为严格对角占优阵
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵1. 简介大规模稀疏矩阵求解是计算数学领域中的一个重要问题，涉及到各种领域的应用，如工程、科学计算、机器学习等。
在许多实际问题中，待求解的矩阵往往是稀疏的，而且具有严格对角占优的性质。
本文将重点讨论如何有效地求解严格对角占优的稀疏矩阵，包括其特点、求解方法以及相关算法优化技巧。
2. 稀疏矩阵的特点稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0，只有少数非零元素的矩阵。
它在实际问题中的应用非常广泛，比如有限元法中的刚度矩阵、图像处理中的图像采样矩阵等。
稀疏矩阵的特点是存储和计算效率低下，因为大部分元素都是0，而且通常会导致内存访问的不连续性。
3. 严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵，具有良好的性质，对于稀疏矩阵求解也有很大的帮助。
严格对角占优矩阵是指矩阵的每一行对应的绝对值最大的元素都在对角线上，这保证了矩阵的对角线元素对整个矩阵的影响最大。
严格对角占优矩阵在实际问题中也很常见，比如常用的有限差分方法就会生成严格对角占优的矩阵。
4. 求解方法对于严格对角占优的稀疏矩阵，通常可以采用迭代法来求解。
其中最经典的算法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和预条件共轭梯度法。
这些算法都充分利用了矩阵的特殊性质，尤其是对角占优性质，从而能够有效地收敛到精确解。
5. 算法优化技巧考虑到稀疏矩阵的存储和计算效率问题，我们还可以采用一些算法优化技巧，来进一步提高求解速度。
比如可以采用稀疏矩阵存储格式来降低内存占用和提高计算效率，还可以利用并行计算来加速迭代过程。
针对特定的实际问题，还可以设计一些特定的加速算法，比如多重网格方法、预处理技术等。
6. 结论大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵是一个具有挑战性的问题，但是通过充分利用特殊的矩阵结构和采用适当的求解方法，我们可以有效地解决这一问题。
未来，随着计算机硬件和算法技术的不断发展，相信在大规模稀疏矩阵求解领域一定会有更多的创新和突破。
严格对角占优M-矩阵的最小特征值的下界
＝
Ｄ Ｃ为 Ａ的迭代矩阵。
引理 １ 设 Ａ＝（ ａ ）∈ Ｒ 是 严 格 对 角 占优 矩
类， 它较多出现于经济价值模 型和反网络系统的系数矩 阵及解某些确定 微分方 程的数值解法 中 ， 在信息论 、 系 统论 、 现代 经济学 、 网络 、 算法 、 程序设计 和工程技术 等 众多领域都有十分重要 的应用 ， 如在 均衡论 ， 投入 产出 分析的研究中产 生的 Ｍ． 矩阵 ； 在控制论 及神经 网络大 系统的稳定性 ， 线性对滞 系统的稳定性 研究 中需 要 Ｈ．
Ｉ ａ ｊ Ｉ ＋ 三ｌ ａ ｊ ｋ Ｉ ｈ
一 ｌ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － Ｏ ４ － ０ ９
基金项 目： 文山学院重点学科 建设资助项 目（ １ ２ ＷＳ Ｘ Ｋ ０ １ ）
作者简介 ： 蒋建新（ １ ９ ８ １ － ） ， 男， 甘 肃天水人 ， 讲师 ， 硕 士， 主要从事矩阵理论与微 分方程方面的研 究， （ Ｅ ． ｍ ａ ｉ ｌ ） ｊ ｅ ｖ ｅ ｎ ｃ ｅ ｌ ｙ ｙ ＠１ ２ ６ ． Ｃ Ｏ Ｂ
矩阵 Ａ的谱半径。
为后 面 引理 ， 定 理 的需 要 引 入 以下 记号 ：
矩阵 ； 求解线性方程组 Ａ ｘ＝ｂ ， 当系数矩 阵 Ａ为对角 占
优 矩 阵时 ， 则 可 设 计 出 好 的计 算 方 法 。 鉴 于 对 角 占 优 矩 阵这 些 重 要 的应 用 ， 所 以研 究 这 类 矩 阵 的性 质 ， 界 的估计 等 问题就 非 常 的 必 要 。本 文 研 究 严 格 对 角 占优
ｌ ａ ｊ ｉ Ｉ ＋
为严格对角占优阵
a11
a12
C
(D L)U
a21
an1
a22
an 2
a1n
a2n
ann
,
9
下面证明，当 时， 1，即 的d特e征t(值C) 0
G
均满足
，
1
由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.
事实上，当 时， 1
由 为A严格对角占优阵，
有
cii aii
i1
n
j1
aij
aij
于是，求解 化A为x 求解b
3
A11
y1
A12 y2 A22 y2
d1, d2.
由上式第2个方程组求出 ,
y2 再代入第1个方程组求出
y1.
显然，如果 所有元A素都非零，则 为不可约阵. A
4
例7
设有矩阵
b1 c1 a2 b2 c2
4 1 1 0
A
an1
bn1 an
定理8说明解 的SOARx迭代b法，只有在 范围
内取松弛因子 ，才可能收敛.
定理9
设 Ax， b 如果：
(1) 为对称A正定矩阵，
A D L U;
(0,2)
(2) 0 2.
则解 A的x SObR迭代法收敛.
12
证明
在上述假定下，只需证明 ， 1 其中 为 L
的任一特征值.
事实上，设 为对应y的 的特征向量，L
从而
2
(
)2 2 2 ( )2 2 2
.
