00,01,02,04,05,06.07,08年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

1. 已知m,n 为整数，方程2(2)1180x n n x m +--++=有两个不相等的实数根,方程

2(6)1370x n n x m +--+-=有两个相等的实数根.求n 的最小值，并说明理由。

2.已知M 、N 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 上，且MN=AN ，过A 作BM 的垂线，垂足为P 。求证：∠APN=∠BNC

3.设N 是正整数，如果存在大于1的正整数k ，使得N-2

)1(-k k 是k 的正整数倍，则N 称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

4.给定四个命题：

（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x 2-8x+6的最小值为 –10；

（3）3441a a a -=-；（4）若101055

x x x x --=--，则 x=10.其中错误的是 。 5.如图，△ABC 中，AD 和BE 相交于F ，已知△AFB 的面积=12平方厘米，△BFD 的

面积=9平方厘米，△AFE 的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF 的面积等于 平方厘米。

6.在△ABC 中，AB=63-，BC=2，△ABC 的面积为1，若∠B 是锐角，则∠C 的

度数是 。

7.某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每

吨 元。

8.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y ）的个数是 。

9.函数y=x 2-3|x|+7的图象与函数y= x 2-3x+| x 2-3x |+6的图象的交点个数是 .

10. 已知抛物线y= x 2+(k+1)x+1与x 轴的两个交点A,B 不全在原点左侧，抛物线的顶

点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为 .

八．如图，已知AB 是圆O 的直径，PQ 是圆O 的弦，PQ 与AB 不平行，R 是PQ 的中点。作PS ⊥AB,QT ⊥AB,垂足分别为S,T(S ≠T)，并且∠SRT=60，则

PQ AB 的值等于 . 11.满足方程 222251313x x x x x x ++++=-+的实数x 的值是 .

12.在四边形ABCD 中，边AB=x ，BC=CD=4, DA=5,它的对角线AC=y ，其中x,y 都是整数，∠BAC=∠DAC,那么，x= .

1.在锐角ΔABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，DE ⊥AC ，E 为垂足，DF ⊥AB ，F 为垂足。O 为ΔABC 的外心。求证：（1）ΔAEF ～ΔABC ；（2）AO ⊥EF 。

2.给定代数式 –x 3+100x 2+x 中的字母 x 只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值

时， x 的值等于多少？并证明你的结论。

3.（1）证明存在非零整数对（x,y ）, 使代数式 11x 2+5xy+37y 2 的值为完全平方数；

(2) 证明存在六个非零整数a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2, 其中a 1:a 2≠b 1:b 2,使得对于任意自然数n, 当x=a 1n 2+b 1n+c 1,y=a 2n 2+b 2n+c 2 时，代数式 11x 2+5xy+37y 2的值都是完全平方数。 4. 111111235263223526526⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭= 。 5.在长方形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 相交于O ，HC 与EF 相交于I 。已知AH:HB=AE ：ED=m:n, △COI 的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD 的面积等于 平方厘米。

6.将三个数： 315,11,219

+用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是： 。 7.点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C 为直角，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长等于 。

五．已知：x,y,z 是正整数，并且满足

340315

x y x y z x y z -=⎧⎪⎨++=++-+⎪⎩ 那么，x -y +z 的值等于 。

六．已知点D ，E ，F 分别在△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上，G 为BE 与CF 的交点，并且BD=DC=CA=AF ，AE=EC=BF ，那么DG BC

的值等于 。 8.如果满足 ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个，那么实数a 的值等于 。

八．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直角，延长CA 至D ，以AD 为直径作圆，连BD 与圆O 交于点E ，连CE ，CE 的延长线交圆O 于另一点F ，那么BD CF

的值等于 。 9.满足下列两个条件

（1）对所有的自然数，x ，x-2001x+n ≥0;

（2）存在自然数x 0，使x 02-2002 x 0+n<0.

的正整数n 的个数为

10.一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度

都相等，且记为v 千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于2

25v ⎛⎫ ⎪⎝⎭

千米，这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。

1.已知a,b,c 是三个两两不同的奇质数，方程2()(1)52250b c x a x ++++=有两个相等的实数根。（1）求a 的最小值（2）当a 达到最小时，解这个方程

2.设AB,CD 为圆O 的两直径，过B 作PB 垂直AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线PE ，与圆分别交于E,F 两点，连AE,AF 分别与CD 交于G,H 两点（如图），求证：OG=OH.

3.已知a 1,a 2,…,a 2002的值都是+1或-1，设S 是这2002个数的两两乘积之和。

（1）求S 的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；

（2）求S 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件

4.计算：20033-20013-6×20032+24×1001= 。

5.在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ，如果∠A=27°，那么∠BDC= 。

6.已知0≤a-b ≤1,1≤a+b ≤4，那么当a-2b 达到最大值时，8a+2002b 的值等于 。

7.如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于 。

8.方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。

9.如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线2123m m y x x m m m

--=

+-在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为 。

10.方程323(231)330x x x --+++=的三个根分别是 。 11.在Rt △ABC 中，∠A=30°,∠A 的平分线的长为1cm ，那么△ABC 的面积为 。

12.已知：100%-=⨯商品出售价商品成本价商品利润率商品成本价

某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。

十．设计一把直尺ABC ，BC 在地面上，AB 与地面垂直，并且AB=10cm ，移动一个半

径不小于10cm 的圆形轮子，使轮子紧靠A 点，且与BC 相切于D 点（如图）。设计要

求在D 处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC 的长度为

1M 时，BC 上可标出的最大刻度是