计算机控制系统数学描述资料
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
计算机控制系统复习资料(精简版 列出重点知识点)
第一章概论，讲述计算机控制系统的发展过程；计算机控制系统在日常生活和科学研究中的意义；计算机控制系统的组成及工作原理；计算机控制的特点、优点和问题；与模拟控制系统的不同之处；计算机控制系统的设计与实现问题以及计算机控制系统的性能指标。
1.计算机控制系统与连续模拟系统类似，主要的差别是用计算机系统取代了模拟控制器。
2.计算机系统主要包括：．A／D转换器，将连续模拟信号转换为断续的数字二进制信号，送入计算机；．D／A转换器，将计算机产生的数字指令信号转换为连续模拟信号(直流电压)并送给直流电机的放大部件；．数字计算机(包括硬件及相应软件)，实现信号的转换处理以及工作状态的逻辑管理，按给定的算法程序产生相应的控制指令。
3.计算机控制系统的控制过程可以归结为：．实时数据采集，即A/D变换器对反馈信号及指令信号的瞬时值进行检测和输入；．实时决策，即计算机按给定算法，依采集的信息进行控制行为的决策，生成控制指令；．实时控制，即D/A变换器根据决策结果，适时地向被控对象输出控制信号。
4.计算机控制系统就是利用计算机来实现生产过程自动控制的系统。
5.自动控制，是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。
6.计算机控制系统的特性系统规模有大有小系统类型多种多样系统造价有高有低计算机控制系统不断推陈出新7.按功能分类1)数据处理系统2)直接数字控制（DDC）3)监督控制（SCC）4)分散型控制5)现场总线控制系统按控制规律分类1)程序和顺序控制2)比例积分微分控制（PID）3)有限拍控制4)复杂控制5)智能控制按控制方式分类1)开环控制2)闭环控制9.计算机控制系统的结构和组成控制算法软件网络硬件11.硬件平台运算处理与存储部分：CPU，存储器（RAM，ROM，EPROM，FLASH-ROM，EEPROM以及磁盘等），时钟，中断，译码，总线驱动等。
输入输出接口部分：各种信号（模拟量，开关量，脉冲量等）的锁存、转换、滤波，调理和接线，以及串行通讯等。
计算机控制系统：计算机控制系统数学描述与性能分析习题与答案
一、多选题1、系统暂态主能指标包括（）A.调节时间B.上升时间C.阻尼比D.峰值时间正确答案：A、B、D2、减小或消除系统的稳态误差方法有（）A.采用串级控制抑制内回路扰动。
B.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。
C.增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。
D.采用反馈补偿法。
正确答案：A、B、C3、系统常规的性能指标有（）A.稳定性指标B.暂态指标C.系统的抗干扰指标D.稳态指标正确答案：A、B、C、D4、判断连续系统稳定的频率域方法有（）A.劳斯判据B.根轨迹方法C.奈奎斯特判据D.波特图法正确答案：C、D二、判断题1、稳态误差与系统的结构和参考输入无关。
（）正确答案：×2、一个系统稳定是指该系统在平衡状态下，受到外部扰动作用而偏离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统不能够回到原来的平衡状态。
（）正确答案：×3、线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，而与系统外部输入信号的有无和强弱有关。
（）正确答案：×三、填空题1、系统的类型的作用：系统的类型数将决定系统有无_______。
正确答案：稳态误差2、已知闭环系统的特征方程45z3−117z2+119z−39=0，该系统_______。
（不稳定/稳定）正确答案：不稳定3、_______指系统过渡过程结束到达稳态以后，系统参考输入与系统输出之间的偏差。
正确答案：稳态误差4、已知闭环系统的特征方程z3−1.001z2+0.3356z+0.00535=0，该系统_______。
（不稳定/稳定）正确答案：稳定。
第三章 计算机控制系统的数学描述2差分方程
脉冲传递函数 G(z) 的求法：
·对 G(s) 做拉氏反变换 g(t) ? L?1?G(s)?，求得脉冲响应。
·对 g(t) 响应）。
采样，求得采样信号 g*(t) （离散系统脉冲 ? g * (t ) ? ? g ( kT )? (t ? kT ) k?0
（1）迭代法 若看作数学问题求解，需考虑初始条件。 例3.8 已知差分方程为
y(k) ? y(k ?1)? r(k) ? 2r(k ? 2)
设初始条件 y(0) ? 2 ，求 y(k) 。 解： 将差分方程式写成递推形式
y(k) ? r(k) ? 2r(k? 2)? y(k?1)
令 k?1 ，则 y(1)? r(1)? 2r(?1)? y(0)
·对采样信号 g*(t) 进行拉氏变换，得 G(z)
?
