严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理

解时常用的 Ｓ Ｒ迭代方法的收敛性 ，给 出了迭代法收敛性 定理 ，解决了以往估 计迭代矩阵谱 半径的问题 。结果不 Ｏ 仅适用于这两类矩 阵．还适 用于广义严格对 角占优矩阵类 ，最后举例说 明了所给结果 的优越性。
关键 词 ： ａ链 严格 对 角 占优 矩 阵 ；双严 格 对 角 占优 矩 阵 ；迭代 法 ；收敛 性 ． 中 图分 类 号 ：Ｏ２ １ ；Ｏ１ １ ４． ６ ５． ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１７ — ８０ （ ０ １） １ １０ ０ ６ ２ ９ ７ ２ １ ０ －０７ － ３
一１ ０ ＞ ，又 因为 １ ，所 以有
从 而得 到 ，对 任意 的ｉＮ， ∈［，１，皆有 Ｅ ０ ］
Ｉ４尺 ） ａ＞ 。
成立 。
ห้องสมุดไป่ตู้
） ［旺 ） （ ］・ ＝尺 ＋ ∽
）Ｓ ｔ］ ＋（ ｏ
由引理 ３知 ，此时 一１ ０１ １ ．９ ＋ ＞２ ０，上式左边 ９－ Ｉ
乘 以１ １ｏ ，右边乘以 ｌ ４ ＋９ － Ｉ ∞，得 １ ０Ｉ．ａｌＡ １ 肛 ） ｌ ・ ∞ Ｉ ） ＋ ９ １，ｌ ， ０ ＞９ 般（ ∽］ Ｓ ＋ ， （ ［ ０ ）Ｒ ］ ・ 砒 ∞ ］ ∽］ ９ ＋ ∞ 。 Ｌ ｏ ｔ 由于１＞１ ４ ，由上式得 ， １
第１ 期
宋岱才 ， ：严格对角 占优矩阵与 Ｓ Ｒ迭代法的收敛性定理 等 Ｏ
ｌｌ ７
Ⅳ，存在 瑾 ０ ］ ∈［，１，皆有 ｌｌ ａ＞ ）
） ，则称 为
特征值１＞ 。由于 Ａ∈ ４ １ １ － Ｄ ，所以有
Ｉ＞ Ｉ ） ＋ ∽ ＋ ∽ （ ３）
６链严 格对角 占优矩 阵 ，记 为 Ａ∈ 。若存 在正对 ｃ ． Ｄ
角矩阵 ｄ ｄ ｇ ， ，…， ） ＝ｉ ａ 使得 Ａ Ｅ ｄ ，则称 Ｄ 为广义 口链 严格 对角 占优矩 阵 ，记为 Ａ∈Ｇ 。 一 Ｄ
定义 ２ 设 ¨ ∈ ，若 Ｃ ∽ ，Ｖ ｉｊ 。 ＥＮ 成 立 ，则称 为双严格 对角 占优矩 阵 ，记为 Ａ∈ Ｄ。若存在正对角矩阵 ｄ ｄ ｇ ， ，… ， ） ＝ｉ ａ ，
对ｆ 皖 立。又 由矩 阵 的分解 以及矩 阵 ， ∈
的结 构知 ，
（ ） （＋ ＝ ＝ 上 ｔ 肛） Ｒ ， ｏ 十 ） ＋ ＝ ） （ ＝ ｏ ｔ ＆ 斗 ∽ （ ４）
使得 ∈ Ｄ，则称 为广义双严格对角占优矩阵， 记为 Ａ∈Ｇ Ｄ。 引理 １１ 设 ［ 叫 ∈Ｃ ，若 Ａ∈ 或 Ａ∈ Ｄｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓ ａ ｅ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｔ ｅ ｒｍ ｏ Ｓ ｓｒ ｃ ： ｎｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｏ ｅ ｆ ＯＲｉ ｒ ｔ ｎｍｅ ｄ ｈ ｔ ａｉ ｅ ｏ ．