有标题对角占优矩阵的性质及其应用

本科生毕业论文(设计)题目：对角占优矩阵的性质及其应用学生：付艳学号： 2指导教师：邹庆云专业班级：数学与应用数学完成时间：2012年5月目录0引言 (1)1主要结果 (2)1.1 对角占优矩阵奇异性 (2)1.2对角占优矩阵行列式 (3)1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4)1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5)1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9)1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用 (11)结论 (14)参考文献 (14)致 (15)对角占优矩阵的性质及其应用数学与应用数学专业学生：付艳指导教师：邹庆云摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。

本文主要研究了对角占优矩阵的奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。

关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。

Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominantconcepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, anddiagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strictdiagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature ofsome of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity,the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant,while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations,as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application. Keywords ：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.0 引言各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优 矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 及其应用的探讨成为许多国外学者的主要研究课题。

定义1 若A 是n n ⨯矩阵，且满足ii ij j ia a ≠≥∑ ()ii ij j ia a ≠>∑（1,2,,i n =…），则称A 为对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。

定义2 设n 阶矩阵(),ij A a =当1n =时，若A 的惟一的元素不为0，则称A 为不可约，否 则称为可约；当2n ≥时，把正整数1,2,,n …的全体记为N ，若存在一个非空集合K ， 它是N 的真子集合（即K ⊂N,但K ≠N ）使0ij a ≠,当i ∉k,j ∈k.则称A 为可约矩阵，否则 称为不可约矩阵。

定义3 设n 阶矩阵()ij ij A a =满足下面三个条件：（1）A 为对角占优矩阵，（2）A 为不可约矩阵，（3）严格不等式ii ij j ia a ≠>∑至少对一个下标i N ∈成立，则称A 为不可约对角占优矩阵。

1 主要结果1.1 关于对角占优矩阵奇异性研究定理1 A 为严格对角占优矩阵，则A 为非奇异。

证明:用反证法。

假设有非零向量12(,,)n x x x x =…，满足10,1,2,nij jj a xi ===∑…,n,则存在正整数k ≤n,使得1max 0k j j nx x ≤≤=>且 1,nj kk kjj j kkx a a x =≠=-∑由此得 1,1,nnj kk kjkj j j kj j kkx a a a x =≠=≠≤≤∑∑这与A 严格对角占优的性质矛盾。

定理2若矩阵A 为不可约按行（或列）对角占优矩阵，则A 非奇异。

证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。

设矩阵A 为不可约按行对角占优矩阵，如果A 奇异，则存在非零向量x ，使得0Ax =， 记{}|,i I i x x ∞==显然0x ∞≠且I 非空，则1,1,1,,nnnii ii i ij j ij j ij j j ij j ij j ia xa x a x a x a x i I ∞∞=≠=≠=≠==≤≤∈∑∑∑（1）如果{}1,2,I N n ==…，，则 1,,1,2,,nii ij j j ka a i n =≠≤=∑…，与对角占有性矛盾。

如果I N ≠，令/J N I =，则J 非空，且,I J N I J ⋃=⋂=∅由对角占优性以及（1） 1,1,,,nnij ij j j j ij j ia xa x i I ∞=≠=≠≤∈∑∑即()1,0,.nijj j j ia xx i I ∞=≠-≤∈∑当j I ∉即j J ∈时j xx ∞>，故由上式立即得到0ij a =，因此0,ij a J =∈∈，i I,j 与矩阵A 不可约矛盾。

证毕。

1.2 关于对角占优矩阵行列式的研究定理3设()n n ij A a R ⨯=∈是（行或列）严格对角占优矩阵，则det A 和A 的主对角元素之 积1122nna a a ⋅⋅⋅同号。

而且，当A 是行严格对角占优时，1det n ii ijj i i A a a ≠=⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∏。

当A 是列严格对角占优时，1det n jj iji j j A a a ≠=⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∏。

证明:由假设知0,1,2,,ii a i n ≠=…。

记()sgn ,1,2,,;,n ni ii i ij a i n B a R εε⨯===∈…于是12det A det B n εεε=…。

注意到B 的对角元素是正实数：0,1,2,,.i ii ii a a i n ε=>=…则B 的所有特征值具有正实部。

这样，由于B 是实的，复特征值必共轭成对出现，其积是正实数，而实特征值必为正实数，从而()det B —等于B 的所有特征值（按代数重数计）之积—必大于零。

因此有()()121122sgn det sgn n nn A a a a εεε==……，证毕。

1.3 关于对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性的研究定理4设()n n ij A a R ⨯=∈是行严格对角占优矩阵，则1A -是列元素严格对角占优矩阵。

证明:由于A 对角占优，则A 可逆。

令()()1,ij ij A a A -==α则()()det()1,,1,2,,det i jij ij A i j n A +=-=α…因此，只须证明()()det det ,1,2,,.ii ij A A i n >=… 不失一般性，为了方便，取1, 2.i j == 从而我们可得知 ()11det 0.B > 注意到()()()()11111212det det ,det det .B A B A == 为了完成定理的证明，只须证明 ()()1112det det 0.B B ±> 事实上，()()2222232222122322332333333313333311122313det det detdetn n n n n n n n n nn n n n n n nn a a a a a a a a a a a a B B a a a a a a εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪±=± ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………()()()22221223223323133333213det n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a aa εεεεεεεεε±⎛⎫⎪± ⎪= ⎪⎪⎪±⎝⎭…………………此式中最后的行列式是正的，因为其矩阵是行严格对角占优且对角元素全大于零，证毕。

1.4 对角占优矩阵其他相关性质定理5设()n n ij A a C ⨯=∈行严格对角占优矩阵，则对于任何()n n ij B b C ⨯=∈成立1111,max.nijj ni nii ijj j ibA Ba a =-∞≤≤=≠≤-∑∑证明:依算子数定义，存在 ()12,,,,1,Tn n C ξξξξξ∞=∈=…使得11.A B A B ξ--∞∞=令()112,,,Tn A B ηηηηξ-=≡且令01max ,i i i nηηη∞≤≤==由A B ηξ=得 0011.nni jj i j j j j ab ηξ===∑∑于是0000000000001,1,111,n n nn ni i i i j i i i i j j i jj i j j i j j j i j j i j j j a a a a ab b ηηηηξ=≠=≠===⎛⎫-≤-≤=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑从而00000011111,1,,max nni jijj j i nni ni i i jii ijj j i j j ibbA Ba a a a ηη==-∞∞≤≤=≠=≠==≤≤--∑∑∑∑，证毕。

定理6 设111211121222121112111121n n n n n n n n n n n n nn nn a a a a a a a a A a a a a aa a a -----------⎛⎫⎪--- ⎪⎪=⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭………………………①其中()0,,1,2,,ij a i j n ≥=…,A 为n 阶实方阵，若A 是对角占优矩阵，则： （1）()det 0A ≥；（2）A 的所有主子式非负，即对所有的121k i i i n ≤<<<≤…，有 ()1212det ,,,,0k kA i i i i i i ≥……；（3）A 的所有顺序主子式非负；证明:设P 为n 阶行交换初等矩阵，则A 为对角占优矩阵当且仅当T PAP 为对角占优 矩阵，据此对A 的行与行和列与列施行相同的交换，使得第一行除对角线上的元素以外，还有元素不为零，为讨论方便，将T PAP 记为A ，现设矩阵A 具有形式①，其中A 满足11121310,,,n a a a a >…不全为零。