人教版高中数学必修2第二章空间点、直线、平面之间的位置关系 同步教案1

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最新人教版高中数学必修2第二章“空间点、直线、平面之间的位置关系”教案

最新人教版高中数学必修2第二章“空间点、直线、平面之间的位置关系”教案

空间点、直线、平面之间的位置关系第一课时平面教学内容平面的概念;平面的画法和表示;平面的基本性质。

学习目标1.了解平面的概念,理解平面的无限延展性。

2.会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系,初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。

3.了解作为以后推理依据的三个公理。

教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化,三个公理的作用。

要点分析1.三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物,形象、直观的语言。

文字语言——对图像的描述、解释与讨论。

符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。

在对空间图形的认识中,注意有序的建立三种数学语言间的联系,合理使用三种数学语言描述图形的性质,加深对图形性质的理解。

课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。

注意:符号语言只是借用集合符号,读法仍用几何语言。

2.两个重要模型四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。

建议:要求学生能熟练画出四面体、长方体,利用这两个模型理解所学概念、定理,发展几何直观能力,提高空间想象力。

3.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

作用:用直线的直刻划平面的平,是判断直线在平面内的依据。

公理2 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。

作用:确定平面的依据。

课本并没有给出常用的三个推论,只是在练习题中以判断题的形式涉及,建议学生将其作为重要结论使用,但不涉及推论字眼。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用:判定两个平面相交的依据,为画图提供理论——两个平面相交有一条交线;可用于判定点在直线上。

建议:适当进行不同角度的两个相交平面直观图画法的练习,提高学习兴趣,提高空间想象能力,为在空间图形中进行命题论证奠定基础——过画图关。

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系教学内容空间两条直线之间的位置关系,等角定理。

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(1)

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(1)

② 两条异面直线所成的
导出异
角 θ∈( 0, π); 2
③ 当两条异面直线所成
面直线 所成的 角的概
的角是直角时,我们就说
念.
这 两条 异面直 线互相 垂 例 3 让
直,记作 a⊥ b;
学生掌
④ 两条直线互相垂直, 有 握了如
共面垂直与异面垂直两种
何求异
情形;
面直线
⑤ 计算中,通常把两条异 所成的
例 3(投影)
2. 利用已有的知识与经验归纳整 理本节所学知识 .
三、情感、态度与价值观
感受空间中图形的基本位置关系,形成严谨的思维品质
.
教学重点、难点
线在此平面内.
师:把一把直尺边缘
A
B
α· C ·
·
上的任意两点放在桌边, 可以看到,直尺的整个边 缘就落在了桌面上,用事 实 引导 学生 归纳出 公理
符号表示为 A∈L
1. 教师引导学生阅读教材
B∈ L ? L ? α. A∈α B∈α
公理 1: 判断直线是否在平
P42 前几行相关内容,并 加以解析.
β
α
P
·
L
平面是有的,而且只有一 个”,也即不共线的三点 确定一个平面 .
“有且只有一个平
面”也可以说成“确定一
符号表示为: P∈ α∩β? α∩β =,L 个平面 . ”
且 P∈ L .
引导学生阅读 P42 的
公理 3 作用:判定两个平面 是否相交的依据 .
思考题,从而归纳出公理 3.
通过类比 探索,培 养学生知 识迁移能 力,加强 知识的系 统性 .
师:生活中,我们看 到三脚架可以牢固地支撑
面内.
照相机或测量用的平板仪

新课标人教A版高中数学必修二第二章第一节《空间点、线、面之间的位置关系》教案

新课标人教A版高中数学必修二第二章第一节《空间点、线、面之间的位置关系》教案

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案一、课题2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系二、教学目标1、知识与技能①理解空间平面的概念,掌握平面的基本性质②熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换③掌握三条公理,并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系2、过程与方法①通过三种语言的学习,培养学生分析问题的能力,作图能力以及空间想象能力②学生亲历两条公理归纳过程,学会利用已有的知识与经验归纳新的知识3、情感态度与价值观通过语言、符号、图形的转换,使学生体会到数学的乐趣,激发其学习数学的兴趣三、课型新授课四、课时第一课时五、教学重难点④重点:文字语言、图形语言、符号语言转换,运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系难点:文字语言、图形语言、符号语言转换六、教学过程1、新课引入师:图示是我们生活中常见的物体,观察图片,你能总结出它们的共同特点吗?(课桌面、黑板面、海平面)生:它们都是平面师:非常好,那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢?(设计意图:通过生活中的实际例子出发,提出问题,引发思考,导入新课)2、教授新课生:......师:几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的,但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的,无大小,无厚薄之分,不可度量。

师:下面请同学们做一道小练习:①10个平面重叠起来,要比5个平面重叠起来厚;②有一个平面的长是50m,宽是20m;③黑板面是平面;④平面是绝对的平,没有大小,没有厚度,可以无限延展的抽象数学概念。

其中正确的说法是师:那么我们应该如何画平面呢?生:......师:我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,并且平行四边形的锐角通常画成45°.且横边长等于其邻边长的2倍,如图所示。

师:如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用虚线画出来,如图所示。

师:同学们还要注意到,在表示平面时,我们常把希腊字母α,β,γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如上图所示;当然也可以用代表平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,即:平面α,平面ABCD,平面AC。

人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案

人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案

)利用生活中的实物对平面进行描述;的直观图)掌握平面的基本性质及作用;.思考4:当两个平面相交时,你认为下列哪个图形的立体感强?你能指出其画法要点吗?(1)画出交线;(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面,我们可以用适当的字母作为平面的名称,如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”,用集合符号可怎样表示?“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示?思考3:如图,当点A、B落在平面α内时,直线置关系如何?由此可得什么结论?公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中,经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线,那么两思考1:如图,把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点,则其公共点只有一个重合的平面有公共点,其公共点有多少个?这些公共点的位置关系如何?l β= ,有哪些理论作用吗?确定两平面相交的依据,判断多点共线的依据例2: 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且(1)平面的概念、画法、表示方法;(2)文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关)了解空间中两条直线的位置关系;(养学生的空间想象能力;(;()异面直线所成角的定义、范围及应用。

