三角函数正弦定理和余弦定理
第4章第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理基础知识整合1．正弦定理a sin A ＝01b sin B ＝02csin C ＝2R ， 其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C .变式：cos A ＝12b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝13a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝14a 2＋b 2－c 22ab . sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式 解的个数 A 为锐角a <b sin A15无解a ＝b sin A16一解b sin A <a <b 17两解a ≥b18一解 A 为钝角a >b19一解或直角a ≤b 20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 由正弦定理，得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝2，A＝60°，则c＝()A.12B．1C. 3 D．2答案 B解析∵a＝3，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得3＝4＋c2－2×2×c×12，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.故选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为3 2，则BC的长为()A.32B． 3C．2 3 D．2 答案 B解析因为S＝12AB·AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos60°＝3.所以BC＝ 3.4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－1 4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.6．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 答案 2解析 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.核心考向突破考向一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30 C.29 D ．2 5答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.选A.(2)(2019·沧州七校联考)已知在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5B ． 5C ．25或 5D ．均不正确 答案 C解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．[即时训练] 1.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理，得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案1225 7210解析 如图， 易知sin ∠C ＝45， cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC， ∴BD ＝BC ·sin ∠C sin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a 2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则该三角形的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，∴a2cos A sin B＝b2sin A cos B，∴sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝π2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．[即时训练] 3.(2019·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC 为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理得cb ＝sin Csin B<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．精准设计考向，多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1三角形面积问题例3(1)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝223，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为()A．6 B．4C．2 D．2或3答案 D解析因为S△ABC＝22＝12bc sin A，sin A＝223，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以bc＝6，cos A＝13，又因为a＝3，由余弦定理，得9＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－4，所以b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.(2)(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a ＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案6 3解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，∴a＝43，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×43×23×32＝6 3.(3)(2020·合肥八中模拟)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a，b ，c ，则其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________.答案 35解析 已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ， 所以a ＝6，c ＝2b ，所以p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2， △ABC 的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2－2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9b 24－9⎝ ⎛⎭⎪⎫9－b 24 ＝3－116(b 2－20)2＋16.故当b 2＝20时，S 有最大值， 所以b ＝25，c ＝45， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45， 所以sin A ＝35.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案233解析根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，所以sin A＝12，结合余弦定理可得2bc cos A＝8，所以A为锐角，所以cos A＝32，所以bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc sin A＝12×833×12＝233.6．(2020·福建三明质量检查)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3(a cos B＋b cos A)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD＝72，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sin B＝3(sin A cos B＋sin B cos A)，所以sin B＝3sin(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin B＝3sin C，所以b＝3c，又b＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，又因为b＝6，c＝2，BD＝DC＝a2，AD＝72，所以a2＝31，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝38，又因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝558. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝3554. 角度2 三角形中的范围问题例4 (1)(2019·江西赣州模拟)在锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，6)答案 C解析 ∵B ＝2A ，∴b a ＝sin Bsin A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝3A >π2，B ＝2A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32，∴2<ba < 3.故选C.(2)(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________．答案 π3 (2，＋∞)解析 依题意有12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，则tan B ＝3， ∵0<∠B <π，∴∠B ＝π3.c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝12＋3cos A 2sin A ＝12＋32·1tan A ， ∵∠C 为钝角，∴2π3－∠A >π2，又∠A >0，∴0<∠A <π6，则0<tan A <33， ∴1tan A >3，故c a >12＋32×3＝2. ∴ca 的取值范围为(2，＋∞)．