当
0时，利用(23.7)，(3.8)，有
( )2 ( )2 ( 2 )( 2) 0,
即 L的任一特征值满足
当 0时， 2
广义严格对角占优矩阵的两个性质
α-链严格对角占优矩阵的一个充要条件
＜ １ 得 ：＜ １ ， 。 一
＜１ 。又对 任 意
则 由（ ） 知 ， 一 ２式 １
一
＜
ｌ Ａ） （ ｎＳ
一
， 以存 在 。 ＜１ 使 ： 所 ＜ ，
＜ ａ Ｒ ＜ ｎ
ｌ
ｎ Ｒ
（ Ａ） …
１
ｎ Ｓ ， Ａ） １ ， Ａ） （ 一 （
㈦ …
容 验 易 证一
…
证 明 ： 由 ＡＥＤ（ ） ， 然 Ｎ。 知 显 一０。而对任 意 的 ｉ ， ｌ ＞Ｒ （ Ｓ （ 成 立 。从 而 Ｉ ｝ ｝ ＥＮ 有 ａ ｌ Ａ） Ａ） ｎ ＞
ａｎ Ａ） （ 一 ａ ｌＳ （ 成 立 。 ｌＲ （ ＋ １ ）ｎ Ａ） 得 ａ ＞ 一ａ ＜ ；
Ｎ ｉ ａ ＞Ｒ （ 一Ｓ （ ） Ｎ。 ∈Ｎ Ｉａ １ Ｒ （ ，ａ ≤ Ｓ （ ） 一｛Ｅ ＮＩ ｌ Ａ） Ａ） ； Ｉ 一 ≤ Ａ） ｌ Ｉ Ａ） 。 ｌ
定 义 １ 设 Ａ一 （ ） ， 存在 ∈［ ，］ 使 ： ｎ ＥＣ 若 Ｏ１，
Ｉ ｌ Ｒ；Ａ） （ ａ ≥ （ Ｓ～ Ａ） （） １
Ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ａ ｔ ｏ ．Ｔｅ．： ８ — ４ ３ ６ ６ ８ １ － ｍａｌ ｓ ｃ ＠ １ ３ ｃ ｒ ｏ ｒｓ ｏ ｄｎ ｕ ｈ ｒ １ ＋ ６ １ — ８ ０ ２ ；ｅ ｉ：ｄ ｌ ６ ．ｏ ｎ
１ 基 本 概 念 与 引理
Ｈ一矩 阵作 为一 类特 殊而 重 要 的 矩 阵 ， 有 重要 的理 论 意 义 和 应 用 价值 ， 具 引起 了许 多 数 学 工 作 者 的 关
第３ 卷 第３ １ 期
２１ ０ １年 ９月
辽
宁
石
油
为严格对角占优阵
min ( L ) ( Lo p t ).
对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因 子理论. 例如，对所谓具有“性质A ” 等条件的线性方程组 建立了最佳松弛因子公式
19
opt
2 1 1 ( ( J ))
2
,
其中 ( J ) 为解 Ax b 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)， 可以给出 opt 的计算方法， 但一般来说，计算 opt 是有困难的，可用试算的办法 来确定一个适当的 . 算法2 (SOR迭代法) 设 Ax b ，其中 A 为对称正定 矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等，
8. 如果k N 0 则转3
9. 输出N0及有关信息
(k ) r 也可用
eps来控制迭代终止，其中 r ( k ) b Ax( k ) .
22
6.4
分块迭代法
23
上述迭代法，从 x ( k ) x ( k 1) 计算时，是逐个计算 x ( k 1) 的分量 xi( k 1) (i 1,2, , n)，这种迭代法又称为点迭代
7
定理7 设 Ax b , 如果： (1) A为严格对角占优阵，则解 Ax b 的雅可比迭 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) A为弱对角占优阵，且 A为不可约矩阵，则解
Ax b雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
证明 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理. 由设可知， aii 0 (i 1,, n)，解 Ax b的高斯-塞 德尔迭代法的迭代矩阵为
xk max xi 0.
1i n
由齐次方程组第 k 个方程
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。
在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。
其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。
本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。
它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。
其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。
举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。
例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。
因此，矩阵A是严格对角占优的。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。
2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。
3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。
4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。
也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。
三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。
矩阵论判断题
（一）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设32312100a a A a a aa -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,) T nn x x x x C =∈，则1||||m in i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )（二）1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u E u u =--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ ) 5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H HA A A A +=则.( ∨ )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )（三）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设n x C ,U ∈为n阶酉矩阵，则22||||||||Ux x =. ( )()2222H H H ||Ux ||UxUx x U Ux x x ||x ||====2、设,n nA C⨯∈则2221||||||nm ii A λ=≥∑. ( )n nA C⨯∈→HA URU =→22222222||||||||||||||||Hm m m m A URUR R ==≥21||nii λ==∑3、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则21||||||x x =为向量范数. ( )例如(0,1,0,,0)0 x =≠，但||||0x =4、1||||||||||||x x n x ∞∞≤≤. ( )11||||m a x ||||||||m a x ||||||ni ii iii x x xx n x n x ∞∞==≤=≤=∑5、设A 为n 阶酉矩阵，则.AA A A E ++== ( )因为H A A +=，故结论成立6、若m r r A C ⨯∈，则11()H HL A AA A --=. ( )11()H HL A A A A --=，故结论不成立7、若||||⋅为算子范数，则11||||||||A A --≥. ( )111||||||||||||AA A A --=≤，故结论不成立8、111i i i ii⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和都是复对称矩阵()T A A =，故均为正规矩阵. ( )111i ii i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为正规矩阵而非正规,因为1111ii ii ii i i i iii----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9、设()A ρ为矩阵A 的谱半径，则()||||m A A ρ∞≤. ( )01,||||1,() 1.61811m A A A ρ∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则而10、设||||||||||||||||H m m m x xa ⋅=⋅为自相容矩阵范数，则是与相容的向量范数 ( )（四）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A+=则.( )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒()1B ρ=2、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( )3、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--4、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u Eu u =--224H H H HE u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴5、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ) 6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +. ( )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则.)0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ) （五）1、A n 为阶实对称矩阵，nR x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )因为非负性不成立，故结论错误。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。
具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。
如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。
如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。
证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。
最终严格对角占优矩阵A的‖A-1‖∞的上界序列
第42卷第8期 西南师范大学学报（自然科学版）Vol.42 No.8 Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition)2017年8月Aug.2017DOI: 10. 13718/1. cnki. xsxb. 2017. 08. 008最终严格对角占优矩阵A+||A- 1 ||z的上界序列^赵建兴贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵阳550025摘要：针对逆矩阵的无穷大范数的上界估计问题，利用已有严格对角占优矩阵的逆矩阵的无穷大范数的上界，给出最终严格对角占优矩阵A M ||A1 ||b的上界序列，改进了某些已有结果.数值算例显示所得上界序列是单调递 减的，且在某些情况下能达到真值.关键词：对角占优；逆矩阵（范数（上界（序列中图分类号：O151.21 文献标志码：A 文章编号：1000 - 5471(2017)08 -0042 -04系数矩阵A的条件数C〇n d(A) -||A IU •||A-1I U对线性方程组A x -fc的迭代解法的稳定性有重 要影响.在求解线性方程组之前，若能对C〇n d(A)进行计算或估计，将对选择应用什么算法有重要意义[1%2].确定I I A I U是容易的，但是确定|| A%1I U往往很困难.自文献[3]给出|| A%1I U的第一个上界 估计式以来，关于严格（双）对角占优矩阵[3%6]、弱链对角占优矩阵[7%8]、严格a-对角占优矩阵[9%10]JN e kra so v矩阵[11%12]等非奇异H-矩阵类的逆的无穷大范数的估计已有很多结果，但在实际问题中，有时需 要计算或估计的矩阵A往往不是非奇异矩阵.就目前资料看，对该类矩阵逆的无穷大范数估计的研究 才刚刚开始，仅有文献[3]对此问题进行了初步的探索，这些不足造成了矩阵理论的不完备，从而使其应 用受到了限制.本文研究最终严格对角占优矩阵A的|| A%1I U的估计问题，并给出其新的上界估计式.1 预备知识用 #"><"(!"><")表示 … 阶复（实）矩阵集（… =2)，令 N- .，2,…，r a}•设 A- [,] " #"x"，n(A) -B1av1，* "E1 (A) —H1(A)，ht(A)—B j a，>j h,(A) =B11，D — 2，…，w.j,i,-11an1j-i+1定义1[12]设A- [a,] " #"x"，如果对任意i"N，均有1a… |>h(A)，则称A为严格对角占优矩阵；如果对任意i "N，均有1a…|>h i(A)，则称A e N e k r a s o v矩阵；如果存在正对角矩阵X，使得A X为严 格对角占优矩阵，则称A为非奇异矩阵.定义2[13]设A -J—B，其中^为复数，J为单位矩阵，B为复矩阵.如果存在正整数々使得A—砍为严格对角占优矩阵，则称A称为最终严格对角占优矩阵（S D D3)，简记为A "S D D3.注1由文献[3]知，严格对角占优矩阵为N e kra so v矩阵，N e kra so v矩阵为非奇异W-矩阵；最终严 格对角占优矩阵不属于非奇异H-矩阵.对于严格对角占优矩阵义的|| A%1I U的上界估计，文献[]给出如下结果：设A为严格对角占优矩 "则①收稿日期：2016 - 09 - 25基金项目：国家自然科学基金项目（11501141)贵州省科学技术基金项目（黔科合J字[2015]2073号）（贵州省教育厅科技拔尖人才支持项目（黔教合K Y字[2016]066号）作者简介：赵建兴（1981-)，男，山东济宁人，副教授，博士，主要从事数值代数的研究.第#期赵建兴：最终严格对角占优矩阵A D || A 一>的上界序列43A > b ； m in { | \ — rl (A ')]i"N(1)对于N e k ra s o v 矩阵A 的|| A -1 || b 的上界估计，文献[12]给出如下结果：设A 为N e k ra s o v 矩阵，则A；maxtt (A )"N || — hz (A )(2)i—i其中 21 (A ) — 1，2D (A ) — B I ay ZJ (A ) = 1，i — 2，dpW —1 i 反力i对于（1)式和（2)式，文献）2]给出如下比较定理：定理1[12]设A 为严格对角占优矩阵，则m ax 1 ^Z：(A))(.)^1一^^i "N \ a d | % hD A )m in { | a d 1% r (A ；；的上界 计，[%3*给出 如 ：11 sk —1I +sk —2B =----=Bk —1m in { 7 —(逆'卜 r (皮）.i"N 1 '对于最终严格对角占优矩阵A 的|| A -1定理2[13]如果存在正整数k 使得A —I — B " S D D 3，则|| A —1 l U ;2 主要结果下面利用严格对角占优矩阵逆的无穷大范数的上界，给出最终严格对角占优矩阵A M I I A -1界序列.