思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线?关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法最合适?A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;思考1:设直线a//b,将直线a在空间中作平行移动,在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗 ?思考3:取一块长方形纸板ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将纸板沿EF 折起,在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论?思考1:在平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′,你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗?例2:如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中1. 空间直线的位置关系;2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线);3. 异面直线画法及判定;对于两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a, b′∥b,则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3:求异面直线所成角的步骤有哪些?思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么两条异面直线所成的角的思考3:在平面几何中,垂直于同一条直线的两直线互相平行,在空间中这个结论还成立吗 ?例1:如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.(1)直线A′B和CC′的夹角是多少?(2)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直?1、正方体ABCD- A)了解空间中直线与平面的位置关系;((.思考2:对于一条直线和一个平面,就其公共点个数来分类有哪几种可能?思考4:通过上面的观察和分析,直线与平面有三种位置关系,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? (1)直线在平面内---有无数个公共点;思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行?若直线思考1:拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位思考3:由上面的观察和分析可知,两个平面的位置关系只有两种,即两个平面平行,两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么?(1)两个平面平行---没有公共点;例1:给出下列四个命题:(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内,且l与平面β平行,则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点;(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系:)理解并掌握直线与平面平行判定定理;(思考3:若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系?思考4:有一块木料如图,P为面思考5:如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下直线a与平面α平行?思考1:如果直线a与平面α内的一条直线b平行,则直线a与平面α一定思考2:设直线b在平面α内,直线a在平面α外,若a//b,则直线a与直线b确定一个平面β,那么平面α与平面β的位置关系如何?此时若直线a思考3:通过上述分析,我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理,你能用文字语言表述出该定理的内容吗?定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平思考5:直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行,则线面平行”,在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)作出过直线AC且与直线BD1平行的截面,并说明理由.(2)设E,F分别是A1B和B1C的中点,求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么?有什么简单办法判定两个平面平行呢?思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行?思考3:通过上述分析,我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理,用文字语言表述出该定理的内容吗?定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理,怎样表述?思考5:在直线与平面平行的判定定理中,“a∥α,b∥β”,可用什么条件例1:在正方体ABCD-A′B′C′例2 :在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心,求证:平面DEF//平面ABC.)掌握两个平面平行的性质定理及其应用()使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;()掌握直线和平面所成的角及其应用((。

高中数学人教A版必修2《2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系》教案1

高中数学人教A版必修2《2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系》教案1

必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系一、课程标准中的相关内容1.了解空间中点、线、面的基本性质及位置关系。

2.通过学生亲自动手实验,体验空间中直线和平面的位置关系,学会用数学符号描述空间中直线与平面的位置关系,为今后学习立体几何打好基础。

二、教学目标1.知识与技能学生通过动手操作模型或观察实例,直观的认识空间中直线与平面的位置关系,培养学生的观察能力、空间想象能力。

2.过程与方法使学生通过动手操作模型或观察实例,能正确画图表示出直线与平面的位置关系,培养学生的基本作图能力体验用数学刻画自然界事物之间关系的方法。

3.情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识和勇于探索的科学态度三、学生分析在学习立体几何之前,学生已经学习了大量的平面几何知识,本章知识是立体几何的基础,在整个几何学中占有非常重要的地位,起着承前启后的作用。

再则本章知识在现实生活中应用非常广泛,学生对和现实生活联系紧密的知识具有天生的兴趣,充分培育和利用好学生的这些兴趣,将使教学更轻松。

课程的开展一方面是让学生对立体几何有基本的认识,另一方面也是为接下来的学习打下基础。

让学生从“知其然”到“知其所以然”。

四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容在前两节的基础上现实生活中的实例为载体,使同学们在直观感知的基础上,认识空间中直线与平面的位置关系,进而进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法,发展推理论证能力,培养逻辑思维能力。

它既是前一章的深入,又是今后学习立体几何的基础,在整个几何学中占有非常重要的地位,起着承前启后的作用。

2.本节主要内容高中数学新课程对于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、提高提出问题、分析问题和解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。

本课首先通过实例演示,是同学们对空间中直线和平面的位置关系有初步的了解,进而通过理论分析,是同学们从理论上理解并掌握空间中直线和平面的位置关系的内涵,为今后学生学习立体几何打下坚实的基础。

最新人教版高中数学必修2第二章“空间中直线与平面之间的位置关系”教案

最新人教版高中数学必修2第二章“空间中直线与平面之间的位置关系”教案

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教学目标:1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系。

2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.进一步培养学生的空间想象能力.重点难点正确判定直线与平面的位置关系.教学过程Ⅰ 导入新课思考(P48)1. (情境导入)一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?2.(事例导入)观察长方体(图1),你能发现长方体ABCD —A′B′C′D′中,线段A′B 所在的直线与长方体ABCD —A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系?图1Ⅱ 新知探究提出问题①什么叫做直线在平面内?②什么叫做直线与平面相交?③什么叫做直线与平面平行?④直线在平面外包括哪几种情况?⑤用描述直线与平面之间的位置关系.AB DC D 1C 1 B 1 A 1活动:教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑,对回答正确的学生及时表扬.讨论结果:①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.⑤Ⅲ例题解析例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3练习1、请讨论下列问题:若直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系.2、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个命题:①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线4、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线例2 已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.已知直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:l与a、b、c共面.练习:1、已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.2、已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,又a∩b=P.求证:a与β相交,b与α相交.Ⅳ拓展训练1、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.2、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.3、过空间一点,能否作一个平面与两条异面直线都平行?Ⅴ课堂小结本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种:①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点.备用习题下面四种说法中:(1)两条平行直线中的一条平行于一个平面,则另一条也平行于这个平面;(2)平行于平面内一条直线的直线平行于该平面;(3)过平面外一点只有一条直线和这个平面平行;(4)若一条直线和一个平面平行,则这条直线和这个平面内所有直线都平行.正确说法的个数为()A.0;B.1;C.2;D.3[分析]正确理解直线与平面平行的定义,从而逐一判定每个说法的正误.[解答](1)(2)均不正确,这条直线并没有确定是在平面外;(3)不正确,过平面外一点有无数条直线与已知平面平行;(4)不正确,此直线与平面内的直线无公共点,但位置关系是可能平行,也可能异面.故应选A.。