解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[即时训练] 7.(2019·山东实验中学等四校联考)如图所示，边长为1的正三角形ABC 中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，将△AMN 沿线段MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A 在线段BC 上，则线段AM 的最小值为________．答案 23－3解析 设AM ＝x ，∠AMN ＝α，则BM ＝1－x ， ∠AMB ＝180°－2α，∴∠BAM ＝2α－60°， 在△ABM 中，由正弦定理可得AM sin ∠ABM ＝BM sin ∠BAM ，即x32＝1－x sin (2α－60°)，∴x ＝3232＋sin (2α－60°)，∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，x 取得最小值为3232＋1＝23－3，即线段AM 的最小值为23－3.8．(2019·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围． 解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由正弦定理可知， a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ， ∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B ) ＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2π3－A <π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4，综上a ＋b 的取值范围为(23，4]． 角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2019·南宁模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)由cos ∠ADC ＝17知sin ∠ADC ＝437， 于是sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC ·cos π3－cos ∠ADC ·sin π3 ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD sin (π－∠ADC )＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．[即时训练]9.(2020·河北唐山期末)如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.(1)若∠AMB＝60°，求BC的长；(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.解(1)由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°.在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4；在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2.在△MBC中，由余弦定理，得BC2＝MB2＋MC2－2MB·MC·cos∠BMC＝12，所以BC＝2 3.(2)因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°<θ<60°.在Rt△MCD中，MC＝1，sinθ，在Rt△MAB中，MB＝2sin(60°－θ)由MB ＝4MC ，得2sin(60°－θ)＝sin θ， 所以3cos θ－sin θ＝sin θ，即2sin θ＝3cos θ， 整理可得tan θ＝32.学科素养培优（八） 利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 依题意画出图形，如图所示． 易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴c ＋a ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2019·山东烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解 (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理，得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥34－14＝12，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.课时作业1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C.2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．7C ．2 2D ．2 3答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B.4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12 B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＜0，故C 是钝角．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．3π4答案 C解析 因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝ac ＋b ，即(c －b )(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.7．(2019·大连双基测试)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63 C ．－63 D ．63 答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D.8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B ．π3 C.π4 D ．π6 答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C .由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴sin C ＝cos C .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222，若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 C.12 D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2， 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2， 从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，故选A. 10．(2019·南阳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝( )A.π3 B ．3π4 C.5π6 D ．2π3答案 D解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得：3a ＝5b ，所以a ＝5b3. 又b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －b ＝7b3， 不妨取b ＝3，则a ＝5，c ＝7，所以cos C＝a 2＋b2－c22ab＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C ＋c cos A，b＝2，则△ABC的面积的最大值是()A．1 B． 3C．2 D．4答案 B解析∵2b cos B＝a cos C＋c cos A，∴2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin(A＋C)＝sin B.∵0<B<π，∴cos B＝12，∴B＝π3.∵cos B＝a 2＋c2－b22ac＝12，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC ＝12ac sin B≤12×4×32＝3，故△ABC的面积的最大值为 3.12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(b cos A＋a cos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝()A. 5 B．3C.10 D．4答案 B解析由正弦定理可得2(sin B cos A＋sin A cos B)＝c sin C，∵2(sin B cos A＋sin A cos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，∴2sin C＝c sin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.故选B.13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.解法二：∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B＝12.又0<B<π，∴B＝π3.15．(2019·杭州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC的面积的最大值为________．答案 3解析因为a＝2，(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，所以根据正弦定理，得(a ＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝12，因为A∈(0，π)，故A＝π3.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC ＝12bc sin A＝34bc≤34×4＝3，所以△ABC的面积的最大值为 3.16．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24.18．