第1讲 计算机中的数制及常见的信息编码(1.2节、1.3节)

数的表示及数制转换
各种进位计数制及其表示法
进位计数制就是按进位方法进行计数。 “逢十进一”的十进制计数的特 点： ⑴ 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号表示数，这些符号又叫做 数码。 ⑵ 每个单独的数码表示0～9中的一个数值，但每个数码表示的数值不仅 取决于数码本身，还取决于所处的位置。 例如，数4024中的两个4表示不同的值，可写成多项式的形式： 4×103+0×102+2×101+4×100 上式中的103,102,101,100分别是千位、百位、十位、个位。这“个、十、 百、千……”在数学上称为“权”。 ⑶ 十进制有0到9共十个数码，数码的个数称为基数。十进制的基数是10。 当计数时每一位计到十往上进一位，也就是“逢十进一”。所以基数 就是两相邻数码中高位的权与低位权之比。 ⑷ 任一个十进制数N可表示为： N=±[an-1×10n-1 ＋ an-2×10n-2 ＋ ……+a0×100 ＋ a-1×10-1 ＋ ……+a-m m×10 ] =±∑a i×10i 不难看出上式是一个多项式。式中的m、n是幂指数，均为正整数；ai为系
数的表示及数制转换
各种进位计数制及其表示法
对上面公式推广之，对于任意进位计数制，若基数用R表示，则任意数N可表示为： N=±[an-1×Rn-1＋an-2×Rn-2＋……+a0×R0＋a-1×R-1＋……+a-m×R-m] =±∑ai×Ri 式中m,n的意义同上，ai则为0 、1 、… 、(R-1)中任一个数码，R是基数。 对于二进制，数N可表示为： N=±[an-1×2n-1＋an-2×2n-2＋……+a0×20＋a-1×2-1＋……+a-m×2-m] =±∑ai×2i 基数是2，而数码只有0和1两个，进位为“逢二进一”。 对于八进制，数N可表示为： N=±[an-1×8n-1＋an-2×8n-2＋……+a0×80＋a-1×8-1＋……+a-m×8-m] =±∑ai×8i 基数是8，可用8个数码：0、1、2、3、4、5、6、7，进位为“逢八进一”。 对于十六进制，数N可表示为： N=±[an-1×16n-1＋an-2×16n-2＋……+a0×160＋a-1×16-1＋……+a-m×16-m] =±∑ai×16i 基数是16，可用16个数码：0 、1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 、A 、B 、C 、D 、 E 、F进位为“逢十六进一”。
数的表示及数制转换
二进制数与十六进制数的互换
1位十六进制数与4位二进制数的对应关系：
十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 十六进制数 8 9 A B C D E F 二进制数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
数的表示及数制转换
不同进制数书写时的注意事项 书写时为了区别数制: 1) 在数的右下角注明数制。例如：(1011)2 、(32)8、(7B)16 的下标表示它们的进制。 2) 在数字后面加字母来区别: 加字母B（Binary）表示为二进制数； 以字母O（Octal）表示为八进制数； 以字母D（Decimal）或不加字母表示为十进制数； 用字母H（Hexadecimal）表示为十六进制数。 例如： 1011B表示是二进制数，127H表示是十六进制数。
二进制数与八进制数的互换
1位八进制 数与3位二 进 制数 的对 应 关 系 ：
八进制数 0 1 2 3 二进制数 000 001 010wenku.baidu.com011 八进制数 4 5 6 7 二进制数 100 101 110 111
八进制→二进制：把每个八进制数字改写成等值的3位二进制数， 且保持高低位的次序不变 例： (2467.32)8 → (010 100 110 111 . 011 010)2 二进制→八进制：整数部分从低位向高位每3位用一个等值的八 进制数来替换，不足3位时在高位补0凑满3位；小数部分从高位 向低位每3位用一个等值八进制数来替换，不足3位时在低位补0 凑满三位 例： (1 101 001 110.110 01)2 → (001 101 001 110.110 010)2 → (1516.62)8
数的定点与浮点表示
