第五章三角函数5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数分析
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
栏目导航
25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
栏目导航
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
栏目导航
24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
栏目导航
1．sin(－315°)的值是( )
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质一、三角函数的定义三角函数是解析几何和三角学中非常重要的一类函数。
它们以三角形内的角度作为自变量，返回一个对应于角度的函数值。
在这里，我将介绍三角函数的定义及其性质。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：对于任意角θ，正弦函数的值定义为三角形中与角θ相对的边的长度与斜边长度的比值。
即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于任意角θ，余弦函数的值定义为三角形中与角θ相邻的边的长度与斜边长度的比值。
即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：对于任意角θ，正切函数的值定义为正弦函数与余弦函数的比值。
即tanθ = sinθ / cosθ。
4. 余切函数（cot）：对于任意角θ，余切函数的值定义为余弦函数与正弦函数的比值。
即cotθ = cosθ / sinθ。
5. 正割函数（sec）：对于任意角θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值。
即secθ = 1 / cosθ。
6. 余割函数（csc）：对于任意角θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值。
即cscθ = 1 / sinθ。
以上是三角函数的定义。
它们是以三角形中的长度比值构建的，可以用于解决各种与三角角度有关的问题。
二、三角函数的性质三角函数具有许多重要的性质，包括周期性、偶奇性、界值和定义域等。
1. 周期性：三角函数的周期性是它们最基本的性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x + 2π) = sinx，cos(x + 2π) = cosx。
而正切函数和余切函数的周期是π，即tan(x + π) = tanx，cot(x + π) = cotx。
这意味着在一个周期内，三角函数的值重复出现。
2. 偶奇性：正弦函数和余切函数是奇函数，而余弦函数和正切函数是偶函数。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
安徽省对口高考复习第五章三角函数
第五章 三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边 角的终边 角的顶点 正角 负角 零角第几象限角 界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角 弧度制角度与弧度的换算公式 特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动 公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念 三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆 平方关系 商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象 周期函数 周期最小正周期 正弦曲线有界性 有界函数无界函数 正弦函数性质 五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线 余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角 阅读与欣赏 光周期现象及其应用第一章 三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式 两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期 正弦型函数 计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律 正弦型曲线五点规律 振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏 刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量 三角函数角概念推广 弧度制 终边相同角 定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数 三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
第五单元 三角函数
第五单元三角函数一教学要求1.了解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念.2.理解弧度的意义，掌握特殊角的弧度与角度的换算，会用计算器进行弧与角度的换算，培养学生正确使用科学型计算器的能力.3.理解任意角的正弦、余弦、正切函数的概念，熟记三角函数在各象限的符号.4.理解同角三角函数基本关系式，会用公式解决“已知任意角的一个三角函数值，求其他两个三角函数值”的问题，培养学生数据处理技能.5.了解诱导公式的推导及简单应用，提高学生数学思维能力.6.理解正弦函数的图像和性质，了解余弦函数的图像和性质，培养学生的观察能力.7.掌握利用计算器求角度，提高学生计算工具的使用技能.8.了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法，培养学生有条理的思考和解决问题.二教材分析和教学建议（一）编写思路本单元教材的内容是三角函数的定义、图像、性质及应用.三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用.本教材以单位圆及几何中的对称性为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生在学习过程中初步了解代数与几何的联系，这有利于培养学生综合应用数学知识解决某些实际问题的能力.高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都要应用到三角函数的知识，因此，这些知识既是解决生产技术实际问题的有力工具，又是进一步学习数学的必要基础.本单元知识可分为三大部分：第一部分主要介绍任意角的三角函数.教材从学生已有的知识实际出发，全面地阐述了角的概念及其推广，引入任意角的概念，特别强调了建立角的弧度制的意义，从而使角的集合与实数集之间建立起一种直接的一一对应关系.