人教版高中必修(2)2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(3)

人教版高中必修(2)2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(3)

课题:2.1.1平面教学目标:1、了解平面的概念;掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法。

2、理解公理一、二、三,并能运用它们解决一些简单的问题。

3、通过实践活动,感知数学图形及符号的作用,从而培养学生由感性认识提升为理性认识;注意区别空间几何与平面几何的不同,多方面培养学生的空间相象力。

教学重点:公理一、二、三;实践活动感知空间图形教学难点:公理三;由抽象图形认识空间模型学法指导:动手实践操作,由模型到图形,由图形到模型不断感知。

教学过程:一、引言:在平面几何中,我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的,我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行,请同学谈谈到底平面是什么样子的?可以举实例说明。

在平面几何中,我们也知道直线是无限延伸的,我们是怎样表示这种无限延伸的?那么你认为平面是否有边界?你有认为如何去表示平面呢?二、新课:以上问题经过学生分小组充分讨论,由各小组代表陈述你这样表示的理由?教师暂不作评判,继续往下进行。

实践活动:1、仔细观察教室,举出空间的点、线、面的实例。

2、只准切三刀,请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块。

3、请你准备六根游戏棒,以每根游戏棒为一边,设法搭出四个正三角形。

以上这些问题已经走出了平面的限制,是空间问题。

今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系。

图1 问题:指出上述活动中几何体的面,并想想如何在一张纸上画出这个几何体?至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系。

练习一试画出下列各种位置的平面。

1、水平放置的平面2、竖直放置的平面图2(2)图2(3)4、请将以下四图中,看得见的部分用实线描出.图4(1)图4(2)图4(3)图4(4)小结:平面的画法和表示法。

我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示一个平面,如图5。

平行四边形的锐角通常画成45︒,且横边长等于其邻边长的2倍。

如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用虚线画出来,如图6。

高中数学 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学教案

高中数学 空间点、直线、平面之间的位置关系教案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学教案

第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上,以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系;通过大量图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,初步体验公理化思想,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容:2.1点、直线、平面之间的位置关系,2.2直线、平面平行的判定及其性质,2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面,都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开,依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质;直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在:空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考):§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1.知识与技能(1)利用生活中的实物对平面进行描述;(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图(3)掌握平面的基本性质及作用;(4)培养学生的空间想象能力.2.过程与方法(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;(2)让学生归纳整理本节所学知识.3.情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程(一)导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?对,像一个平面,今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系吗?图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个问题.(二)推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系?④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内?⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面?⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?⑧自己总结三个公理的有关内容.活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点?⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果:①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2.平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD (图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC (图5).图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:点A 在直线a 上(或直线a 经过点A )A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外(或直线a 不经过点A )A ∉a 点A 在平面α内(或平面α经过点A ) A∈α 点A 在平面α外(或平面α不经过点A )A ∉α④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A ∉α,B∈α,则a ⊄α.如图(图7).⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.如图(图8).图8公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看).问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上.这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.(三)应用示例思路1例1 如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.解:在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系:(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解:如图11.图112.根据下列条件,画出图形.(1)平面α∩平面β=l,直线AB⊂α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F∉l;(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α,B∉a,C∈β,C∉a.答案:如图12.图12点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证:过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明:如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α,因为A、B在平面α内,根据公理1,直线a在平面α内,同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明:如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,b⊂α.∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c,C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有:(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15,已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交,在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解:如图16所示,连接CB,∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC,∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC,∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17,AD∩平面α=B,AE∩平面α=C,请画出直线DE与平面α的交点P,并指出点P 与直线BC的位置关系.图17解:AD和AC是相交直线,它们确定一个平面ABC,它与平面α的交线为直线BC ,DE ⊂平面ABC ,∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ,M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点,图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线,以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ,求PQ 的长.解:(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α,则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ,设MP∩A 1B 1=R ,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线,设RN∩B 1C 1=Q ,连接PQ ,则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ,B 1R=BM=4 cm ,又A 1N=4 cm ,B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34(cm ).在△PB 1Q 中,B 1P=4 cm ,B 1Q=34cm , ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评:公理3给出了两个平面相交的依据,我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点,求证:P 、Q 、R 三点共线.解:如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ,且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证:Q ∈l,R ∈l,∴P、Q 、R 三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3,且l 1、l 2、l 3不平行.求证:l 1、l 2、l 3相交于一点.证明:如图20,α∩β=l 1,β∩γ=l 2,α∩γ=l 3,图20∵l 1⊂β,l 2⊂β,且l 1、l 2不平行,∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ,则P ∈l 1⊂α,P∈l 2⊂γ,∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理3.(四)知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′,再画出平面ACD′与平面BDC′的交线,并且说明理由.解:如图21,图21∵F∈CD′,∴F∈平面ACD′.∵E∈AC ,∴E∈平面ACD′.∵E∈BD ,∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′,∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.(五)拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解:如图22,连接A1C1、AC,图22因AA1∥CC1,则AA1与CC1可确定一个平面AC1,易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1,所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C,得P∈平面AC1,而P∈截面AB1D1,故P在两平面的交线上,即P∈AO1.点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.(六)课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用.(七)作业课本习题2.1 A组5、6.§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系,直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系,准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1.知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角公理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系教案