G (z) ? L?g * (t)?? ? g (kT )z? k k? ? 0
G ( z) ? Z ?g (t ) ?? ? g ( kT ) z ? k k?0
G ( z ) ? Z ?G ( s ) ?
以上3式均可通用。
2、差分方程与脉冲传递函数 已知差分方程为
如果差分方程为
y(k) ? a1y(k ? 1) ? ???? an y(k ? n) ? b0r (k) ? b1r (k ? 1)? ??? bmr (k ? m)
n
m
y(k) ? ? ai y(k ? i) ? ? b jr (k ? j)
i?1
j?0
n
m
? ? Y(z) ? ai z?iY(z) ? b j z? jR(z)
i?1
j? 0
计算机控制系统(1)
计算机控制系统席爱民编著第1章绪论1.1 概述可以这样说，没有计算机的参与，现代化的自动化系统是不可能实现的。
随着微电子学、计算机技术革命性的发展，当今所构成的自动控制系统都是建立在计算机基础之上的。
要获得比模拟控制系统更好的控制性能，使控制系统具备新的功能，只有使用计算机控制系统。
计算机具有信息储存记忆、逻辑判断推理和快速数值计算功能，是一种强大的信息处理工具，其应用己经渗透到人类活动的各个领域，强有力地推动着技术与科学的全面进步。
随着计算机技术的迅猛发展，计算机在工业控制中的应用也越来越广泛。
如今计算机控制已广泛应用于各行各业技术工程和各类工业生产制造过程的控制中。
学习本书的目的：本书将侧重系统讲述有关计算机控制系统的分析及设计的基本理论和方法，以及一些较为实用的计算机先进控制算法。
实际上目前全部的控制系统都是基于计算机控制，因此懂得计算机控制是很重要的。
如果将计算机控制系统仅仅看作模拟控制系统的近似是很不够的。
因为那是没有看到计算机控制的全部潜在能力。
很好地掌握计算机控制系统，就能够充分发挥计算机控制的全部潜能。
计算机控制系统存在着一些模拟控制系统所没有的相应现象，本书的主要目标就提供了解、分析和设计计算机控制系统扎实的基础理论知识，这对于从事控制系统方面的工程技术人员来说是很重要的。
本章概述：计算机控制系统的组成、类型、特点、任务以及计算机控制的发展概况及趋势；了解过程自动化的任务，进一步明确计算机控制系统的类型、特点。
1.1.1计算机控制系统典型计算机反馈控制系统如图1.1所示。
系统中存在着两种截然不同的信号，即模拟连续信号及数字离散信号。
因而对于计算机控制系统的分析和设计就不能完全采用连续控制理论，需要有相应的离散控制理论与之相适应。
不同类型信号混合的分析有时是困难的，然而，在大多数的情况下，描述系统在采样点上的表现就足够了。
1.1.2计算机控制系统组成计算机控制系统是由硬件和软件两部分组成的。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
Z变换
f (t) 2t 9*1(t) 20* 2t
8
如果不能分解为分母上带z的形式，利用
F1(z)
A1z A2 z z z1 z z2
L
An z z zn
F(z)z
或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k） 得到的f（k）=f1（k-1） 例： F(z) 1 表中没有
当z趋于无穷时，两边取极限，z ，z-10 上式成立
12
四、终值定理
lim f (kT ) lim(1 z1)F(z)
k
z1
终值定理成立的条件:
(1 z在1)F单(z位) 圆上和圆外没有极点，f（k）收敛
例： F(z) z , f (k) 发2散k , ，k不能使用终值定理
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
2 6 1)2
z
的Z反变换
解：
F (z) 2 z 9 z 20 z (z 1)2 z 1 z 2
(F(z)无重根) F(z)分母上往往有z, 对应查表方便
2t /T
9 *1(t )
20* 2t /T
f (k) 2k 9*1(k) 20* 2k , k 0,1, 2L
C(z) R(z)
bj z j
j0
n
1 ai zi
脉冲传递函数
n
i0
(z) 1 ai zi 为该系统的特征多项式
18
i 1
3 开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关） 一、采样系统中连续部分的结构形式
图（a）—连续输入,连续输出 C(s) G(s)R(s) 图（b）—连续输入,采样输出 C *(s) [G(s)R(s)]*
基于MATLAB的控制系统数学建模
频率响应与传递函数
系统的频率响应反映了系统对不同频率输入信号的响应能力，传 递函数描述了系统输入输出之间的数学关系。
频域性能指标
包括幅值裕度、相位裕度、谐振频率等，用于评价系统的稳定性 和性能。