ｏ Ｏｒ ｏｖ ｎ ｅ ｒ ｙ ｔｍ ｉ ｓ ｄｅ ． ｗｈ ｎｃ ｅ ｃｅ ｔ － ｓ ｌ ｉｇｌ ａ ｓ ｓｅ ｓ ｔ ｉｄ ｕ ｅ ｏ ｆ ｉｎ ｍａ ｉ ｔ ｘ ｉ ６ ｃ ａ ｉｇ ｎ ｌ ｔ ｃｌ ｏ ｎａ ｃ ｒｄ ｕ ｌ ｉ ｇ ｎ ｌ ｔ ｃｌ ｏ ｎ ａ ｃ ， ａ ｄｓ ｍｅｃ ｎ ｅ ｅ ｃ ｅ ｒ ｍｓａ ｅｇｖ ｎ． ｒ ｃ ｈ ｉ ｄａ ｏ ａ ｒ ｔ ｄ ｍｉ ｎ ｅｏ ｏ ｂ ｙｄ ａ ｏ ａ ｒ ｔ ｄ ｍｉ ｎ ｅ ｎ ｉ ｓ — ｎ ｓｉ ｙ ｓｉ ｙ ｏ ｏ ｖ ｒ ｎ ｅｔ ｏ ｅ ｉ ｅ ｇ ｈ ｒ ｗｈ ｃ ｌ ｅ ｅ ｒ ｂ ｅ ｏ ｓ ｅ ｔ ｌ ｄｕ ｆｔｒ ｔ ｅｍａｒ ｅ ． ｅ ｕ ｔ ｏ ｔ ｉｅ ｅ ｐ ｌ ａ ｌ ｒ。 ｃ ａｎｄ ａ ｏ ａ ｓｒ ｔ ｏ — ｉ ｈｓ ｖ ｓ ｏ ｌｍ ｆ ｐ ｃｒ ｉ ｓ ｉ ａ ｉ ｔ ｃ ｓ Ｒ ｓ ｌ ｂ ａ ｄａ ｐ ｉ ｂ ｅｆ ［ ｈ ｉ ｉｇ ｎ ｌ ｔ ｃｌ ｄ ｍｉ ｏ ｈ ｔ ｐ ａｒ ａ ｏ ｅ ｖ ｉ ｓ ｎ ｒａ ｃ ｏ 一 ｉ ｙ ｎ ｎ ｅｍａｒ ｒ ｏ ｂ ｙｄ ａ ｏ ａ ｔ ｃｌ ｏ ｎａ ｃ ｍａｒ ａｃ ｔ ｘｏ ｄ ｕ ｌ ｉｇ ｎ ｌ ｒ ｔ ｉ ｓ ｉ ｙｄ ｍｉｎ ｅ ｔ ｘ，ａ ｄｉ ｒ ｖ ｔ ｅｋ ｏ ｎ ｒ ｓ ｌ ｎ ｄａ ｅ ｐ ｌ ａ ｌ ｏ ｇ ｎ ｒｌ ｅ ｉ— ｉ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｎ ｗ ｕｔ ｅ ｓａ ｒ ａ ｐ ｉ ｂｅｆ ｒ ｅ ｅ ａｉ ｄｄ ｃ ｚ ａ ｏ ａ ｒ ｔ ｏ ｎａ ｃ ｔ ｃ ｓ ｉａｌ ，ａｎ ｅ ｃ ｌ ｘ ｍｐ ｅ ｓ ｉ ｅ ｒ ｌ ｓ ａｉｇａ ｖ ｎ ｇ ｆ ｈ ｓ ｌ ｉ ｐ ｐ ｒ ｇ ｎ ｌ ｔ ｃｌ ｄ ｍｉ ｎ ｅｍａ ｉｅ ．ｎ ｌ ｓｉ ｙ ｒ Ｆ ｙ ｕ ｒ ａ ｅ ａ ｌ ｉ ｖ ｎ ｆ ｌ ｔ ｔ ｄ ａ ｔ ｅｏ ｔ ｅｒ ｕ ｔ ｉ ｔ ｓ ａ ｅ． ｍ ｉ ｇ ｏ ｉｕ ｒ ｎ ａ ｅ ｓｎ ｈ Ｋｅ ｒ ｓ ｙｗｏ ｄ ：口 ｃ ａｎ ｄ ａ ｏ ａ ｒ ｔ ｏ ｎ ｎ ｅｍａｒ ； ｄ ｕ ｌ ｉｇ ｎ ｌ ｔ ｃｌ ｏ ｎ ｎ ｅｍａ ｒ 一 ｈ ｉ ｉｇ ｎ ｌ ｔｉ ｌ ｄ ｍｉ ａ ｃ ｔ ｘ ｓ ｃｙ ｉ ｏ ｂ ｙｄ ａ ｏ ａ ｒ ｔ ｄ ｍｉ ａ ｃ ｔ ｘ； ｉ ｒ ｔ ｎ ｍｅ ｏ ｓｉ ｙ ｉ ｔａ ｉ ｔ ｄ； ｅ ｏ ｈ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｃ ｎ ｅ ， ｉ ｎｎ ｎｖ ｒ ｔ ｆ ｅ ｏｅ ｍ ＆ Ｃ ｅ ｃ ｌ ｅ ｈ ｏ ｇ ， ｕ ｈ ｎ １ ３ ０ ） Ｓ ｈ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｓ Ｌ ａ ｉ ｏ ｅ ｏ ｇＵ ｉ ｓｙｏ Ｐ ｔ ｌ ｅ ｉ ｒ ｕ ｈ ｍｉ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｙ Ｆ ｓｕ １ ０ １ ａ ｏ