人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系教案

②图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.(2)空间两条直线的位置关系①相交直线——同一平面内,__有且只有__一个公共点.②平行直线——同一平面内,__没有___公共点.③异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.注:(1)若无特别说明,书中的两条直线均指不重合的两条直线.(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3.空间中直线与平面(1)位置关系:有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点;②直线与平面相交——有且只有一个公共点;③直线与平面平行——没有公共点.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.(2)符号表示:直线l在平面α内,记为 l⊂α;直线l与平面α相交于点M,记为_l∩α=M_;直线l与平面α平行,记为l∥α .(3)图示:直线l在平面α内,如图a所示;直线l与平面α相交于点M,如图b所示;直线l与平面α平行,如图c所示.4.空间中直线与平面(1)位置关系:有且只有两种①两个平面平行——没有公共点;②两个平面相交——有一条公共直线.(2)符号表示:两个平面α,β平行,记为α∥β;两个平面α,β相交于直线l,记为α∩β=l.(3)图示:两个平面α,β平行,如图a所示;两个平面α,β相交于直线l,如图b所示.2.2直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理:2.平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理:3.直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理:4.平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理:2.3直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直的含义及判定定理含义:判定地理:2.平面与平面垂直的判定(1)二面角(2)平面与平面垂直①定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.②画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.③判定定理3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理:4.直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理:二、重难点直线、平面平行的判定及其性质1.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.2.证明直线与平面平行的方法(1)定义:证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.(3)判定定理法.3.对面面平行的判定定理的理解(1)定理可简记为:线面平行,则面面平行.这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.(2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件: a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β. 4.平面与平面平行的判定方法:(1)定义法:两个平面没有公共点;(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面;(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β;(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.直线、平面垂直的判定及其性质1.线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;③根据判定定理得出结论.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧:证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.2.证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.3.证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.特别提醒:“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的.三、易错点直线、平面平行的判定及其性质1.线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.直线、平面垂直的判定及其性质注意线面垂直与平行的相互转化:(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化,每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行,最终达到目的.四、例题分析例1、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1∥平面A1CD.例2、如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.例3、求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.例4、如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF ⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.例5、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.例6、如右图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(1)求证:D1C⊥AC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.。

最新人教版高中数学必修2第二章“空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系”教学设计

最新人教版高中数学必修2第二章“空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系”教学设计

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学任务分析通过生活实例以及长方体模型的观察和思考,引出直线和平面的三种位置关系,体现分类的思想. 通过生活实例以及长方体模型的观察和思考, 引出两平面之间的位置关系.进一步培养学生的空间想象能力. 二、教学重点和难点直线与平面的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 三、教学基本流程观察实物模型和动手操作引出空间直线与平面的位置关系→理解空间直线与平面位置关系的实质→空间直线与平面位置的图形画法与表示→例题练习教学→观察实物模型和动手操作引出空间平面与平面之间的位置关系→学习小结与作业 四、教学情境设计1、 导入课题:前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系,类比空间两 直线的位置关系,直线和平面又会有那些位置关系呢?【设计意图】:学习完空间两条直线的位置关系后,引出本节课的内容.2、思考(1) 一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有几种位置关系?图(2.1.3-1)(2)如图2.1.3-1,线段'A B 所在直线与长方体''''ABCD A B C D 的六个面所在有几种位置关系? 【设计意图】:以生活中的实例以及长方体为载体提出直线与平面位置关系的种数问题,通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系.教学时,引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系,得到直线与平面的位置关系有且只有三种: (1) 直线在平面内―有无数个公共点; (2) 直线与平面相交―有且有一个公共点; (3) 直线与平面平行―没有公共点.3、活动:观察教室内地面、天花板、墙面的相交线与墙面、地面所在直线的关系.你能分别举出几个直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行的例子吗?【设计意图】: 以这些实例给学生关于直线于平面位置关系的直观感知.在学生形成直观感知的基础上,在对这些实物做正确的抽象,比如“地面”、“天花板”、“墙面”等,均应想像成“平面”. 4、探究:如何用图形表示直线与平面的位置关系呢?试用符号表示它们的关系.'a图2.1.3-2 图2.1.3-3 图2.1.3-4【设计意图】:培养学生的空间想象能力和作图能力.(1)直线a在平面α内(图2.1.3-2),记作aα⊂;(2)直线a与在平面α相交于点A(图2.1.3-3),记作a Aα=;(3)直线a与平面α平行(图2.1.3-4),记作aα .5、例4的教学【设计意图】:通过例题的教学,理解掌握判断直线与平面位置关系的本质问题.6、P50练习【设计意图】:引导学生利用直线与平面位置关系的本质解决实际问题.7、思考(1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,置关系有几种?(2) 如图2.1.3-5,围成长方体''''ABCD A B C D-的六个面,两两之间的位置关系有几种? 图2.1.3-5【设计意图】:以生活中的实例以及长方体为载体提出直线与平面位置关系种数问题,通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系.教学时,引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系,得到直线与平面的位置关系有且只有两种:(1)两个平面平行―没有公共点(2)两个平面相交―有一条公共直线8、探究:如何用图形表示平面与平面之间的位置关系呢?试用符号表示它们的关系.图2.1.3-6【设计意图】:通过讨论,使学生明确定义既表明了各种位置关系的本质特征,同时还可以用定义判断是否'存在相应的位置关系.9、探究:已知平面,αβ,直线,a b ,且,,,a b αβαβ⊂⊂ 则直线a 与直线b 有怎样的位置关系? 【设计意图】:引导学生理解和分析:有面面平行的定义可以看出,直线,a b 分别在平面,αβ内,因此,a b 是不可能有公共点的.因为若有公共点,那么这个点也必是两个平面的公共点,两个平面也就不可能平行了.因此,这两条直线不相交(是平行直线或异面直线).培养学生的空间想象能力和知识的应用能力. 10、P50练习【设计意图】:培养学生的空间想象、空间作图和知识的灵活应用能力. 11、学习小结(1)空间中直线与平面有哪几种位置关系?空间中直线与平面相交、平行、在平面内的本质特征是什么? (2)平面与平面的位置关系怎样?它们的本质特征是什么? 12、作业(1) P52习题2.1B 组第2题;(2) 如图,在长方体''''ABCD A B C D -中,指出'',B C D B 所在直线与各个面所在平面的位置关系。