定理3 如果存在正整数k 使得A — I —B " S D D 3，则；|| sk —1I +sk —2B =----h B t —z i (sk I — B k)m 0x | 7k —(B 4) h h d —BO的上3)证由A " S D D 3知存在正整数k 使得7I — B *为严格对角占优矩阵，因此7I — B *非奇异.又因为sk I B - — ( sI — B )( sk —1I = sk —2B =----=5B k —2 +Bk所以此(I — B )(sk I — Bk )—1( sk —11 = sk —2 B =----= sBk —2 = Bk —1)A —对s I — B *应用（2)式得;|| (I —B O -H /-I + sk -2B =----=5B k —2 +B t —1) || b ；|| ( sk I — B k )—1 | b || sk —1I =sk —2B =-----= sBk —2 = B —1 | b(k r Dk、—i ii z z D (sk I — B k)(s I B ) 11 b ; m0X | sk — B )D 卜 h (I — B 4)4)(5)由（4)式和（5)式可得（3)式成立.下面给出定理2与定理3的比较定理：定理4 若存在正整数k 使得A — I — B " S D D 3，则z i( sk I — B k)lI + sk —2B =----=Bk:a x;1I + sk —2B =----h B t —i"N | sk — (B *)D | —h d — B *) \ m in { | sk — (B *)D | —rD (B k)证 由A " SDD 3知存在某个正整数k 使得s I — B 4为严格对角占优矩阵.对s I —B 4*用定理1得Zi (k I —B k;1m e N X s—B )—h s —B ) ； m i n {| sk — (B t )D 卜 Hi (B O :i"N又|| sk —I +s *—2B =…+B t —1 lU =0,显然结论成立.注2 由定理4知，当A " SGD 3时，由定理3得到的3数值算例下面给出两个数值算例来验证第二部分的结果.的上界 于由 理2的上界.44西南师范大学学报（自然科学版)h ttp：//第42卷例1设「3 —1一1一11一1*1 —一1一1 3 —115一1一1一1一1一1易知A1不是严格(双）对角占优矩阵、弱链对角占优矩阵、严格a-对角占优矩阵及N e k ra s o v矩阵，故不能用文献[3—12]的相关结果估计HA11I U.令*1 =5.—51，取々= 1，…，15,利用M A T L A B(R2009a)软件计算知对任意々 = 2,…，15, 5.—坎均是严格对角占优矩阵，故*1 "S_D_D3.由定理3得到的数值结果见表1.事实上，I I A11I I b= 0. 666 7.表1 11*/ I Z的上界序列々I*^I b;々I*11I b;々=20. 908 5々=80. 667 8々=30. 758 1々=90.667 1々=40. 707 7々=100. 666 8々=50. 683 5々=110.666 7々=60. 673 5々=150.666 7々=70. 669 4例2 设3.9 一1一1一11 5.9 11一1*2 =一1一13. 9—11 5.9 一1一1 一1 一1 一1 C.9易知*2不是严格(双）对角占优矩阵、弱链对角占优矩阵、严格a-对角占优矩阵及N e k ra s o v矩阵，故不能用文献[3 —12]的相关结果估计||*r || _令*2 = 5. —战，取々=1，…，10,利用M A T L A B(R2009a)软件计算知对任意々 = 2,…，10, 5.—氏々均是严格对角占优矩阵.由定理3得到的数值结果见表2.事实上，||A71 ||b— 0.465 7$表2 l U^I U的上界序列々々=2々=3々=4々=5々=6*2 1|b ;々11*一1lib 0. 520 9々=70.465 8 0. 477 2々=80.465 7 0. 468 2々=90.465 7 0. 466 3々=100.465 7 0. 465 8注3 由表1和表2知()由定理3分别得到的|| AT1 ||b，z = 1，2的上界序列是单调递减的，且在某些情况下可以达到 真值.(ii)由文献）3]知*1不是H-矩阵，故由例1知定理3可以对某些非H-矩阵的逆矩阵的无穷大范数 进行估计，因此定理3的适用范围更广.参考文献：[1] VARGA R S. Matrix Iterative Analysis [M]. Second Edition. Berlin：Springer，2009.)]吴珊，张明望，黄正伟.一种单调线性互补问题的Full-Newton步不可行内点算法）].西南大学学报（自然科学 版），2016, 38(5): 106 —113.第8期 赵建兴：最终严格对角占优矩阵A D I A—1IU的上界序列！5 [3] VARAH J M. A Lower Bound for the Smallest Singular Value of a Matrix [J]. Linear Algebra and its Applications,1975, 11(1) - 3 — 5.)]王峰.严格对角占优M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数的新上界[J].高等学校计算数学学报，2015, 37 (2): 131-140.[5] WANG F, SUN D S, ZHAO J X. New Upper Bounds for >A1>b of Strictly Diagonally Dominant M-Matrices [J].Journal of Inequalities and Applications, 2015，172: 1 — 8.)]潘淑珍，陈神灿.严格双对角占优矩阵|A 1||b的上界估计[J].福州大学学报（自然科学版），2008,36 (5): 639 — 642.[7] HUANG T Z, ZHU Y. Estimations of > A 1>b for Weakly Chained Diagonally Dominant M-Matrices [J]. Linear A--gebra and itsApplications, 2010, 432(2/3): 670 —677.)]刘新，杨晓英.弱链对角占优M-矩阵A的|A 1|b上界估计[J].纺织高校基础科学学报，2014, 27(4): 414—417L)]赵建兴，桑彩丽.严格对角占优M-矩阵A的|A 1||b的上界估计）].数学的实践与认识，2015,45 (19): 280 — 284.)0]赵建兴，桑彩丽.严格）2-对角占优M-矩阵A的||A1||b的上界序列）].西南师范大学学报（自然科学版），2016, 41(2): 1 — 6.[11] GAO L，LI C Q, LI Y T. A New Upper Bound on the Infinity Norm of the Inverse of NekApplied Mathematics, 2014, 2014: 1 —8.[12] KOLOTILINA L Y. On Bounding Inverses to Nekrasov Matrices in the Infinity Norm [J]. Journal of Mathematical Sti-ences, 2014 , 199(4) : 432 — 437.