大学物理学下册答案(北邮大赵近芳)

= 2 πr 2 (1 − cos α )
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 10 −5 C·m
-3
求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 E ⋅ dS =
s
∫
v
v
∑ q , E 4πr
ε0
v
2
=
∑q
ε0
当 r = 5 cm 时，
∑q = 0, E = 0
λRdϕ 方向沿半径向外 4 πε 0 R 2
则 dE x = dE sin ϕ =
λ sin ϕdϕ 4 πε 0 R
−λ cos ϕdϕ 4 πε 0 R
dE y = dE cos(π − ϕ ) =
积分 E x =
∫
π
0
λ λ sin ϕdϕ = 4 πε 0 R 2 πε 0 R
Ey = ∫
解: E =
v
q 4 πε 0 r
2
v r0 仅对点电荷成立，当 r → 0 时，带电体不能再视为点电
荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有 A ， B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ，其带电量分 别为+ q 和- q ．则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f =
2
1 q2 1 cos 30° = 2 4πε 0 a 4 πε 0
qq ′ ( 3 2 a) 3
解得 (2)与三角形边长无关．
q′ = −
3 q 3
题 8-1 图
题 8-2 图
8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电 量，静止时两线夹角为2 θ ٛ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题 8-2 图示
∴
v v v v ρ v v ρ ρd E P = E PO + E PO′ = (r − r ′) = OO' = 3ε 0 3ε 0 3ε 0
∴腔内场强是均匀的． -6 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10 C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×10 N·C 的外电场中，求外电场作用于 电偶极子上的最大力矩．
l
∫
v
∵
dEQy =
λdx 1 2 4 πε 0 x + d 2 2
l
d2 x2 + d2 2
l 2 l − 2
EQy = ∫ dEQy =
d 2λ 4πε 2
∫
dx (x + d )
2 2 2 3 2
=
λl
2 πε 0 l 2 + 4d 2 2
以 λ = 5.0 × 10 −9 C ⋅ cm −1 , l = 15 cm , d 2 = 5 cm 代入得
习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形 的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q ′ 为负电荷
v
Er =
p cosθ p sin θ , Eθ = 3 2πε 0 r 4πε 0 r 3
证: 如题 8-5 所示，将 p 分解为与 r 平行的分量 p sin θ 和垂直于 r 的分量
v
v
v
p sin θ ．
∵
r >> l
∴ 场点 P 在 r 方向场强分量
Er =
垂直于 r 方向，即 θ 方向场强分量
∴ O ′ 点电场
v ρ OO ' E 0′ = 3ε 0
题 8-13 图(a)
题 8-13 图(b)
(3)设空腔任一点 P 相对 O ′ 的位矢为 r ′ ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b) 图) 则
v
v
v v ρr ， E PO = 3ε 0 v v ρr ′ , E PO ′ = − 3ε 0
S
取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2πrl 则 对(1)
r < R1
∑ q = 0, E = 0
(2)
R1 < r < R2
E=
∑ q = lλ
∴
λ 2 πε 0 r
沿径向向外
(3) ∴
r > R2
∑q = 0
E=0
题 8-12 图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 σ 1 和 σ 2 ，
对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 Φ e = 如果它包含 q 所在顶点则 Φ e = 0 ．
如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图
题 8-9(a)图
题 8-9(b)图
题 8-9(c)图
(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 的电通量，球冠面积*
R 2 + x 2 的球冠面
T cos θ = mg ⎧ ⎪ q2 ⎨T sin θ = F = 1 e ⎪ 4 πε 0 (2l sin θ ) 2 ⎩
解得 q = 2l sin θ 4πε 0 mg tan θ 8-3 根据点电荷场强公式 E =
q 4πε 0 r 2
，当被考察的场点距源点电荷很近(r
→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
(1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为
dE P =
1 λdx 4 πε 0 ( a − x ) 2
E P = ∫ dE P =
λ 4 πε 0
∫
l 2 l − 2
dx (a − x) 2
=
1 1 λ [ ] − l l 4 πε 0 a− a+ 2 2
=
λl
πε 0 (4a 2 − l 2 )
(
)
沿半径向外.