高中数学人教A版必修2教案-2.1_空间点、直线、平面之间的位置关系_教学设计_教案_3

高中数学人教A版必修2教案-2.1_空间点、直线、平面之间的位置关系_教学设计_教案_3

教学准备
1. 教学目标
1、理解点到直线距离公式的推导。

2、熟练掌握并应用点到直线的距离公式。

3、学会推导两平行直线间的距离公式并能应用。

2. 教学重点/难点
教学重点:点到直线的距离公式的应用。

教学难点:点到直线的距离公式的理解。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
教学过程:
一、引入新课:
1、提出问题:
在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线的方程是Ax+By+C=0,怎样用点P的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离?
2、两条思路:
思路一:过P点向直线作垂线,垂足为Q,
一、例题精讲:
例1、求点P0(-1,2)到下列直线的距离。

(1)2x+y-10=0 (d=)
(2)3x=2 (d=)
例2求两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离。

例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。

例4、已知一直线被两平行线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0所截线段长为
且过点(2,3),求直线的方程。

(x-7y+19=0或
7x+y-17=0)
一、课堂练习:
1、教材P53练习
2、在直线x-3y-2=0上求两点,使它与点(-2,2)构成等边三角形的三个顶点。

二、课后作业:
P537.313、15、16。

人教版高中数学必修2第二章空间点、直线、平面之间的位置关系 同步教案1

人教版高中数学必修2第二章空间点、直线、平面之间的位置关系 同步教案1

学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第()次课共()次课课时:2课时教学课题人教版必修2第二章空间点、直线、平面之间的位置关系同步教案1教学目标知识目标:了解平面的基本性质即三条公理,能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系,掌握直线平面之间的位置关系能力目标:培养学生的空间想象能力情感态度价值观:提高学生对空间几何的兴趣.教学重点与难点重点:平面基本性质及异面直线所成角难点:运用三条公理解决问题.教学过程(一)平面知识梳理1.平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的,是无限_延展的画法通常把水平的平面画成一个__平行四边形___,并且其锐角画成45°,且横边长等于其邻边长的__2__倍,如图1所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用_虚线画出来,如图2所示记法(1)用一个__希腊字母__α,β,γ等来表示,如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的___英文字母___(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如上图1中的平面记为平面ABC或平面_BCD__等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_顶点_)来表示,如上图1中的平面可记为平面ABCD2.点、线、面的位置关系的表示A是点,l,m是直线,α,β是平面. 3.公理14.公理25.公理3例题精讲【题型一、平面的概念】【例1】下列命题:(1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是50 m,宽是20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【方法技巧】习惯上,用平行四边形表示平面;在一个具体图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面.【题型二、点、线、面的位置关系的表示】【例2】.如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,B________α,E________α,C________α,D________α.(2)α∩β=________.(3)A∈β,B________β,C________β,D________β,E________β,F________β.(4)AB________α,AB________β,CD________α,CD________β,BF________α,BF________β. 【例3】.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A.P∉α,Q∈αB.P∈α,Q∉α C.P∉α,Q∉αD.Q∈α【方法技巧】从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.【题型三、关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题】【例4】用符号语言表示下列语句,并画出图形:(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC.(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.【方法技巧】学习几何问题,三种语言间的互相转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.【题型三、三个公理的理解】【例5】判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面;(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内.【方法技巧】公理2是确定平面的依据,对涉及这方面的应用,务必分清它们的条件;立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系,要有一定的空间想象能力.对于问题中的点、线,要注意它们可能存在的不同的位置关系,以及由此产生的不同结果.【题型四、点共线与线共点的问题】【例6】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P、Q、R三点共线.【方法技巧】证明点线共面的常用方法:(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用公理2,第二步要应用公理1.(2)重合法:应用公理1,先由部分元素分别确定平面,然后应用公理2证明这几个平面重合.●误区警示易错点:对于条件所给的点的位置关系考虑不全面例:空间中四点,如果任意三点都不共线,那么由这四个点可以确定多少个平面?[错解]因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面.[错因分析]忽略了四个点在同一个平面上的可能.[思路分析]空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系:一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点,此时,这四个点只能确定一个平面;另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点,此时,这四个点可确定四个平面.[正解]一个或者是四个.巩固训练1.下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形;②四边形是平面图形;③四边相等的四边形是平面图形;④圆是平面图形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A.平面MN B.平面NQPC.平面αD.平面MNPQ3.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是()A.A∈l,l∉αB.A∈l,l⊄αC.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α4.三点可确定平面的个数是()A.0 B.1 C.2 D.1或无数个5.如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点6.看图填空:(1)AC∩BD=________. (2)平面AB1∩平面A1C1=________.(3)平面A1C1CA∩平面AC=________.(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________.(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=________.(6)A1B1∩B1B∩B1C1=________.7.求证:一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面.8.三个平面α、β、γ两两相交,交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,已知直线a和b不平行.求证:a、b、c三条直线必过同一点.(二)空间中直线与直线之间的位置关系知识梳理1.异面直线(1)概念:不同在___任何一个___平面内的两条直线叫做异面直线.(2)图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.2.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内,__有且只有__一个公共点.(2)平行直线——同一平面内,__没有___公共点.(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.注:(1)若无特别说明,书中的两条直线均指不重合的两条直线.(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3.公理44.等角定理5.两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角α的范围:0°<α≤90°.(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.例题精讲【题型一、空间两条直线位置关系的判定】【例1】已知a,b,c是空间三条直线,下面给出四个命题:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c也是异面直线;③如果a,b是相交直线,b,c是相交直线,那么a,c也是相交直线;④如果a,b共面,b,c共面,那么a,c也共面.在上述命题中,正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【方法技巧】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)方法一:证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).【题型二、公理4、等角定理的应用】【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)EF//E1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.【方法技巧】求证两直线平行:一是应用公理4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,是一种常用方法,要充分用好平面几何知识,如有中点时用好中位线性质等;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点. 求证角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【题型三、求异面直线所成的角 】【例3】如图,P 是平面ABC 外一点,PA =4,BC = ,D ,E 分别为PC 和AB 的中点,且DE =3.求异面直线PA 和BC 所成角的大小.【方法技巧】1.求异面直线所成的角的一般步骤为:(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.2.求两异面直线所成角的大小.(1)求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.(2)如果求得的角的余弦值为负值的话,这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角,所以在指明所求角的时候,应该说“这个角或其补角”即为所求的角.特别提醒:两条异面直线所成角的范围:(0,2π].巩固训练1.不平行的两条直线的位置关系是( ) A .相交B .异面C .平行D .相交或异面2.如果两条直线a 和b 没有公共点,那么a 和b ( )A .共面B .平行C .异面D .平行或异面3.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系( ) A .平行B .相交C .异面D .不确定4.已知∠ABC =120°,异面直线MN 、PQ 其中MN ∥AB ,PQ ∥BC ,则异面直线MN 与PQ 所成的角为( ) A .60°B .120°C .60°或120°D .30°5.在空间四边形ABCD 中,如图所示,AB AE =AD AH ,CB CF =CD CG,则EH 与FG 的位置关系是________.6.如图所示,在正方体ABCD -A′B′C′D′中,E 、F 、E′、F′分别是AB 、BC 、A′B′、B′C′的中点,求证:EE′∥FF′.(三)空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系知识梳理1.空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系:有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点;②直线与平面相交——有且只有一个公共点;③直线与平面平行——没有公共点.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.(2)符号表示:直线l在平面α内,记为 l⊂α;直线l与平面α相交于点M,记为_l∩α=M_;直线l与平面α平行,记为l∥α .(3)图示:直线l在平面α内,如图a所示;直线l与平面α相交于点M,如图b所示;直线l与平面α平行,如图c所示.2.两个平面之间的位置关系(1)位置关系:有且只有两种①两个平面平行——没有公共点;②两个平面相交——有一条公共直线.(2)符号表示:两个平面α,β平行,记为α∥β;两个平面α,β相交于直线l,记为α∩β=l.(3)图示:两个平面α,β平行,如图a所示;两个平面α,β相交于直线l,如图b所示.例题精讲【题型一、直线与平面的位置关系】【例1】下列五个命题中正确命题的个数是( )①如果a、b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a、b满足a∥α,b∥α,那么a∥b;④如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;⑤如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0 B.1 C.2 D.3【方法技巧】直线与平面位置关系的判断:(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.例题精讲【题型二、平面与平面之间的位置关系】【例2】α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是( )A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【方法技巧】判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于空间想象能力,确定平面间的位置关系.例题精讲【题型三、用反证法证明线面关系】【例3】已知:直线a∥b,a∩平面α=P.求证:直线b与平面α相交.【方法技巧】到目前为止,我们认识了线线关系、线面关系和面面关系,但是我们只知道定义,没有充足的公理、定理可用,所以在证明有些结论时可以利用反证法.应用反证法证题时,要全面考虑反面的各种情况,逐一推出矛盾进行排除,具体步骤为:(1)假设结论不成立;(2)归谬;(3)否定假设,肯定结论.巩固训练1.圆柱的两个底面的位置关系是( )A.相交B.平行 C.平行或异面 D.相交或异面2.直线a与平面α平行,直线b⊂α,则a与b的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.异面D.平行或异面3.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.唯一一条直线不相交 B.仅两条相交直线不相交C.仅与一组平行直线不相交 D.任意一条直线都不相交4.下列四个命题中假命题的个数是( )①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行②两条直线没有公共点,则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.A.4 B.3 C.2 D.15.如图所示,A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系?6.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其它面之间有什么位置关系?课后作业【基础巩固】1.如图所示,下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α2.异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线3.a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l必定()A.与a,b都相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b之一相交D.至多与a,b之一相交4.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为() A.30°B.45°C.60°D.90°5.三棱台ABC-A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是() A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内6.平面α∥平面β,直线a∥α,则()A.a∥βB.a在面β上C.a与β相交D.a∥β或a⊂β7.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:(1)点C与平面β:________. (2)点A与平面α:________. (3)直线AB与平面α:________.(4)直线CD与平面α:________. (5)平面α与平面β:________.8.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线________上.(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线________上.9.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB 所成的角.10.如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,试判断(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系?(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系?(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?【能力提升】1.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.2.如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=2,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.。