利用MATLAB进行频域分析
01
MATLAB频域分析 工具箱
习等功能，提高系统的性能和稳定性。
绿色环保
未来控制系统将更加注重绿色环保，采用 更加高效、节能的技术和设备，减少对环
境的影响。
多领域融合
控制系统将与其他领域进行更多的交叉融 合，如计算机科学、机械工程、电子工程 等，形成更加综合的学科体系。
远程控制和自动化
随着互联网和物联网技术的普及，远程控 制和自动化将成为控制系统的重要发展方 向，提高生产效率和便利性。
实例分析：典型环节传递函数建模
一阶惯性环节
传递函数为`1/(T*s+1)`，其中`T`为时间常数，`s`为复频率。 在MATLAB中可表示为`sys = tf([1], [T, 1])`。
二阶振荡环节
传递函数为`1/(s^2/ωn^2+2ζs/ωn+1)`，其中`ωn`为自然频率，`ζ`为阻 尼比。在MATLAB中可表示为`sys = tf([1], [1/ωn^2, 2ζ/ωn, 1])`。
数学模型描述方法
微分方程法
通过列写系统或元件的微分方程来描述系统的动态特性，适用于线 性定常系统、非线性系统以及时变系统。
传递函数法
在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯 变换之比，适用于线性定常系统。
状态空间法
以系统的状态变量为基础，通过状态方程和输出方程来描述系统的动 态特性，适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变系统。
计算机控制系统概述课件
02
计算机控制系统硬件
输入输出接口
输入接口
负责将外部设备或传感器产生的 信号传输给计算机，例如键盘、 鼠标、触摸屏等。
输出接口
将计算机处理后的信号传输给外 部设备或执行机构，例如显示器 、打印机、伺服电机等。
控制器
01
控制器是计算机控制系统的核心 ，负责协调各个硬件设备的工作 ，根据程序指令对输入信号进行 处理并输出控制信号。
05
计算机控制系统发展趋势与挑战
网络化与智能化
总结词
随着物联网、云计算和大数据等技术的发展 ，计算机控制系统正朝着网络化和智能化方 向发展，以提高系统的实时性、可靠性和自 适应性。
详细描述
网络化使得计算机控制系统能够实现远程监 控、数据共享和协同工作，提高了系统的可 扩展性和灵活性。智能化则通过引入人工智 能、机器学习等技术，使系统能够自主决策
THANKS
感谢观看
智能家居
总结词
智能家居是计算机控制系统在家庭生活中的 应用，通过智能化控制家电设备，提高生活 便利性和舒适度。
详细描述
智能家居利用计算机控制系统实现对家电设 备的智能化控制。通过中央控制器或智能音 箱等设备，用户可以远程控制家电设备的开 关、调节温度、照明亮度等，实现智能化生 活。这不仅提高了生活便利性，还能有效节 约能源，降低能源消耗。
计算机控制系统概述课件
目录
• 计算机控制系统简介 • 计算机控制系统硬件 • 计算机控制系统软件 • 计算机控制系统应用领域 • 计算机控制系统发展趋势与挑战
01
计算机控制系统简介
定义与组成
总结词
计算机控制系统是由计算机和被控对 象组成的整体，通过计算机对被控对 象进行自动控制。
计算机控制系统---第三章
的z变换。
解：
另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论
利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分 分式展开
已知
，通过部分分式展开法求F(z) 。
MATLAB程序：
F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义
即得到
3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出
根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。
G(z)
Z
1
esT s
G1(s)G2 (s)
R(s)单独作用时的 系统输出[N(s)=0]
干扰单独作用时的 系统输出[R(s)=0]
共同作用时的系 统输出
图3-13 有干扰时的计算机控制系统
图3-10采样控制系统典型结构
一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：
C(z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函 数
1. 数字部分的脉冲传递函数
控制算法，通常有以下两种形式：
差分方程
脉冲传递函数D(z)
(z变换法)
连续传递函数
2. 由脉冲传递函数求差分方程
z反变换
z反变换
3.4.1 环节串联连接的等效变换
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
