计算机控制系统数学描述资料

其对应的时间函数为
f (t) 1 [1 eat ]
则
a
F(z) 1 [ z z ]
z(1 eaT )
a z 1 z eaT
a[ z 2
(1
e aT
)z
e aT 16
]
z变换与z反变换
三、z变换的基本定理
1、 线性定理
Za1x1( t ) a2x2( t ) a1X1( z ) a1X1( z )
计算机控制系统的 数学描述
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计算机控制系统的分析方法
系统建模 Z变换 Z反变换
实际离散控制系统 差分方程
脉冲传递函数 求脉冲响应
分析暂态特性
分析稳定性
求稳态误差
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信号的采样与复现
一、 信号的采样
在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采 样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置。
f(t)
线性定理说明，各函数线性组合的z变换等于各函数
z变换的线性组合。
2、 延迟定理
Z f ( t kT ) zk F( z )
( t 0时，f ( t ) 0 )
3、 超前定理
k 1
Z f ( t kT ) zk F( z ) zk f ( nT )zn 17
n0
4、 终值定理
z变换与z反变换
1、香农采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续
信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最
高频率的两倍，即
s
2
T
2max
或
T 2
2 max
5
信号的采样与复现
2、保持器
保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。
理想滤波器的滤波特性为
G( j)
1 s /2
0 s /2
G( j)
其频率特性为：
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、 一 Z变换的定义
z变换与z反变换
f(t)
采样
f * ( t ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
离散Laplace变换
F * ( s ) L[ f *( t )] f ( kT )ekTs k 0
由此可看出 F(z) 是关于复变量z 的幂级数 。
令 z eTs
F( z ) f ( kT )zk
0 T 2T 3T
kT
f（kT）表示采样脉冲的幅值，z的幂次表示该采样 脉冲出现的时刻，它包含着量值与时间的概念。 12
z变换与z反变换
二、z变换的求法
1、级数求和法
例1: 求单位阶跃函数1（t）的 z 变换 F( z ) f ( kT )zk
解:
k 0
F( z ) 1( kT )zk
k 0
1
z
F( z ) 1 eaT z1 z eaT
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z变换与z反变换
2、部分分式法
利用级数求和公式写成闭合形式，得
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z变换与z反变换
例3 已知 F (s) 1 ，试求其 z 变换。
s(s a)
解: 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
z反变换只能给出采样信号 f (t) ，
而不能给出连续信号 f (t) 。
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z变换与z反变换
1、长除法
若z变换函数 F(是z)复变量z的有理函数，则可将其展
成 的无z穷1 级数，即
F(
z
)]
b0 z m a0 z n
b1z m1 a1z n1
... ...
bm an
f0 f1z1 f2 z2 ... fk zk ...
f *( t ) f0( t ) f1( t T ) f2( t 2T ) ... fk( t kT ) ...
20
z变换与z反变换
2、部分分式法
1 z1 z2 ... zk ...
1
z
级数求和，得 1 z1 z 1
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z变换与z反变换
例2: 求 f ( t ) eat 的z 变换。
解 :F( z ) eakT zk k 0
1 eaT z1 e2aT z2 ... eakT zk ...
级数求和，得
eaT z1 1
j T 2
j T
e 2 2j
sin T
T
2
T
j T
e2
2
2
幅频特性的幅值随频率ω
的增大而衰减，具有明
显低通滤波特性。
零阶保持器不是一
个理想的低通滤波器，
它除了允许主频谱通过
外，还允许部分高频频
谱通过。
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信号的采样与复现
采用零阶保持器还将产 生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。将阶 梯信号的中点连接起来形 成的虚线的形状与原连续 信号f(t) 相同，相位滞后 T/2 ，该曲线的数字表达式 为f (t-T/2)。与其他各阶保 持器相比，零阶保持器产 生的相位滞后最小。
采样开关 f*(t)
宽度为
f(t)
f*(t)
t
t
将采样信号用如下数学式子表示
T 采样时间
f * (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k
k
3
f *(t) f (t)T (t)
f (t) (t kT) k
采样信号的调制过程
4
信号的采样与复现
二、信号的复现
fh(t)
f*(t) Gh (s) fh (t) 1 t
fh (t)的数学表达式为：
fh (t) 1(t) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为：
T fh(t)
1 T
Gh
(s)
1 s
eTs s
1 eTs s
-1
8
信号的采样与复现
5、零阶保持器的频率特性为
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
T
j T
e 2
e
- s
2
s
6
2
信号的采样与复现
3、 零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的 采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。
采样开关
保持器
f(t)
f*(t) Gh(s)
fh(t)
T
0 T 3T 5T 7T
t7
信号的采样与复现
4、零阶保持器的传递函数
f*(t)
1 t
脉冲输入 零阶保持器
k 0
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Z变换的物理意义
f *(t) f (0) f (T) (t T) f (2T) (t 2T) ... f (kT) (t kT) ...
F( z ) f (0 ) f (T )z1 f ( 2T )z2 ... f ( kT )zk ...
f *(t )
... ...
t
lim f ( t ) lim f ( nT ) lim( z 1)F( z )
t
n
z1
5、复数位移定理
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z变换Leabharlann Baiduz反变换 四、z反变换
z 反变换是 z 变换的逆运算。其目的是由 像函数 F(z)求出所对应的采样脉冲序列 （ 或 f (t) ），记作 f (nT)
Z 1[ F( z )] f *( t )