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学,学生将能够:1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系;2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题;3.进一步培养学生的数学思维,提高学生的空间想象能力和综合运用能力。

二、教学重点和难点教学重点:1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征;2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系;3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。

教学难点:1.掌握点、直线、平面的共面关系;2.学会在空间中画出图形;3.掌握平面间的位置关系。

三、教学过程1. 导入环节(5分钟)引导学生通过生活实际情境,复习几何学中的点、线、面的概念,并对此进行概括,展现本课内容的片面性和局限性,进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。

同时,激发学生空间想象的能力。

2. 正式教学环节(40分钟)1)点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系,并用图形进行示范。

然后,让学生自己分析和总结,归纳出点与直线的位置关系的有关性质。

例如:•点在直线上;•点在直线上的外部;•点在线的两侧;•点与直线相离。

2)点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系,老师同样先给出范例进行示范,帮助学生加深理解。

然后,再让学生自己探究和总结,归纳点与平面的位置关系的有关性质。

例如:•点在平面上;•点在平面上的内部;•点在平面上的外部。

3)直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系,为学生提供相关的图形,并进行实操。

教师同样应给学生提供足够多的机会,让学生自行探究总结,得出有关性质。

例如:•直线在平面上;•直线与平面交于一点;•直线与平面平行;•直线与平面垂直。

4)平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后,适当引入平面与平面的位置关系。

老师还是要以图形为依据,实践出多重案例,使学生理解平面与平面的位置关系的本质。

高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案

高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案

⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 ⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 课题名称 《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》 科 ⽬ ⾼中数学 教学时间 1课时 学习者分析 通过第⼀章《空间⼏何体》的学习,学⽣对于⽴体⼏何已经有了初步的认识,能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球,并理解它们的⼏何特征。