一
２ ＞ ，所 以Ｉ－ －０＞１２ ｌ ９ ００ １ ２ ９＿－ ０ ，即 一１∞ ∞ｌ １ ９ ＋ｌ 。 其 次 ，由于 Ｉ＞１及０ ∞ ，所 以有不 等式 的 ， ｔ ｌ － ＜ １
此说 明 一 ＋ ） 一 ∈ ａ １０Ｄ— 础 ９ Ｄ ，由引理 １得到 ｌ０Ｄ－ ０Ｌ 乍 异 ，与 （ ＋ ） ２ 一∞ ９ ９ 奇 ２）式 矛盾 。所 以１＞１ ２ 不 ＝ Ｄ ０ ）［ 一Ｏ Ｃ 的特征值 。 １ ＿ （ 一 ５ （ Ｃ ９ １ Ｏ
为严格对 角 占优 矩阵 、 ． 严格 对角 占优矩 阵和双 链 “严格 对角 占优矩 阵等情形 分别讨 论 了常用 的几种 ． 迭 代法 的谱半 径的上界估计 问题 。文献 ［ － ］针对 ８９
其 中Ｌ＝Ｄ－ｃ ）［１ ∞） ∞ 称 为 Ｓ Ｒ迭 代法 的 。（ ｏ （一 Ｄ＋ Ｌ Ｏ
一
右端 自然成立 。
Ｇ ，则 Ａ为非 奇异矩 阵 。 引理 ２¨。 设 ＝ ∈ ，若 Ａ∈ 或 Ａ∈ 。 ＝ （ Ｃ Ｄ Ｇ Ｄ，则 Ａ为 非奇异矩 阵 。 引理 ３ 设 是一 个 常数 ，０ ０＜１ ＜ ９ ，则 当Ｉ－１ ￣ － １ 时 ，总有 １ ＋ １１ ．９ ０。 ２ ０＞２ ｏ＞９ －１９＿ Ｉ ＿ 证明 首 先 证 明 不 等 式 的 左 端 成 立 。 当４ １ ＝
迭代矩阵 ， ＝Ｄ－ｏ） ｂ 称为松弛因子。Ｓ Ｒ 厂 （ ｃ ～， Ｌ Ｏ 迭 代 法 收 敛 的 必 要 条 件 为 Ｏ ｗ＜ 。我 们 在 文 献 ＜ ２
［－ ８９］基础 上讨论 Ｓ Ｒ迭代 法 的收敛性 。 Ｏ
设 ＝ ） Ｃ 记Ｒ ： ． （） ， （ ∈ ， ） ∑ Ｉ ， ∑｛ ４ ＝ ｌ
系 数矩阵为以上对角占优的情况讨论了Ｊｃｂ迭代 ａｏｉ 法 、Ｇ ｕｓＳｉｅ迭代 法 以及 Ｊ Ｒ迭代 法 的收敛性 ａｓ．ｅ ｌ ｄ Ｏ
问题 。本文 的主要工作 是 ：针 对方程组 的系数 矩阵 ４ 一 为 链严 格对 角 占优 矩 阵 以及 双严 格 对角 占优 矩 阵 ，讨 论 了常 用到 的 Ｓ Ｒ 迭代法 的收敛 性 ，得到 Ｏ 几个 重要 的结 论 ，解 决 了估计 迭代矩 阵谱半 径的
ｌ ｜ ≠ ｌ ） ≠
ｉ Ⅳ ｛ ，２ ∈ １ ，… ， ） 。
定 义 ｉ 叫 设 ＝ １ ¨ （ ∈ｃ”，若 对任意 的 ｉ ∈
收稿 日期 ：２ １—０ —２ ００ ９ ６ 基金项 目：国家 自然科学基金项 目 （ ０ ７ ０ ８）；辽 宁省教育厅高校科研项 目 （ ０ ４ １０） ２２３２ ２０Ｆ０ 作者简介 ：宋岱才 （ ９ ４ １５ 一），男 ，教授 ，主要从事数值代数的研究 ，Ｅ ｍａｌ ｄ １ ６ ． ｒ。 － ｉ：ｓｃ ＠１３ｃｎ ｏ
ｌ 。
￣（０ ＋ ｔ ・ ２ Ｌ ０ｏ ９ ９
（ｍ ＋ ∽ ＝ ２Ｌ ｍ
彤［ 一１ ∞ Ｄ— ∞ 一 ・ ＋） Ｌ ∞ ［ 一ｌ∞ 一 ∞ 一 ＋ ￡ ∞