8-11
半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别
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带有电量 λ 和- λ ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点 的场强． 解: 高斯定理 E ⋅ dS =
s
∫
v
v
∑q
ε0
v v E ∫ ⋅ dS = E 2πrl
s
R ) x
∫
v
v
q
ε0
立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 Φ e =
q ． 6ε 0
(2)电荷在顶点时， 将立方体延伸为边长 2a 的立方体， 使 q 处于边长 2a 的立 方体中心，则边长 2a 的正方形上电通量 Φ e =
q 6ε 0 q ， 24ε 0
v n ：垂直于两平面由 σ 1 面指为 σ 2 面．
8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ρ ,若在球内挖去一块半
径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O ′ 点的场强， 并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 ρ 的均匀球与带电 − ρ 的均匀小球的组合，见 题 8-13 图(a)． (1) + ρ 球在 O 点产生电场 E10 = 0 ，
∴
dE ⊥ =
λl
4 πε 0 r 2 + l2 4 r2 + l2 2
r r2 + l2 4
题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为
E P = 4 × dE ⊥ =
4λlr 4π ε 0 (r 2 + l2 l2 ) r2 + 4 2
∵ ∴
λ=
EP = qr
q 4l
方向沿 OP
也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 E =
2ε 0 S
，另一板受它的作用
力f =q
q 2ε 0 S
=
q2 ，这是两板间相互作用的电场力． 2ε 0 S v v v
8-5 一电偶极子的电矩为 p = ql ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r
与 l 的夹角为 θ ,(见题8-5图)，且 r >> l ．试证P点的场强 E 在 r 方向上的分 量 E r 和垂直于 r 的分量 Eθ 分别为
p cos θ 2 πε 0 r 3 p sin θ 4 πε 0 r 3
E0 =
题 8-5 图
题 8-6 图
-1
8-6 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 λ =5.0x10-9C·m 的 正电荷． 试求： (1)在导线的延长线上与导线B端相距 a1 =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 d 2 =5.0cm 处 Q 点的场强． 解： 如题 8-6 图所示
q2 4πε 0 d 2
,又有人
说，因为 f = qE , E =
q2 q ，所以 f = ．试问这两种说法对吗?为什么? ε0S ε0S
f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的， 第二种说法把合场强 E =
q 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 ε0S q
用 l = 15 cm ， λ = 5.0 × 10 −9 C ⋅ m −1 , a = 12.5 cm 代入得
E P = 6.74 × 10 2 N ⋅ C −1 方向水平向右
(2)同理 dE Q =
1 λdx 2 4 πε 0 x + d 2 2
方向如题 8-6 图所示
由于对称性 dEQx = 0 ，即 E Q 只有 y 分量，
4π 3 3 ) ( r − r内 3
r = 8 cm 时， ∑ q = p
∴
E=
ρ
4π 3 2 r − r内 3 ≈ 3.48 × 10 4 N ⋅ C −1 ， 方向沿半径向外． 2 4 πε 0 r 4π 3 3 ） ( r外 − r内 3
(
)
r = 12 cm 时, ∑ q = ρ
∴
E=
ρ
4π 3 3 r外 − r内 3 ≈ 4.10 × 10 4 N ⋅ C −1 2 4 πε 0 r
EQ = EQy = 14.96 × 10 2 N ⋅ C −1 ，方向沿 y 轴正向
8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 λ ,求环心处 O 点的场 强． 解: 如 8-7 图在圆上取 dl = Rdϕ
题 8-7 图
dq = λdl = Rλdϕ ，它在 O 点产生场强大小为
dE =
π
0
−λ cos ϕdϕ = 0 4 πε 0 R
∴
E = Ex =
λ ，方向沿 x 轴正向． 2 πε 0 R
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴 线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r >> l 处，它相当于点电荷 q 产 生的场强 E ． 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷 小为
l2 l2 4 πε 0 ( r 2 + ) r 2 + 4 2
8-9
(1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿
过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在 点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面． q 在该平面轴线上的 A 点处，求： 通过圆平面的电通量．( α = arctan 解: (1)由高斯定理 E ⋅ dS =
S = 2π( R 2 + x 2 )[1 − q0 S
2 2
x R2 + x2
]
∴
Φ=
ε 0 4π( R + x )
α
=
x q [1 − ] 2ε 0 R2 + x2
*关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图
S = ∫ 2πr sin α ⋅ rdα
0
= 2πr 2 ∫ sin α ⋅ dα
0
α
v q 在 P 点产生物强 dE P 方向如图，大 4
dE P =
λ (cosθ 1 − cosθ 2 )
4πε 0 r 2 +
l 2 l2 r + 2
2
l2 4
∵
cosθ 1 =
cosθ 2 = − cosθ 1
∴
dE P = 4 πε 0
λ
l r + 4
2 2 2
l l2 r + 2
v dE P 在垂直于平面上的分量 dE ⊥ = dE P cos β
v
4 3 πr ρ v 3 − ρ 球在 O 点产生电场 E 20 = OO' 4πε 0 d 3
∴
v r3ρ O 点电场 E 0 = OO ' ； 3ε 0 d 3
4 3 πd ρ v 3 (2) + ρ 在 O ′ 产生电场 E10′ = OO' 4π ε 0 d 3
v − ρ 球在 O′ 产生电场 E 20′ = 0
试求空间各处场强． 解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 σ 1 与 σ 2 ，
两面间， E =
v
1 v (σ 1 − σ 2 )n 2ε 0 1 v (σ 1 + σ 2 )n 2ε 0
σ 1 面外， E = − σ 2 面外， E =
v
v
1 v (σ 1 + σ 2 )n 2ε 0