但是这种理解还只是建⽴在观察、感知的基础上的,对于原理学⽣是不明确的,所以学⽣此时有很强的求知欲,急于想搞清楚为什么;同时学⽣经过⾼中⼀年的学习,已经具备了⼀定的逻辑推理能⼒,只是缺乏训练,不够严密,不够清晰;有⼀定的⾃主探究和合作学习的能⼒,但有待提⾼,并愿意动⼿并参与分组讨论。

教学⽬标 ⼀、知识与技能 1. 理解空间点、直线、平⾯的概念,知道空间点、直线、平⾯之间存在什么样的关系; 2. 记忆三公理三推论,能够⽤简单的语⾔概括三公理三推论,会⽤图形表⽰三公理三推论,并将其转化成数学符号语⾔; 3. 明确三公理三推论的功能,掌握使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题的⽅法。

⼆、过程与⽅法 1. 通过⾃⼰动⼿制作模型,直观地感知空间点、直线与平⾯之间的位置关系,以及三公理三推论; 2. 通过思考、讨论,发现三公理三推论的条件和结论; 3. 通过例题的训练,进⼀步理解三公理三推论,明确三公理三推论的功能。

三、情感态度与价值观 1. 通过操作、观察、讨论培养对⽴体⼏何的兴趣,建⽴合作的意识; 2. 感受⽴体⼏何逻辑体系的严密性,培养学⽣细⼼的学习品质。

教学重点、难点 1. 理解三公理三推论的概念及其内涵; 2. 使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题。

教学资源 (1)每位同学准备两张硬纸板,其中⼀张中间⽤⼩⼑划条缝,铅笔三根; (2)教师⾃制的多媒体课件。

《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教学过程的描述 教学活动1 ⼀、导⼊新课 1. 回忆构成平⾯图形的基本元素:点、直线。

空间点、直线、平面之间的位置关系教案-数学必修2第二章-点、直线、平面之间的位置关系2.1第一课时人教A版

空间点、直线、平面之间的位置关系教案-数学必修2第二章-点、直线、平面之间的位置关系2.1第一课时人教A版

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系第一课时 2.1.1平面1 教学目标[1]了解平面的描述性概念。

[2]了解平面的表示方法和基本画法。

[3]理解公理1、公理2、公理3。

[4]能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

[5]感知数学语言的美,激发学习兴趣。

2 教学重点/难点教学重点:平面的概念及表示理解三条公理,能用三种语言分别表示。

教学难点:平面基本性质的掌握与运用。

3 专家建议通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已有的直线的描述性概念,通过类比让学生体验获得平面的描述性概念。

然后讲解平面的三个公理,让学生掌握与产生兴趣。

4 教学方法类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。

5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们,我们来复习一下正方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间和位置关系?【生】学生讨论回答A BC DA1 B1C1D1【师】8个顶点为A、B 、C 、D 、1111D C B A 、、、,12条棱为1111C B B A AD CD BC AB 、、、、、11111111DD CC BB AA D A D C 、、、、、,六个平面为平面ABCD 、平面1111D C B A 、平面11A ADD 、 平面11A ABB 、平面11B BCC 、平面11C CDD 。

位置关系:点与直线,点与平面关系(在直线或者平面上,不在直线或者平面里) 直线与直线(相交、平行、异面),直线与平面(相交、平行、在平面上) 平面与平面(平行、相交、重合) 【师】生活中哪些物体给我们以平面的形象? 【生】自由回答5.2 新知介绍 [1] 平面的概念及表示【师】请同学们回答下,什么样的图形是平面? 【生】讨论回答 【师】总结(1)平面是理想的、绝对的平且无限延展的。