当 一１ ，有 １ ４ ０ 时 － ＞ ，同理 由 ０ １ ，１ ＜ 得 一
∞（－ ） １ ４ ，即 １ ２ ９ － ０，又 由于 １ ２ ０ ０ － －０＞ ２ ＿ ９ － － ＞ 和 ９
一
ｌ ＋ ９ ． ． ［，０ ）Ｒ（ ∽］ ｏ１ Ｉ Ｉ Ｒ（９ ＋ 一１ ａ＞ ２ Ｌ ９ ０
［， ０ ）Ｓ ２ ｔ ］ Ｓ ２ Ｌ＋ ， Ｃｏ （９ （Ｏ
时 ，不等式 显然成立 。
当２ １ ， ＞时
一
１ －１，即得到 ＋ ＞￣ ，即得 到 一１０１ ｌ ∞ ） 一１０ ， ９ ｚ ｏ ＋ ＞ ９－
ＶＯ｝３ Ｎｏ． ．４ １ Ｍ ａ ． ０１ｌ ｒ２
严 格对 角 占优 矩 阵与 Ｓ Ｒ迭代 法 的收敛 性 定理 Ｏ
宋岱 才 ，敬 长 红 ，陈德 艳
（ 宁 石油 化 工 大 学 辽 理 学 院 ，抚 顺 １３ ０ ） １０ １
摘
要 ：针对线性方程组的 系数矩 阵为 链严格对 角占优矩 阵和双严格对角 占优矩阵的情况 ，讨论 了线性方程组求
Ｄｉ ｇ ｎ ｌ ｔ ｉｔｙ Ｄｏ ｉ ａ ｃ ａ ｒｘ ａ ｄ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａ ｏ ａ ｒｃ ｌ ｍ ｎ ｎ ｅＭ ｔ ｉ ｎ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ Ｓ
Ｔｈｅ ｒ ｍ ｆＳｏＲ ｔ ｒ ｔｏ ｅ ｈ ｄ ｏ ｅ ０ Ｉｅ ａ ｉ ｎ Ｍ ｔ ｏ
Ｓ ＯＮＧ ｉａ ， Ｉ Ｄａｃ ｉＪＮＧ ａ ｇ ｎｇ， Ｃｈ ｎ ｈｏ ＣＨＥＮ ｙ ｎ Ｄｅ ａ
ｃ ｎｖ ｒ ｅ ｅｔ ｏｒｍ ｏ ｅ ｇ ｎｃ ｈｅ ｅ
１ 基本 概念 及 引理
给定线性 方程 组 Ａ ＝ ，其 中 Ａ∈Ｃ 为非 奇异 ｘｂ
矩 阵 ，ｂ ， 为 ２ 维列 向量 。文 献 ［ ． １ ７］对 于迭代 矩 阵
界 限问题 。最 后举 例说 明这 一结果 的适 用性 。
第３ 卷 第１ ４ 期
２１年３ ０１ 月
长春 理 工 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｃ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａ ｒｌ ｃｅ ｃ Ｅ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ Ｃ ａ ｇ ｈ ｎ ｉｅｓ ｙ Ｓ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ （ ｔ ａ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ ｔｏ ｅ ａ ｕ Ｓ ｉ
设 方程组 的系 数矩 阵 Ａ分 解 为Ａ Ｄ— —Ｕ，其 ＝ Ｌ 中 Ｄ＝ ｉ ａｊ ２ ｄａ ｌ ： ｇ（ ＇ａ ，…， ） 矩 阵 Ａ 的严格 ，一 是
下三角矩 阵 ，一魄 矩 的严格 上三角 矩阵 。Ｓ ＯＲ 迭代法 的公式 为 ：
“ ’ ＝ ＋ 厂，ｋ ＝０ ，２ ，１ … （ ） １