[13] CVETKOVIC L J , ERIC M , PENA J M. Eventually SDD Matrices and Eigenvalue Localization [J]. Applied Mathematics andComputation ,2015, 252: 535—540.On Sequence of Upper Bounds for |A_1|Zof Eventually Strictly Diagonally Dominant MatricesZHAO Jian-xingCollege of Data Science and Information Engineering, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, ChinaA b stra ct:A sequence o f upper bounds fo r o f an eventually s tric tly diagonally dom in given by means of some existing upper bounds of the in fin ity norm of the invers dom inant m atrices.N um erical examples show th at the sequence is m onotone decreasing and could reach the true value of||A—1||b in some cases.These bounds in this paper im pro Key w ords:diagonally d o m in a n t；inverse m a trix；in fin ity n o rm；upper b ou nd；sequence责任编辑崔玉洁。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中重要的概念之一。
在实际应用中，矩阵的性质和特征对于问题的解决至关重要。
其中，严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵类型，其定义和性质被广泛应用于数值计算、最优化、信号处理等领域。
定义在介绍严格对角占优矩阵之前，我们先来了解一下对角占优矩阵。
对角占优矩阵是指矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于等于该行所有非对角元素绝对值之和。
即对于一个$n$阶方阵$A$，如果满足：$$|a_{ii}| geq sum_{jeq i} |a_{ij}|, quad i=1,2,dots,n$$则称$A$为对角占优矩阵。
严格对角占优矩阵是对角占优矩阵的一种特殊情况，其定义为：矩阵中每一行对应的对角元素的绝对值大于该行所有非对角元素绝对值之和。
即对于一个$n$阶方阵$A$，如果满足：$$|a_{ii}| > sum_{jeq i} |a_{ij}|, quad i=1,2,dots,n$$则称$A$为严格对角占优矩阵。
举个例子，下面的矩阵是一个对角占优矩阵，但不是严格对角占优矩阵：$$begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & -1 1 & -1 & 3end{bmatrix}$$因为第三行的对角元素$3$等于该行所有非对角元素绝对值之和$|1|+|-1|=2$。
而下面的矩阵是一个严格对角占优矩阵：$$begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & -1 0 & -1 & 3 end{bmatrix}$$因为每一行的对角元素都大于该行所有非对角元素绝对值之和。
性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1. 非奇异性：严格对角占优矩阵是非奇异的，即存在逆矩阵。
证明：设$A$为一个严格对角占优矩阵，我们需要证明$A$的行列式不为$0$。
根据行列式的定义，有：$$begin{aligned} det(A) &= sum_{sigma in S_n}mathrm{sgn}(sigma) prod_{i=1}^n a_{i sigma_i} &>sum_{sigma in S_n} mathrm{sgn}(sigma) |a_{1 sigma_1}|prod_{i=2}^n left(frac{|a_{i sigma_i}|}{|a_{isigma_i}|+|a_{1 sigma_1}|}right) prod_{i=2}^n |a_{isigma_i}| &geq |a_{1 1}| sum_{sigma in S_n}mathrm{sgn}(sigma) prod_{i=2}^n left(frac{|a_{isigma_i}|}{|a_{i sigma_i}|+|a_{1 sigma_1}|}right)prod_{i=2}^n |a_{i sigma_i}| &> 0 end{aligned}$$其中，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$mathrm{sgn}(sigma)$表示置换$sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为置换$sigma$的逆序对个数。
严格对角占优矩阵可逆的证明_概述及解释说明
严格对角占优矩阵可逆的证明概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数中，矩阵的可逆性一直是一个重要而又广泛讨论的问题。
严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，其具有较强的特征和性质。
本文旨在通过对严格对角占优矩阵可逆性进行证明和详细解释，加深我们对这一类矩阵的认识，并为后续应用中提供理论支持。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分。
引言部分（第1部分）介绍了本文所涉及的问题和文章的结构；严格对角占优矩阵的定义、性质和可逆性证明方法将在第2部分详细探讨；第3部分讨论可逆矩阵的推导与证明，以加深对可逆性概念和求解方法的理解；结果与讨论将在第4部分展示实际应用中严格对角占优矩阵可逆性的意义、验证结果准确性并进行案例分析；最后，在总结与展望（第5部分）中，本文总结已有工作并指出不足之处，提出改进设想并展望后续研究的方向与意义。
1.3 目的本文旨在证明严格对角占优矩阵的可逆性，并通过推导和解释，深入探讨这种特殊矩阵的定义、性质和可逆性证明方法。
通过本文的研究，读者将能更全面地了解严格对角占优矩阵，并理解它们在实际应用中可逆性的重要意义。
此外，对于线性代数领域从事相关研究或教学工作的人员来说，本文也有一定参考价值。
以上是“1. 引言”部分的内容，请根据需要进行修改补充。
2. 严格对角占优矩阵的定义和性质2.1 严格对角占优矩阵的定义与示例在线性代数中，一个n×n的方阵A被称为严格对角占优矩阵，如果满足以下条件：对于每一行i(1≤i≤n)，都有|a[i][i]|>Σ|a[i][j]|, j≠i。
换句话说，在严格对角占优矩阵中，每个元素的绝对值大于该元素所在行中其他元素绝对值的总和。
下面是一个严格对角占优矩阵的示例：```A = [4 -1 0-2 6 -10 -3 9]```可以看到，每个主对角线元素（a[i][i]）的绝对值都大于该行其他元素绝对值的总和（Σ|a[i][j]|, j≠i）。
2.2 严格对角占优矩阵的性质分析严格对角占优矩阵具有以下几个重要性质：- 对于任意给定的向量b，方程Ax=b有唯一解。
严格对角占优矩阵条件
严格对角占优矩阵条件严格对角占优矩阵条件是线性代数中的一种重要概念，它在数学和工程实践中都有广泛的应用。
在本文中，我们将对严格对角占优矩阵条件进行详细的阐述，让大家对其能够有更深入的了解。
一、什么是严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵，简称SDP矩阵，是指一个矩阵A，如果其对角线元素严格大于矩阵中所有其他元素的绝对值之和，即|aii| > Σ|aij| (i ≠ j)则称A为严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质1. 满足严格对角占优矩阵条件的矩阵一定是非奇异矩阵。