这里所讲的“直接”是指一个角的弧度数就是它所对应的那个实数，而较之角度制减少了单位换算的麻烦.正是在此基础上，教材把初中所学的三角函数推广到任意角的范围，并使角的度量由角度制（60进制）自然地过渡到弧度制（10进制）.由此三角函数可以看做是以实数为自变量的函数，从而使三角函数具有广泛的意义.任意角的三角函数应用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能体现初中所学锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有知识基础出发学习三角函数.接着讨论了任意角三角函数值的符号，从定义出发导出了特殊象限角的三角函数值.第二部分主要介绍三角函数公式.在三角函数定义的基础上推导出同角三角函数的两个最基本的关系式，同时以平面几何中图形的轴对称、中心对称为基础推导三角函数的简化公式，使得求任意角的三角函数值的问题更为方便.第三部分主要介绍三角函数的图像和性质.教材首先用描点法做出正弦函数和余弦函数的图像，在基本掌握正弦曲线和余弦曲线的形状特征的基础上，对学习基础较好的学生可以在归纳“五点法”作简图的方法.教材依据图像的直观性，直接阐述了正弦函数和余弦函数的主要性质.本单元教材的重点是三角函数的概念，同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性，正弦函数的图像和性质，并能利用计算器求任意角三角函数值及已知三角函数值求角的问题.难点是弧度制，周期的概念及综合应用三角公式进行化简和证明.（二）课时分配本单元教学时间约为18课时，分配如下（仅供参考）：5.1 角的概念的推广 2课时5.2 弧度制 1课时5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切 2课时5.4 利用计算器求三角函数值 1课时5.5 同角三角函数基本关系式 2课时5.6 诱导公式 3课时5.7 正弦函数的图像和性质 2课时5.8 余弦函数的图像和性质 1课时5.9 利用计算器求角度 1课时5.10 已知三角函数值求指定范围内的角 1课时归纳与总结 2课时（三）内容分析与教学建议5.1 角的概念的推广1.教材从初中有关角的知识出发，以螺帽拧紧，旋转一周、两周……所转过的角度为例，说明日常生活与生产实际中存在大量未曾认识的角.本小节主要任务帮助学生理解并掌握正角、负角的概念.2.从角的形成说起，由于客观上存在着因旋转方向相反而形成两种不同的角，因而根据习惯规定了正角和负角，零角的补充，目的在于使角的集合和实数集一样具有完备性.3.在教学中要强调任意大小的角在直角坐标系中的放置方法：（1）角的顶点和坐标原点重合；（2）使角的始边和x 轴的非负半轴重合.这样，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角，否则就不能根据它的终边位置来判断它属于第几象限.4.应该让学生明白，任意一个角可能属于某个象限也可能不属于任何象限，而不属于任何象限的角（即终边落在坐标轴上的角）是一种重要的特殊角，在三角函数值的计算、三角函数定义域的确定、三角方程求解等问题中经常会遇到，因此要求学习基础比较差的学生可以了解一下这些角，而对于基础较好的学生可以要求掌握这些角的表达式.5.准确区分0°～90°的角、锐角、小于90°的角、第一象限的角和第二象限的角、钝角等.角的概念推广后，应从角的集合的表达形式入手，通过反复练习，使学生能正确理解.{0°～90°的角}={x |0°≤x ≤90°}；{锐角}={x |0°＜x ＜90°}；{第一象限的角}={x |k ·360°＜x ＜90°+k ·360°，k ∈Z }；{第二象限的角}={x |90°+k ·360°＜x ＜180°+k ·360°，k ∈Z }；{钝角}={x |90°＜x ＜180°}.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，如-330°和750°都是第一象限角，但它们都不是锐角. 钝角亦然.6.教师讲解与角α终边相同的角的集合S ={x|x=α+k ·360°，k ∈Z }时，应指出：（1）k 是任意整数；（2）α是任意角（包括正角、负角和零角）；（3）α与︒⋅360k 之间是用“+”号连接的，如︒⋅-360k α应变成︒⋅-+360)(k α；（4）终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.7.在教学中应使学生明白，与某一个角α终边相同的角的表达形式不是唯一的.如与-45°角终边相同的角的表达式可写成︒⋅360k -45°，也可以写成︒⋅360k +315°或︒⋅360k -405°等等，这里k ∈Z .尽管表达式不同，但它们都表示与-45°终边相同的角.8.对于终边在特殊位置的角的集合，列表表示如下：（1）象限角的集合：（2）终边在坐标轴上的角的集合：象限角集合和轴线角集合，集合的表达形式也不是唯一的，它们还有其他表达形式.如第四象限角的集合还可以表示为{x |k ·360°-90°＜x ＜k ·360°，k ∈Z }；终边在y 轴负半轴上角的集合可以表示为{ x | x =270°+k ·360°，k ∈Z }。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
情感目标：
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
动脑思考 探索新知 是任意大小的角，点B
a c
0>，cos43270>，tan 22=⨯π所以，27角为第三象限角，
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再31206(1)2-⨯+⨯-⨯-=-．
3tan180+213tan tan sin cos 4332πππ
-+-+π．。
5.3 任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
c
a
A 邻边 C
b
cos
A
b c
邻边 斜边
tan
A
a b
对边 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的
终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
三 角 函 数
归纳小结会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（方法）． 3．任意角三角函数值的符号（口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
三 角 函 数
布置作业 继续探究
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
补充练习
计算
(1)3cos90 5sin 0 tan 0 cos180 sin180 tan180
(2)5cos270 9sin 0 sin 270
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角 的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
π
3A OM x
数学上册5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(2)
角的三角函数定义可求解.