(2)平面是由它内部的所有的点组成的点集,其中每个点都是它的元素。

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记法(1) 用一个__希腊字母__α,β,γ等来表示,如上图1中的平面记为平面α (2)用两个大写的___英文字母___(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如上图1中平面记为平面AC 或平面BD(3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如上图1中的平面记为平面ABC 或平面_BCD __等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_顶点_)来表示,如上图1中的平面可记为平面ABCD2.点、线、面的位置关系的表示A 是点,l ,m 是直线,α,β是平面.3.公理14.公理25.公理3例题精讲【题型一、平面的概念】【例1】下列命题:(1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;(3)有一个平面的长是50 m,宽是20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【方法技巧】习惯上,用平行四边形表示平面;在一个具体图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面.【题型二、点、线、面的位置关系的表示】【例2】.如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,B________α,E________α,C________α,D________α.(2)α∩β=________.(3)A∈β,B________β,C________β,D________β,E________β,F________β.(4)AB________α,AB________β,CD________α,CD________β,BF________α,BF________β. 【例3】.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉α C.P∉α,Q∉α D.Q∈α【方法技巧】从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.【题型三、关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题】【例4】用符号语言表示下列语句,并画出图形:(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC.(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.【方法技巧】学习几何问题,三种语言间的互相转换是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.【题型三、三个公理的理解】【例5】判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面;(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内.【方法技巧】公理2是确定平面的依据,对涉及这方面的应用,务必分清它们的条件;立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系,要有一定的空间想象能力.对于问题中的点、线,要注意它们可能存在的不同的位置关系,以及由此产生的不同结果.【题型四、点共线与线共点的问题】【例6】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P、Q、R三点共线.【方法技巧】证明点线共面的常用方法:(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用公理2,第二步要应用公理1.(2)重合法:应用公理1,先由部分元素分别确定平面,然后应用公理2证明这几个平面重合.●误区警示易错点:对于条件所给的点的位置关系考虑不全面例:空间中四点,如果任意三点都不共线,那么由这四个点可以确定多少个平面?[错解]因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面.[错因分析]忽略了四个点在同一个平面上的可能.[思路分析]空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系:一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点,此时,这四个点只能确定一个平面;另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点,此时,这四个点可确定四个平面.[正解]一个或者是四个.巩固训练1.下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形;②四边形是平面图形;③四边相等的四边形是平面图形;④圆是平面图形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A.平面MN B.平面NQPC.平面αD.平面MNPQ3.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是()A.A∈l,l∉αB.A∈l,l⊄αC.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α4.三点可确定平面的个数是()A.0 B.1 C.2 D.1或无数个5.如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点6.看图填空:(1)AC∩BD=________. (2)平面AB1∩平面A1C1=________.(3)平面A1C1CA∩平面AC=________.(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________.(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=________.(6)A1B1∩B1B∩B1C1=________.7.求证:一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面.8.三个平面α、β、γ两两相交,交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,已知直线a和b不平行.求证:a、b、c三条直线必过同一点.(二)空间中直线与直线之间的位置关系知识梳理1.异面直线(1)概念:不同在___任何一个___平面内的两条直线叫做异面直线.(2)图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.2.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内,__有且只有__一个公共点.(2)平行直线——同一平面内,__没有___公共点.(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.注:(1)若无特别说明,书中的两条直线均指不重合的两条直线.(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3.公理44.等角定理5.两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角α的范围:0°<α≤90°.(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.例题精讲【题型一、空间两条直线位置关系的判定】【例1】已知a,b,c是空间三条直线,下面给出四个命题:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c也是异面直线;③如果a,b是相交直线,b,c是相交直线,那么a,c也是相交直线;④如果a,b共面,b,c共面,那么a,c也共面.在上述命题中,正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【方法技巧】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)方法一:证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).【题型二、公理4、等角定理的应用】【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)EF//E1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.【方法技巧】求证两直线平行:一是应用公理4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,是一种常用方法,要充分用好平面几何知识,如有中点时用好中位线性质等;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点.求证角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【题型三、求异面直线所成的角】【例3】如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA 和BC所成角的大小.【方法技巧】1.求异面直线所成的角的一般步骤为:(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.2.求两异面直线所成角的大小.(1)求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.(2)如果求得的角的余弦值为负值的话,这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角,所以在指明所求角的时候,应该说“这个角或其补角”即为所求的角.特别提醒:两条异面直线所成角的范围:(0,2π].巩固训练1.不平行的两条直线的位置关系是( ) A .相交B .异面C .平行D .相交或异面2.如果两条直线a 和b 没有公共点,那么a 和b ( ) A .共面B .平行C .异面D .平行或异面3.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系( ) A .平行B .相交C .异面D .不确定4.已知∠ABC =120°,异面直线MN 、PQ 其中MN ∥AB ,PQ ∥BC ,则异面直线MN 与PQ 所成的角为( ) A .60°B .120°C .60°或120°D .30°5.在空间四边形ABCD 中,如图所示,AB AE =AD AH ,CB CF =CD CG,则EH 与FG 的位置关系是________.6.如图所示,在正方体ABCD -A′B′C′D′中,E 、F 、E′、F′分别是AB 、BC 、A′B′、B′C′的中点,求证:EE′∥FF′.(三)空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系知识梳理1.空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系:有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点;②直线与平面相交——有且只有一个公共点;③直线与平面平行——没有公共点.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.(2)符号表示:直线l在平面α内,记为 l⊂α;直线l与平面α相交于点M,记为_l∩α=M_;直线l与平面α平行,记为l∥α .(3)图示:直线l在平面α内,如图a所示;直线l与平面α相交于点M,如图b所示;直线l与平面α平行,如图c所示.2.两个平面之间的位置关系(1)位置关系:有且只有两种①两个平面平行——没有公共点;②两个平面相交——有一条公共直线.(2)符号表示:两个平面α,β平行,记为α∥β;两个平面α,β相交于直线l,记为α∩β=l.(3)图示:两个平面α,β平行,如图a所示;两个平面α,β相交于直线l,如图b所示.例题精讲【题型一、直线与平面的位置关系】【例1】下列五个命题中正确命题的个数是( )①如果a、b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α 内的任何一条直线平行;③如果直线a、b满足a∥α,b∥α,那么a∥b;④如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;⑤如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.A.0 B.1 C.2 D.3【方法技巧】直线与平面位置关系的判断:(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.例题精讲【题型二、平面与平面之间的位置关系】【例2】α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是( )A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【方法技巧】判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于空间想象能力,确定平面间的位置关系.例题精讲【题型三、用反证法证明线面关系】【例3】已知:直线a∥b,a∩平面α=P.求证:直线b与平面α相交.【方法技巧】到目前为止,我们认识了线线关系、线面关系和面面关系,但是我们只知道定义,没有充足的公理、定理可用,所以在证明有些结论时可以利用反证法.应用反证法证题时,要全面考虑反面的各种情况,逐一推出矛盾进行排除,具体步骤为:(1)假设结论不成立;(2)归谬;(3)否定假设,肯定结论.巩固训练1.圆柱的两个底面的位置关系是( )A.相交B.平行 C.平行或异面 D.相交或异面2.直线a与平面α平行,直线b⊂α,则a与b的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.异面D.平行或异面3.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.唯一一条直线不相交 B.仅两条相交直线不相交C.仅与一组平行直线不相交 D.任意一条直线都不相交4.下列四个命题中假命题的个数是( )①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行②两条直线没有公共点,则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.A.4 B.3 C.2 D.15.如图所示,A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系?6.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其它面之间有什么位置关系?课后作业【基础巩固】1.如图所示,下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α2.异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线3.a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l必定()A.与a,b都相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b之一相交D.至多与a,b之一相交4.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为() A.30°B.45°C.60°D.90°5.三棱台ABC-A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是() A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内6.平面α∥平面β,直线a∥α,则()A.a∥βB.a在面β上C.a与β相交D.a∥β或a⊂β7.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:(1)点C与平面β:________. (2)点A与平面α:________. (3)直线AB与平面α:________.(4)直线CD与平面α:________. (5)平面α与平面β:________.8.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线________上.(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线________上.9.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB 所成的角.10.如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,试判断(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系?(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系?(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?【能力提升】1.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.2.如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=2,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.。

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