2. 对于任意一个严格对角占优矩阵A，存在一个对角占优矩阵B，使得B-A为对角线非正，即|bii| ≥ Σ|bij| (i ≠ j)3. 对于一个严格对角占优矩阵A，其Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
三、严格对角占优矩阵的应用1. 线性方程组求解由于严格对角占优矩阵具有良好的性质，因此在求解线性方程组时得到了广泛的应用。
具体来说，在用高斯消元法进行求解时，SDP矩阵可以大大加快算法的收敛速度，从而有效提高求解效率。
2. 矩阵求逆求解矩阵的逆是线性代数中的一个重要问题，其应用范围非常广泛。
在该问题中，严格对角占优矩阵可以作为一种高效的求逆方法，从而为实际应用中的矩阵求逆问题提供了重要的参考。
3. 常微分方程求解当求解常微分方程时，我们通常需要将其转化为一个矩阵求解问题。
而在这个过程中，如果矩阵满足严格对角占优矩阵条件，就可以大大提高求解的效率，从而让我们更加轻松地解决实际问题。
综上所述，严格对角占优矩阵是线性代数中的一个重要概念，其具有非常好的数学性质，并在实际应用中得到广泛的应用。
因此，对于这一概念的深入理解和掌握，对于我们提高数学建模水平和实际问题解决能力都具有非常重要的意义。
有标题 对角占优矩阵的性质及其应用
本科生毕业论文(设计)题目：对角占优矩阵的性质及其应用学生姓名：付艳学号： ************指导教师：***专业班级：数学与应用数学完成时间： 2012年5月目录0引言 (1)1主要结果 (2)1.1对角占优矩阵奇异性 (2)1.2对角占优矩阵行列式 (3)1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4)1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5)1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9)1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用.........11结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)对角占优矩阵的性质及其应用数学与应用数学专业学生：付艳指导教师：邹庆云摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。
本文主要研究了对角占优矩阵的奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。
关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。
Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application.Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.0 引言各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。
对角占优矩阵的判定条件
对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。
本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件,改进和推广了文1-3的结果。
设A=(a ij )∈Cn×n,N={1,2,…n}=N 1∪N 2,N 1∩N 2=Φ,记∧i (A)=j ∈Nj ≠i∑a ij ,S i (A )=j ∈N j ≠i∑a ji定义1设A=(a ij )∈C n×n,若a ii >∧i (A)(∀i ∈N ),则称A 为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格对角占优矩阵,则称A 为广义严格对角占优矩阵.定义2设A=(a ij )∈Cn×n,若存在α∈(0,1]使a ii >α∧i (A )+(1-α)S i (A )(∀i ∈N ),则称A 为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格α-对角占优矩阵,则称A 为广义严格α-对角占优矩阵.定义3设A=(a ij )∈Z n×n =(a ij )│a ij ≤0,i ≠j ;i ,j ∈N {},若A =sI-B ,s>ρ(B ),其中:B 为非负矩阵,ρ(B )为B 的谱半径,则称A 为非奇异M-矩阵;若A 的比较矩阵M(A)=(m ij )为非奇异M-矩阵,则称A 为非奇异H-矩阵,其中:设A=(a ij )∈Cn×n,把A 分块为:这里A ii (1≤i ≤k )为n i 阶方阵,ki =1∑n i =n定义4设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),若A ii (1≤i ≤k )均非奇异,且:则称A 为块对角占优矩阵;如果(2)的所有不等号为严格不等式,则称A 为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为块严格对角占优矩阵,则称A 为广义块对角占优矩阵.设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B如下:引理1[1]设A=(a ij )∈Cn×n,若A 为严格α-对角占优矩阵,则A 为广义严格对角占优矩阵.引理2[1]设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B 如(3),则A 为广义块对角占优矩阵当且仅当B 是非奇异M-矩阵.定理1设A=(a ij )∈Cn×n,若N 1∪N 2=N ,N 1∩N 2=Ø及α∈(0,1]存在使得满足:则A 为广义严格对角占优矩阵.证明:令:若k ∈N ∑a jk =0时,记M j =+∞.由题设知0≤m i <M j ,∀i ∈N 1,j ∈N 2.适当选取d 使之满足0≤max i ∈N m i <d <min j ∈N M j ≤+∞.设正对角矩阵X=diag(x i │x i =d ∧i (A )a ii ,i ∈N 1;x i =∧i (A )a ii,i ∈N 2),再设B=AX=(b ij ),则:当i ∈N 1时,当j ∈N 2时,所以B 为严格α-对角占优矩阵,由引理1知B 为广义严格对角占优矩阵,又因为X 为正对角矩阵,所以A 也是广义严格对角占优矩阵。
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件1. 引言1.1 引言概述广义严格对角占优矩阵是线性代数中一个重要且常见的概念。
在矩阵理论中，对角占优矩阵是指矩阵每一行（或每一列）对角线上的元素的绝对值都大于该行（或该列）上所有其他元素的绝对值之和。
而广义严格对角占优矩阵则是对角线和非对角线上元素的要求更为宽松的一类矩阵。
广义严格对角占优矩阵在实际问题中有着重要的应用，尤其在数值计算中起着至关重要的作用。
本文将探讨广义严格对角占优矩阵的定义、性质、定理证明、应用和举例，希望通过对这一概念的深入研究，能够更好地理解其在数学和工程领域的重要性和实用性。
在下文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的各个方面，并通过具体的例子和应用场景来帮助读者更好地理解这一概念。
通过对广义严格对角占优矩阵的全面分析，我们可以更好地把握其本质和特点，为进一步的研究和应用奠定基础。
2. 正文2.1 定义广义严格对角占优矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在正整数r（r=1,2,...,n-1），使得对于所有i(j≠i)，都有|a_ij|≤r|a_ii|成立，则称矩阵A是广义严格对角占优的。
这里，a_ij表示矩阵A的第i行第j列元素，a_ii表示矩阵A的第i 行第i列元素。