数学原理 我们知道，用记阶法表示一个实数，需3个部分：
(1) 乘幂中的指数(阶码) ：表示实数中小数点的位置；
(2) 纯小数部分(尾数)：表示实数中的有效数字部分； (3) 数的正负(符号)。
例如：
56.725 = 0.56725×102
-0.0034756 = -0.34756×10－2
数的表示及数制转换
各种进制之间的转换
当两个有理数相等时，其整数部分和小数部分 一定分别相等，这是不同进制数之间转换的依 据。因此，不同进制数之间相互转换时，应将 整数部分和小数部分分开转换。
数的表示及数制转换
十进制数二进制数 转换方法：
2 29 2 2 2 2 14 7 3 1 0 1 0 1 1 1
数的表示及数制转换
二进制数的特点
计算机为什么要采用二进制呢？因为它有如下优点： ⑴ 二进制数只有0、1两个状态，易于实现。例如利用电位的高、低， 脉冲的有、无，指示灯的亮、暗，磁性方向的正反等等，都可以表 示1、0。这种对立的两种状态区别鲜明，容易识别。 ⑵ 二进制的运算规则简单。对于每一位来说每种运算都只有四种规则。 ⑶ 二进制信息的存储和传输可靠。两个稳态很容易识别和区分，所以 工作可靠。 ⑷ 二进制节省设备。从数学上推导，采用R=e≈2.7进位数制实现时最节 省设备，据此，采用三进制是最省设备的，其次是二进制。 ⑸ 二进制可以作为逻辑分析与设计的工具。如果将二进制“0”和“1” 作为真和假来看待，那么可以利用二进制进行逻辑代数运算，从而 进行逻辑分析和设计。 当然，二进制数也有它的缺点。例如，二进制不易被人们熟悉书写起来也 比较长，读起来也不方便。因此，为克服这个问题，又提出了八进制和十 六进制。
从上述可知，一个浮点数是由两个定点数组合而成的。实际地，一个定点 数也可以看成是浮点数的一个特例。即当浮点数的阶数部分为零时（表示 浮点数实际小数点的位置与定点小数约定位置一致），这样浮点数只剩下 尾数部分了。同理，定点数表示法是浮点数表示法的基础，而浮点数表示 法是定点数表示法的应用。它们之间的相互关系，从理论上亦可说明。
小数点位置 符号位
(2) 定点整数：约定小数点位置固定在最低有效位后面，如：
Nf Sn-1 Sn-2 数值部分 符号位 „ S0 小数点位置
注意，当定点数的有效位数确定以后，定点数表示的范围也就确定了。如果一个数 超过了这个范围，这种现象称为溢出。 如果计算机采用定点表示法，那么为了使得计算机能够处理任意数，必须事先将参 加运算的数乘上一个“比例因子”，转化成纯小数或纯整数后才能进行运算。同时， 比例因子还要取得合适，能使参加运算的数、运算的中间结果以及最后结果都能在 该定点数所能表示的数值范围之内。 定点数表示法使计算机只能处理纯整数或纯小数，限制了计算机处理数据的范围。
第1讲 计算机中的数制及常见的信息编码 （1.2节、1.3节）
本讲主要内容
数的表示及数制转换 数的定点与浮点表示 数的码制 二进制数的算术运算 二进制数的逻辑运算 信息在计算机中的编码与表示
数的表示及数制转换
日常生活中是常用的是十进制，但计算机中 使用的是二进制，为了书写和口读方便，还 采用了八进制、十六进制等。 注意：在计算机中所有信息都必须以二进制 形式进行编码。
2
3 4 5 6 7 8 9 A B C
13
1101
15
D
数的定点与浮点表示
在一般书写中，小数点是用记号“.”来表示的，但 在计算机中表示任何信息只能用0或1两种数码，如 果计算机中的小数点用数码表示的话，则无法与二 进制数位区分，所以在计算机中小数点就不能够用 记号表示，那么在计算机中小数点又如何确定呢？ 为了确定小数点的位置，在计算机中，数的表示有 两种方法：定点表示法和浮点表示法。所谓定点与 浮点是指一个数的小数点位置是固定的还是浮动的。
数的定点与浮点表示
定点表示
所谓定点表示法，是指在计算机中所有数的小数点的位置人为约定固定不变。这样， 小数点的位置就不必用记号“.”表示出来了。 一般地，小数点可约定固定在任何数位之后，但常用下列两种形式： (1) 定点纯小数：约定小数点位置固定在在符号位与最高数值位之间，如：
Nf Sn-1 Sn-2 数值部分 „ S0
余数
整数部分：除以2逆序取余
小数部分：乘以2顺序取整 例如： (29.6875)10 (11101.1011)2 注意：
整 数 部 分
低 位
高 位
0.6875 ×2
十进制小数在转换时会出现 二进制无穷小数，这时只能取 近似值(如0.63)。
小 数 部 分
高位
1. 0. 1.