第三章_计算机控制系统的数学描述2(差分方程_脉冲传递函数)
对第1种情况：
Y1 ( z ) R( z )G1 ( z ) Y ( z ) Y1 ( z )G2 ( z ) Y ( z) R( z)G1 ( z)G2 ( z)
Y1 (s) G1 (s) R( z ) Y (s) Y1 ( z) G2 ( s) Y1* (s) R( z )G1* (s) * * Y (s) Y1 ( z) G2 ( s)
y (k ) ai y (k i ) b j r (k j )
i 1 n j 0 n m
Y ( z ) ai z iY ( z ) b j z j R( z )
i 1 j 0
m
Y ( z) G( z) R( z )
m
1 ai z i
1 eTs G p (s) 1 G ( z ) Z G ( s ) Z G p (s) (1 z ) Z s s
什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号， 如图3.6所示。
us (t )
T
o
t
o
t
us (t T )
§3.2 差分方程
连续系统的动态过程，用微分方程来描述； 离散系统的动态过程，用差分方程来描述。
1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初 始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为
Y ( z ) b0 b1 z 1 b1 z 2 bm z m R( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
y(k ) y(k 1) r (k ) 2r (k 2)
设初始条件 y(0) 2 ，求
计算机控制系统
（1） 信号变换与分析
计算机控制系统是模拟部件和数字部件共存的混合系统， 系统中除有连续（模拟）信号外，还有离散模拟信号、 数字信号等，是一种混合信号系统。因此，在计算机控 制系统中，信号变换在所难免。信号的变换具有怎样的 特性，这些特性对系统性能有哪些影响等等，这些问题 成为计算机控制系统特有的、必须面对和解决的问题， 也是计算机控制系统分析和设计的基础。
种是在离散域内进行的设计方法。
1.4 本课程的讲授思路
系统工程 实现
控制器在理论上完成设计后，还有工程上的实现问题。 实际上，计算机控制系统的工程实现包括多个方面，如 计算机硬件系统（包括输入、输出通道）、执行机构与 测量设备、数字控制器的编程等，这里主要讲述数字控 制器工程实现中的一些关键技术，如数字信号的量化效 应分析，数字控制器中计算误差的处理、微分环节的工
模块3-计算机控制系统数学描述与性能分析 ——系统建模与分析
模块4-数字控制器的模拟化设计方法 控制器设计 模块5-数字控制器的直接设计方法
模块6-数字控制器实现中的关键技术 ——工程实现技术
计算机控制系统
教学模块1计算机控制系统 导学与概述
东北大学·刘建昌
liujianchang@
本课程将在教学模块 2 中讲述计算机控制系统的信号变 换与分析问题，其中信号变换的采样、量化和信号恢复 对系统性能有重要影响，是该模块的重点内容。
（2）系统建模与性能分析
使用时域的差分方程、复数域的z变换和脉冲传递函 数、频域的频率特性以及离散状态空间方程作为系
统数学描述（系统建模）的基本工具。任何控制系
过渡过程时间等）。
1.4 本课程的讲授思路
数字控制 器设计
基于被控对象的模型和控制系统的性能指标，就可以进
计算机控制系统总结
什么是采样定理？其物理意义是什么
如果一个连续信号不包含高于频率 的频率分量，连续信号中所包含频率分量的最高频率为 ，那么就完全可以用周期T< 的均匀采样值来描述，或者说，如果采样频率 2 ，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号。
如果选用的采样频率 ，对连续信号中所包含的最高频率的正玄分量来讲，能够做到在一个振荡周期内采样两次以上，那么经采样所得的脉冲序列，就包含了连续信号的全部信息，如采样次数太少，采样所得的脉冲序列就不能无失真地反映连续信号的特性。
8执行器分为哪些类，电动执行器的输入信号范围是多大？
执行器分为电动执行器、气动执行器和液动执行器。
电动执行器的输入信号范围是：连续信号为0-10mA或4-20mA
9传感器分为哪些类？
温度传感器、压力传感器、流量传感器、液面传感器、力传感器
10简述数字调节器及输入输出通道的结构和信息传递过程，并画出示意图？
前置滤波器的主要作用是什么？
前置滤波器是串在采样开关前的模拟低通滤波器，主要作用是防止采样信号产生频谱混叠，因此又称为抗混叠滤波器。
什么是信号恢复？信号恢复的过程是怎么的？
指将采样信号还原成连续信号的问题.