简单来说，广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵，其非对角线上的元素的绝对值都小于等于对角线上元素的绝对值的r 倍。
广义严格对角占优矩阵的定义对于矩阵的性质和定理证明有着重要的影响，它保证了矩阵A的主对角线上的元素起着重要的作用，并且非对角线上的元素相对于对角线上的元素来说是比较小的。
这种特性为矩阵的计算和性质分析提供了便利，在实际应用中也有着重要的作用。
2.2 性质广义严格对角占优矩阵是一类在数学和工程领域中广泛应用的重要矩阵。
它具有许多独特的性质，这些性质在矩阵论和线性代数中具有重要的意义。
广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵结构，它的对角元素绝对值大于其它元素绝对值的和。
严格对角占优矩阵的行列式大于零的证明
严格对角占优矩阵的行列式大于零的证明知识专栏：深度思考，探索未知主题：严格对角占优矩阵的行列式大于零的证明一、引言在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，而严格对角占优矩阵则是其中一种特殊的矩阵类型。
本文将围绕严格对角占优矩阵的行列式大于零展开讨论，以揭示其中的数学原理和证明方法。
二、严格对角占优矩阵的定义让我们来回顾一下严格对角占优矩阵的定义。
对于一个n阶方阵A，如果它满足对角线元素严格大于其他行的绝对值之和，即|aii| > Σ|aij|，其中i≠j，那么我们称这个矩阵是严格对角占优的。
三、行列式大于零的证明接下来，我们将探讨严格对角占优矩阵的行列式大于零的证明。
我们知道对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为一个多项式的形式，即det(A) = Σ（-1）^σa1σ1a2σ2...anσn，其中σ是一个置换。
由于严格对角占优矩阵的性质，我们可以利用其特殊的排列方式，来证明它的行列式大于零。
我们可以将严格对角占优矩阵A表示为A = D - L - U，其中D为对角矩阵，L为严格下三角矩阵，U为严格上三角矩阵。
根据行列式的性质，det(A) = det(D - L - U) = det(D)det(I - D^(-1)L - D^(-1)U)，由于D为对角矩阵，我们可以得到det(D^(-1)L) < 1和det(D^(-1)U) < 1，进而得到det(I - D^(-1)L - D^(-1)U) > 0。
又因为D为对角矩阵，det(D) > 0，所以最终我们可以得到det(A) > 0。
四、个人观点和总结我们通过对严格对角占优矩阵的行列式大于零进行了证明，并揭示了其中的数学原理和证明方法。
作为一个数学问题，严格对角占优矩阵的行列式大于零涉及到了矩阵理论和代数的知识，需要我们从多个角度进行深入的思考和讨论。
希望本文的介绍能够帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一数学问题。
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件1. 引言1.1 研究背景广义严格对角占优矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数值计算、优化理论、图论等领域。
研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质及其在实际问题中的应用。
在实际问题中，我们常常需要求解线性方程组、最小二乘问题等，而矩阵的性质对于这些问题的求解至关重要。
广义严格对角占优矩阵在数值计算中有着广泛的应用，其具有良好的性质，能够保证解的存在唯一性和数值稳定性。
深入研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件对于提高数值计算的精度和效率具有重要意义。
广义严格对角占优矩阵在优化理论和图论中也有着重要的作用。
在优化问题中，要求解约束最优化问题时，矩阵的性质直接影响优化算法的效率和稳定性。
而在图论中，广义严格对角占优矩阵的性质可以帮助我们研究图的结构及其特征。
研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件具有重要的理论意义和实际价值，对于推动数值计算、优化理论和图论领域的发展具有重要意义。
1.2 研究意义广义严格对角占优矩阵在数学领域具有重要的研究意义。
研究广义严格对角占优矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点，为线性代数理论的深入发展提供了基础。
广义严格对角占优矩阵在数值计算和科学工程中具有广泛的应用价值，比如在求解线性方程组、矩阵分解、最优化等方面起着重要作用。
研究广义严格对角占优矩阵还可以为优化算法的设计和改进提供参考，提高算法的收敛速度和精度。
广义严格对角占优矩阵的研究不仅有着深远的理论意义，而且具有重要的实际应用价值，对于推动数学领域的发展和促进科学技术的进步都具有重要的意义。
2. 正文2.1 广义严格对角占优矩阵的定义广义严格对角占优矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和数值计算中具有重要的应用价值。
在正文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的定义及其充分必要条件。
我们来定义广义严格对角占优矩阵。
一个矩阵被称为广义严格对角占优矩阵，如果对于矩阵的每一行，其对角线元素的绝对值大于等于该行其他元素的绝对值之和。
对称正定和严格对角占优的关系
对称正定和严格对角占优的关系1. 引言大家好！今天我们来聊聊线性代数中的两个重要概念：对称正定矩阵和严格对角占优矩阵。
听起来是不是有点深奥？别担心，我们来轻松地探讨一下这两个小家伙的关系。
想象一下，在数学的世界里，它们就像两个好朋友，各自有自己的特点，却又有许多共同之处，互相呼应，互相支持。
2. 什么是对称正定矩阵？2.1 定义首先，让我们来解锁“对称正定矩阵”这个概念。
简单来说，若一个矩阵是对称的，就意味着它的转置等于它自己，像个爱美的人，总是希望自己看起来一模一样。
再说到“正定”，它的意思是，对任何非零向量，经过这个矩阵的变换后，结果的内积都是正数。
就像是说：“我绝对不会让你失望！”2.2 特性对称正定矩阵还有很多有趣的特性。
比如说，所有特征值都是正数，就像是总有阳光普照的日子，绝不让阴云笼罩。
而且，这样的矩阵总是可以找到一个“友好的”下三角矩阵，帮助我们进行简单的运算。
好比说，有人给你提供了一个绝佳的通行证，让你畅行无阻，真是太贴心了！3. 什么是严格对角占优矩阵？3.1 定义接着，我们来聊聊“严格对角占优矩阵”。
这个名字听起来复杂，其实它的意思挺简单的：一个矩阵如果对角线上的元素大于同一行其他元素的绝对值之和，那它就被称为严格对角占优矩阵。
就像是班级里的学霸，总是高高在上，成绩遥遥领先，其他同学也只能仰望。
3.2 特性严格对角占优矩阵的一个重要特性是，它总是可逆的。
想想看，如果一个班级里有个学霸，他肯定能带动大家一起进步；同样地，这个矩阵也能帮助我们找到稳定的解。
并且，在数值计算中，严格对角占优的矩阵一般能保证收敛速度快，让人倍感轻松。
真是个好伙伴啊！4. 对称正定与严格对角占优的关系好啦，接下来我们要进入今天的重头戏：这两个概念到底有什么关系呢？嘿嘿，这就有趣了！首先，如果一个对称矩阵是严格对角占优的，那么它一定是正定的。
就像是学霸不仅成绩好，性格也特别好，大家都愿意跟他交朋友。
4.1 反之不成立但是，如果说严格对角占优矩阵一定是对称正定的，那就不一定啦！想象一下，有些人虽然看起来很优秀，但内心可能有些小秘密，不愿意显露出来。
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cii aii
i1 j1
aij
n
aij
ji1
i1
n
n
aij aij cij
j1
ji1
j1
ji
(i 1,2,,n).