3750 ×2 7500 ×2 5000 ×2 0000
其中：
尾数部分S表示的是浮点数N的全部有效数字，它是一个有符号位的定点小数， 且该符号就是浮点数N的符号，即Nf； 阶数部分P表示的是浮点数N的实际小数点位置与尾数约定的小数点位置之间 的位移量。该位移量P是一个有符号位的定点整数。当阶码符号为正时，表 示小数点向右移动P位；当阶码符号为负时，则表示小数点向左移动P位。因 此，浮点数的小数点随着P的符号和大小而自由浮动。
转换方法：与八、二进制互换的方法类似 例1：(35A2.CF)16 → (11 0101 1010 0010.1100 1111)2 例2：(11 0100 1110.1100 11)2 → (34E.CC)16
数的表示及数制转换
任意进制数之间的转换 任意进制数之间的转换方法： 如果一个R进制数转换为十进制数可以利用多项式展开求 和的计算方法。 如果一个十进制数转换为R进制则要分成整数部分和小数 部分分别转换，其方法是整数部分用“除R取余”，而小 数部分用“乘R取整”来计算。 请思考如何更加有效且可靠地将一个十进制数转换成八进制数 或者十六进制数？
数的定点与浮点表示
浮点表示
在浮点表示法中，小数点的位置是浮动的。为了使小数点可以自由浮动， 浮点数由两部分组成，即尾数部分与阶数部分。浮点数在机器中的表示方 法如下：
Pf Pm-1 Pm-2 „ P0 Sf Sn-1 Sn-2 „ S0
阶码数值部分 阶码符号 尾数小数点位置 阶码小数点位置 尾数数值部分
数的表示及数制转换
常用的十进制数、二进制数、八进制数和十六进制数的转换
十进制 0 1 二进制 0 1 八进制 0 1 十六进制 0 1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100
2
3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
低位
1.
数的表示及数制转换
二进制数十进制数 转换方法： 二进制数的每一位乘以其相应的权值，然后累加即可得 到它的十进制数值 例： (11101.1011)2= 1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20 ＋1×2-1＋0×2-2＋1×2-3＋1×2-4 = (29.6875)10
数的表示及数制转换
与十进制实数一样，二进制实数也可以用记阶法表示。
例如： +1001.011B = + 0.1001011B×2 100
-0.0010101B = -0.10101B×2－10
数的定点与浮点表示
数学原理 可以证明，任一个二进制实数 N 均可表示为： N=± S × 2P 其中，±是数N的符号，P称为N的阶码，用于指明小数点 的位置；S称为N的尾数，用于表示二进制数N的全部有效 数字；2称为阶码的底。此处，P和S都是用二进制表示的 数。同时，在计算机中数的符号也用二进制数码表示。通 常，0表示正，1表示负。 如果阶码取固定值，则称这种表示法为数的定点表示 法，这样的数称为定点数。 如果阶码可以取不同的值，并与尾数一并表示，则称 这种表示法为数的浮点表示法，这样的数称为浮点数。