信号恢复的过程，从时域来说，就是要由离散的采样值求出所对应的连续时间函数，从频率上说，就是要出去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。
数字调节器以数字计算机为核心，控制规律由编制的计算机程序实现。输入通道包括多路开关、模-数转换器、采样保持器，输出通道包括模-数转换器、保持器。
传递过程：连续信号由多路开关采样保持器将模拟信号转为离散信号，离散信号由模-数转换器转变为数字信号，数字信号由数字调节器进行调节，调节的数字信号由数-模转换器变为离散模拟信号，离散模拟信号由保持其转换为模拟信号。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
自动控制原理-第10章 计算机控制系统
第10章计算机控制系统从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。
当控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。
离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统两种类型。
如果系统中的离散信号是由采样器经采样获得的脉冲序列，则这样的离散系统就是采样控制系统；如果离散信号是由数字元件产生的数字序列，则这样的离散系统就是数字控制系统。
一般来说，在采样控制系统中，控制器信号是离散的脉冲序列，而受控对象信号是连续的模拟信号。
因此，在这类系统中，必然存在着从连续模拟信号到离散脉冲信号和从离散脉冲信号到连续模拟信号的变换过程。
从连续模拟信号到离散脉冲序列信号的变换过程称为信号的采样过程，简称采样，实现采样的元件称为采样器或采样开关。
从离散脉冲信号到连续模拟信号的变换过程称为信号的复现过程，信号的复现过程是由被称为保持器的元件完成的。
数字控制系统是以计算机为控制器的闭环控制系统，又称为计算控制系统。
在数字控制系统中，控制器信号是离散的数字序列，而受控对象信号是连续的模拟信号。
因此，在这类系统中，必然存在着从连续模拟信号到离散数字信号和从离散数字信号到连续模拟信号的变换过程。
从连续模拟信号到离散数字信号的转换过程称为模/数（A/D）转换，用A/D转换器完成。
从离散数字信号到连续模拟信号的变换过程称为数/模（D/A）转换，用D/A转换器完成。
离散系统与连续系统相比，有许多分析研究方面的相似性。
利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。
本章首先给出线性离散控制系统的组成、信号采样和保持、离散系统的数学描述，然后介绍z变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。
计算机控制系统 数学描述及脉冲传递函数
i 0
bi x (k i ) a i y(k i )
i 1
m
n
3. 由微分导出差分dy( t ) y (t ) y( kT ) y( kT T ) y (t ) (1)一阶差分： t dt T
例：一阶微分方程： T0 y ( t ) y( t ) ax( t ) 对应的一阶差分方程：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0 x(k ) b1 x(k 1) bm x(k m)
y (k )
2. 离散系统差分方程形式
注意：n 阶； n-m=d,输出相对于输入有d拍延迟。 后向差分与前向差分。 物理意义：采样系统某时刻的输出值， 由当前与过去时刻的输入值及过去时刻的 输出值共同决定。
C ( z) G( z) R( z )
1 ai z i
i 0
n
C ( z ) ai z C ( z ) b j z j R( z )
i i 1 j 0
n
m
Z反变换
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
i 1 j 0
2. 迭代法 已知x(kT)和初值y(0)，令k=1,2,3…,逐步求出 各采样时刻的输出序列y(T), y(2T)，… . 例：教材例4.2
y (k ) y (k 1) x (k ) x (k 1) 1 x( k ) 0 k 为偶数 k 为奇数
y(-1)=x(-1)=0
复习：1.Z变换的定义
2.滞后定理： 3. 超前定理
Y ( z ) Z[ y ( t )]
k y ( kT ) z k 0
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1、香农采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续
信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最
高频率的两倍，即
s
2
T
2max
或
T 2
2 max
5
信号的采样与复现
2、保持器
保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。
理想滤波器的滤波特性为
G( j)
1 s /2
0 s /2
G( j)
其频率特性为：
1 z1 z2 ... zk ...
1
z
级数求和，得 1 z1 z 1
13
z变换与z反变换
例2: 求 f ( t ) eat 的z 变换。
解 :F( z ) eakT zk k 0
1 eaT z1 e2aT z2 ... eakT zk ...
级数求和，得
eaT z1 1
fh(t)
f*(t) Gh (s) fh (t) 1 t
fh (t)的数学表达式为：
fh (t) 1(t) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为：
T fh(t)
1 T
Gh
(s)
1 s
eTs s
1 eTs s
-1
8
信号的采样与复现
5、零阶保持器的频率特性为
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
T
j T
e 2
e
z反变换只能给出采样信号 f (t) ，
而不能给出连续信号 f (t) 。
19
z变换与z反变换
1、长除法
若z变换函数 F(是z)复变量z的有理函数，则可将其展
成 的无z穷1 级数，即
F(
z
)]
b0 z m a0 z n
b1z m1 a1z n1
... ...
bm an
f0 f1z1 f2 z2 ... fk zk ...