这说明，当 时，1矩阵 为严C格对角占优阵，
再由对角占优定理有 det(C) 0.
9
定理8 (SOR方法收敛的必要条件) 设解方程组 Ax b
4 1 1 0
A
an1
bn1 an
,
cn1
bnBiblioteka B
1 1 0
4 0 1
0 4 1
411.
(ai ,bi ,ci都不为零 )
则 A,都B 是不可约矩阵.
4
定理6 (对角占优定理) 如果 A (aij 为)n严n 格对角 占优矩阵或 A为不可约弱对角占优矩阵， 则 A为非奇异矩阵.
akj x j
akj x j xk
akj ,
j 1
j 1
j 1
ji
ji
ji
即 n
akk
akj ,
j 1
ji
与假设矛盾，故 det( A) 0.
6
定理7 设 Ax , b 如果： (1) 为A严格对角占优阵，则解 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
A的x雅可b比迭
(2) 0 2.
则解 Ax 的bSOR迭代法收敛.
11
证明 在上述假定下，只需证明 ，1 其中 为 L
的任一特征值.
事实上，设 为y对应 的 的特L征向量， 即
亦即
L y y, y ( y1, y2 ,, yn )T 0, (D L)1((1)D U ) y y,
显然 记
n
(Dy, y) aii yi 2 0, i1 (Ly, y) i ,
由于 A AT 所以 U L, T 故
(Uy, y) ( y,Ly) (Ly, y) i ,
0 ( Ay, y) ((D L U ) y, y) 2 ,
a12
a1n
C
(D L) U
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
8
下面证明，当 时，1 de，t(C即) 的0特征值G 均满足 ，1 由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.
事实上，当 时，1 由 A为严格对角占优阵， 有
((1 )D U ) y (D L) y.
为了找出 的表达式，考虑数量积
(((1 )D U ) y, y) ((D L) y, y),
12
则 (Dy, y) (Dy, y) (Uy, y) , (Dy, y) (Ly, y)
定义4 (可约与不可约矩阵) 设 A (aij )nn ,(n 2) 如果存在置换阵 P使
PT
AP
A11 0
A12 A22
,
其中 A1为1 阶r 方阵， 为A22 阶n 方 r阵
A为可约矩阵.
（3.6） ，(1 r n) 则称
否则，如果不存在这样置换阵 使P(3.6)式成立，则
另一方面
det( L ) det[( D L)1]det((1)D U ) (1)n ,
10
从而 det( L ) 1/ n 1 1,
即 0 2.
定理8说明解 Ax的SObR迭代法，只有在 范(围0,2)
内取松弛因子 ，才可能收敛.
定理9 设 Ax ，b 如果： (1) 为A对称正定矩阵， A D L U ;
(2) 为A弱对角占优阵，且 为不A可约矩阵，则解 Ax 雅b可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
证明 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理.
由设可知， aii 0 (i ，1解,, n)的高斯A-x塞 b 德尔迭代法的迭代矩阵为
G (D L)1U ( A D L U )
b
d1 d2
其中 y1, 为d1 维向r 量.
于是，求解 Ax 化b为求解
2
A11
y1
A12 y2 A22 y2
d1 , d2.
由上式第2个方程组求出 y2, 再代入第1个方程组求出 y1.
显然，如果 所A有元素都非零，则 为A不可约阵.
3
例7 设有矩阵
b1 c1 a2 b2 c2
（3.7）
（3.8）
13
所以 从而
( ) i , ( ) i
称 A为不可约矩阵.
为A可约矩阵意即 可A经过若干行列重排化为(3.6)或
1
Ax 可b化为两个低阶方程组求解.
如果 经A过两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 A进行一次行列重排.
事实上，由 Ax可化b为
PT AP(PT x) PT b,
且记
y
PT
x
y1 y2
,
PT
7
下面考查 的G特征值情况.
det(I G) det(I (D L)1U ) det(( D L)1)det((D L)U ).
由于 det(( D L,)1) 0 于是 G特征值即为
det( (D L) U ) 0
之根. 记
a11
的SOR迭代法收敛，则 0 2.
证明 由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3)
有 (L )， 1 设 L的 特征值为 1, 2 ,，, n 则
det( L ) 12n (L )n ,
或 det( L ) 1/n (L ) 1.
证明 只就 A为严格对角占优阵证明此定理.
采用反证法， 如果 det( A)， 0 则 Ax 有0非零解，
记为 x ( x1, x2 , , , xn )T 则
xk
max
1i n
xi
0.
由齐次方程组第 个k方程
则有
n
akj x j 0,
j 1
5
n
n
n
akk xk