对角矩阵
1 0 0
0 0
1 0
01;
§7.5 对角矩阵
有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n , 从而
（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， T 1AT 是对角矩阵. 而且
T就是基 1, 2 , , n到基 1,2 , ,n 的过渡矩阵.
§7.5 对角矩阵
例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基
§7.5 对角矩阵
§7.5 对角矩阵
引言
形式最简单的矩阵是对角矩阵．在这一
节里，我们将讨论一个n阶矩阵什么时候与
一个对角矩阵相似？这相当哪一些线性变
换满足什么条件时，它在V的某个基下的
矩阵对角矩阵？为叙述方便，我们先来 给出与之相关的定义。
§7.5 对角矩阵
一、可对角化的概念
定义1：设 是 n 维线性空间V的一个线性变换，
解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x1 x3
故其基础解系为： (1, 0,1), (0,1, 0)
所以， 1 1 3 , 2 2 是 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
再解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 1 x1 0
2 3
4 6
2 3
x2 x3
0 0
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0
2 3
2 6
§7.5 对角矩阵
5. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，1,2 , r
为 全部不同的特征值，则 可对角化
r
dimVi n, Vi 为 的特征子空间.
i 1
§7.5 对角矩阵
6. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，
若 在某组基下的矩阵为对角矩阵
1
1, 2 , 3 下的矩阵为
0 0 1
A
0 1
1 0
0 0
问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出
基变换的过渡矩阵.
§7.5 对角矩阵
解：A的特征多项式为
0 1
E A 0 1 0 12 1
1 0
得A的特征值是1、1、－1.
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1,2 , ,k . 2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
i E A X 0, i 1.2. k
的一个基础解系（此即 的属于i 的全部线性无关 的特征向量在基 1, 2 , , n下的坐标）.
§7.5 对角矩阵
3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则