其对应的时间函数为
f (t) 1 [1 eat ]
则
a
F(z) 1 [ z z ]
z(1 eaT )
a z 1 z eaT
a[ z 2
(1
e aT
)z
e aT 16
]
z变换与z反变换
三、z变换的基本定理
1、 线性定理
Za1x1( t ) a2x2( t ) a1X1( z ) a1X1( z )
计算机控制系统的 数学描述
1
计算机控制系统的分析方法
系统建模 Z变换 Z反变换
实际离散控制系统 差分方程
脉冲传递函数 求脉冲响应
分析暂态特性
分析稳定性
求稳态误差
2
信号的采样与复现
一、 信号的采样
在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采 样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置。
f(t)
10
、 一 Z变换的定义
z变换与z反变换
f(t)
采样
f * ( t ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
离散Laplace变换
F * ( s ) L[ f *( t )] f ( kT )ekTs k 0
由此可看出 F(z) 是关于复变量z 的幂级数 。
令 z eTs
F( z ) f ( kT )zk
lim f ( t ) lim f ( nT ) lim( z 1)F( z )
t
n
z1
5、复数位移定理
18
z变换与z反变换 四、z反变换
z 反变换是 z 变换的逆运算。其目的是由 像函数 F(z)求出所对应的采样脉冲序列 （ 或 f (t) ），记作 f (nT)
Z 1[ F( z )] f *( t )
j T 2
j T
e 2 2j
sin T
T
2
T
j T
e2
2
2
幅频特性的幅值随频率ω
的增大而衰减，具有明
显低通滤波特性。
零阶保持器不是一
个理想的低通滤波器，
它除了允许主频谱通过
外，还允许部分高频频
谱通过。
9
信号的采样与复现
采用零阶保持器还将产 生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。将阶 梯信号的中点连接起来形 成的虚线的形状与原连续 信号f(t) 相同，相位滞后 T/2 ，该曲线的数字表达式 为f (t-T/2)。与其他各阶保 持器相比，零阶保持器产 生的相位滞后最小。
0 T 2T 3T
kT
f（kT）表示采样脉冲的幅值，z的幂次表示该采样 脉冲出现的时刻，它包含着量值与时间的概念。 12
z变换与z反变换
二、z变换的求法
1、级数求和法
例1: 求单位阶跃函数1（t）的 z 变换 F( z ) f ( kT )zk
解:
0
F( z ) 1( kT )zk
k 0
- s
2
s
6
2
信号的采样与复现
3、 零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的 采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。
采样开关
保持器
f(t)
f*(t) Gh(s)
fh(t)
T
0 T 3T 5T 7T
t7
信号的采样与复现
4、零阶保持器的传递函数
f*(t)
1 t
脉冲输入 零阶保持器
f *( t ) f0( t ) f1( t T ) f2( t 2T ) ... fk( t kT ) ...
20
z变换与z反变换
2、部分分式法
k 0
11
Z变换的物理意义
f *(t) f (0) f (T) (t T) f (2T) (t 2T) ... f (kT) (t kT) ...
F( z ) f (0 ) f (T )z1 f ( 2T )z2 ... f ( kT )zk ...
f *(t )
... ...
t
采样开关 f*(t)
宽度为
f(t)
f*(t)
t
t
将采样信号用如下数学式子表示
T 采样时间
f * (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k
k
3
f *(t) f (t)T (t)
f (t) (t kT) k
采样信号的调制过程
4
信号的采样与复现
二、信号的复现
1
z
F( z ) 1 eaT z1 z eaT
14
z变换与z反变换
2、部分分式法
利用级数求和公式写成闭合形式，得
15
z变换与z反变换
例3 已知 F (s) 1 ，试求其 z 变换。
s(s a)
解: 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
线性定理说明，各函数线性组合的z变换等于各函数
z变换的线性组合。
2、 延迟定理
Z f ( t kT ) zk F( z )
( t 0时，f ( t ) 0 )
3、 超前定理
k 1
Z f ( t kT ) zk F( z ) zk f ( nT )zn 17
n0
4、 终值定理
z变换与z反变换