解：由题意知 r 82 152 17
所以 sin
y r
15 , cos
17
x r
8 , tan
17
y x
15 8
点评： x、y、r 与角的三角函数值之间存在等式关系，知
道其中一些量，可求其余量，若已知角 的终边上一点的坐
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
尘
尖
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
世 界 上 最 宽 的 瀑 布 伊 瓜 苏 瀑 布
------
世界上最高的瀑布-----安赫尔瀑布
世界第一瀑布----维多利亚瀑布
世界第二瀑布----尼亚拉加瀑布
世界第三瀑布----中国贵州黄果树瀑布
黄河壶口瀑布
全世界最大的黄色瀑布
壶口瀑布
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！
tan y
x
教学目标 重点难点 情境导入 探究新知 例题分析 检测反馈 总结提升
3.在直角坐标系中将锐角推广到任意角
已知点P(x, y)是第四象限角终边上任意一点，
则OP r x2 y2
y
o ﹒M x
定义
﹒Px, y
sin y
【课题】5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时)
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数(第一课时) 【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
B
c
a
动脑思考探索新知。
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。
另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。
2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。
针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。
○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。
不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。
针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。
同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。
3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。
➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。
➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。
4．教学重点：任意角三角函数的定义。
5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。
二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。
首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。
然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。
接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。
最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(1)
设 ∠ = (是锐角),角的邻边＝,对边
= ,斜边长 = => 0。根据锐角三角函
数定义用, , 表示锐角的正弦、余弦、正切三个
比值：
对边 | PM | y
邻边 ｜OM | x
对边 ｜PM | y
sin
；
cos
＝
；tan
此时tan =
无意义。因此，正弦函数、余弦函数及正切函数
的定义域如下表所示：
三角函数
sin
cos
tan
定义域
Ｒ
Ｒ
≠ + , ∈
2
巩固知识 典型例题
例1 已知角的终边经过点Ｐ 2, −3 ，求角的正弦、余弦、
正切值。
分析：已知角的终边一点的坐标，求角的三个函数值时，
这些比值发生变化吗？
动脑思考 探索新知
正弦函数：sin =
；余弦函数：cos
=
；正切函数：tan
=
。
关于定义两点说明：
１.在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相
应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比
值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正
弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
２.当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有
一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数。
三角函数定义域
由任意角三角函数的定义可以看出，当角 的终边在 轴上时，
= + , ∈ ，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
授课班级
1421班
1431班
学 时
2
课 程 类 型
理论+习题课
课题或
章节题目
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
教学目标
知识目标
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值
能力目标
会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力
解 取角的公共范围得 为第四象限的角．
通过本次课程理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
P114 练习1、3、4T
情感目标
结合学生生活实际，创设情境，激发兴趣
教学要求
理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。
教学重点
任意角的三角函数的定义及定义域
教学难点
判断三角函数在各象限的正负号，求任意角的三角函数值
教学方法
讨论、启发、设问
教学手段
教具
教案、板书
主要教学内容及步骤
时间分配（分钟）一、织教学二、导入新课三、讲授新课
四、课堂小结
五、布置作业
1＇
2＇
74＇
2＇
1＇
板书
设计
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、三角函数
二、定义域
三、练习
四、正负号
五、练习
讨 论
思考题
作 业
P114 练习1、3、4T
教学
当角 的终边在第一象限时，点P在第一象限， ，所以， ；
当角 的终边在第二象限时，点P在第二象限， ，所以， ；
当角 的终边在第三象限时，点P在第三象限， ，所以， ；
当角 的终边在第四象限时，点P在第四象限， ，所以， ．
归纳
任意角的三角函数值的正负号如下图所示．
五、练习
例2判定下列角的各三角函数正负号：
由定义可以看出：当角 的终边在 轴上时， ，终边上任意一点的横坐标 的值都等于0，此时 无意义．除此以外，对于每一个确定的角 ，三个函数都有意义．
二、定义域
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
三角函数
定义域
R
R
｛ ︱ ｝
当角 采用弧度制时，角 的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数 为自变量的函数．
三、练习
例1已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦、正切值．
分析已知角 终边上一点P的坐标，求角 的某个三角函数值时，首先要根据关系式 ，求出点P到坐标原点的距离 ，然后根据三角函数定义进行计算．
解因为 ， ，所以 ，因此
， ，
．
四、正负号
由于 ，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．
后记
教学
过程
教学内容
旁注
组织
教学
导入
新课
学生
回答
讲授
新课
板书
阐述
板书
阐述
学生
分析
板书
板书
分析
板书
归纳
板书
分析
分析
课堂
小结
作业
布置
上课准备，师生互相问好。
问题
在 中，
、 、 ．
拓展
将 放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合，AC边在 轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作
、 、 ．
第五章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
（1）4327º；（2） ．
分析判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所在的象限．
解（1）因为 ，所以，4327º角为第一象限角，故 ， ， ．
（2）因为 ，所以， 角为第三象限角，故 ， ， ．
例3根据条件 且 ，确定 是第几象限的角．
分析 时， 是第三象限的角、第四象限的角或 的终边在y轴的负半轴上的界限角)； 时， 是第二或第四象限的角．同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．
一、三角函数
设 是任意大小的角，点 为角 的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为
； ； ．
说明
在比值存在的情况下，对角 的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角 为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．