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ， 得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ，所以b ＝43a . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝23a .由余弦定理可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，3BC ＝3BD cos α＋CD sin β.(1)求角β的大小；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围． 解 (1)∵3BC ＝3BD cos α＋CD sin β， ∴3sin ∠BDC ＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3sin(α＋β)＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3(sin αcos β＋sin βcos α) ＝3sin βcos α＋sin αsin β，∴3sin αcos β＝sin αsin β，∴tan β＝3， 又β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)根据题意，得∠BAD ＝2π3，由余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7， 又BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos β ＝(CB ＋CD )2－3CB ·CD≥(CB ＋CD )2－3(CB ＋CD )24＝(CB ＋CD )24，∴CB ＋CD ≤27，又CB ＋CD >7，∴四边形ABCD 的周长AB ＋BC ＋CD ＋DA 的取值范围为(3＋7，3＋27]． 20．(2019·河南联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解(1)因为c＝4，b＝2,2c cos C＝b，所以cos C＝b2c＝14.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝ 6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以EC＝13BC＝43，DE＝2－43＝23.又cos C＝14，所以sin C＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝12DE·AC·sin C＝156.。
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
三角函数中的正弦定理与余弦定理
三角函数中的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中常用的一种函数，在几何学中也起着重要的作用。
本文将探讨三角函数中的两个关键定理：正弦定理和余弦定理。
这两个定理在解决各种三角形问题时非常有用，通过它们可以计算出未知的边长和角度。
一、正弦定理正弦定理是一个关于三角形边长和角度之间关系的定理，它适用于所有的三角形。
正弦定理表达的是三角形中一个角的正弦值与其对边的比例关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个定理的一种形式是：a/sinA = 2R其中，R是三角形外接圆的半径。
正弦定理的应用非常广泛，例如可以通过已知两边和一个角度，求解未知边长或者角度。
同时，它也常用于解决三角形的面积问题。
二、余弦定理余弦定理是另一个与三角形边长和角度之间关系的定理，与正弦定理相比，余弦定理更加灵活，适用于各种类型的三角形。
余弦定理表达的是三角形中一个角的余弦值与其对边的平方和其他两边的乘积之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC余弦定理的应用非常广泛，可以通过已知三边求解未知角度或者通过已知两边和一个夹角求解未知边长。
三、正弦定理与余弦定理的关系正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时可以互相补充使用。
根据正弦定理，我们可以求解任意一个角的正弦值，通过求解余弦，我们可以得知其他两个角的余弦值。
进而，我们可以通过余弦定理求解三角形的边长。
例如，在解决三角形的边长问题时，我们可以首先使用正弦定理求解一个角的正弦值，然后使用余弦定理求解其他两个角的余弦值。
通过已知角度的余弦值，我们可以应用余弦定理求解未知边长。
在实际应用中，我们常常需要通过这两个定理来解决与三角形相关的问题。
三角函数的正弦定理与余弦定理
三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中一门重要的分支，在几何学、物理学等领域有广泛的应用。
其中，正弦定理与余弦定理是三角函数的重要定理之一，可以用于求解各种三角形的边长和角度。
本文将分别介绍正弦定理与余弦定理的概念与应用。
一、正弦定理正弦定理是用来求解三角形的边长与角度之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R其中，R为该三角形外接圆的半径。
利用正弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。
这在实际问题求解中非常有用。
例如，已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用正弦定理来求解第三条边的长度。
根据正弦定理可知：a/sinA = b/sinB = c/sinC那么代入已知条件，我们可以得到：3/sin60° = c/sinC进而可以得到：c = (3 * sinC) / sin60°通过计算，我们可以求得c的值。
二、余弦定理余弦定理是用来求解三角形的边长和角度之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC利用余弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。
例如，我们已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。
根据余弦定理可知：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC代入已知条件，我们可以得到：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * cos60°通过计算，我们可以求得c的值。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
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2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
三角函数的正弦定理与余弦定理
三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中重要的概念和工具，可以用来描述和计算各种角度和三角形的相关性质。
在三角函数中，正弦定理和余弦定理是两个基本定理，它们在解决三角形问题中起着重要作用。
接下来，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的定义及应用。
一、正弦定理正弦定理基于三角形的边与角之间的关系，给出了它们之间的数学表达式。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A，∠B，∠C，对应的边长分别为a，b，c。
则有以下正弦定理的表述：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R (R为三角形外接圆的半径)该定理表明，在三角形中，任意一条边的长度和其对应的角的正弦值之间存在一个比例关系，且该比例关系对于所有三边和三角角度都成立。
这个比例关系可以用来求解未知边长或角度大小，或者验证已知三角形的性质。
二、余弦定理余弦定理是另一个三角形中边与角之间的关系定理，它描述了三角形的边与角之间的关系，并且与正弦定理有一定的联系。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A，∠B，∠C，对应的边长分别为a，b，c。
则有以下余弦定理的表述：c² = a² + b² - 2abcos∠C该定理表明，在三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方之和减去两倍的两边的乘积与对应角的余弦值的乘积。
该定理在解决三角形问题中应用广泛，可以求解未知边长或角度大小，或者验证已知三角形的性质。
三、正弦定理与余弦定理的应用举例1. 求解三角形的边长和角度通过正弦定理和余弦定理，我们可以求解三角形中的各边长和角度大小。
以已知两边和一个夹角的情况为例，通过正弦定理可以求解出第三条边的长度，而通过余弦定理可以求解出未知角的大小。
这样，我们可以完整地确定三角形的大小和形状。
2. 验证三角形的性质在几何学中，我们有时需要验证一个三角形是否满足某些性质，比如是否为直角三角形或等边三角形。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以计算出三角形的各边长和角度大小，然后根据已知的性质进行验证。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
正弦定理和余弦定理
第3讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为()．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 同理，BD ＝32＋620(km)． 故B 、D 的距离为32＋620km. 考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)． 在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ， 所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD， 解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
正弦函数和余弦函数是三角函数中的两个重要函数，它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
以下是一些关于正弦函数和余弦函数的计算公式：
1. 正弦函数定义域：由任意非负实数组成的集合。
值域：(0,1]。
最小正值：1/2，最大正值：1。
图像性质：
a. 图像与x轴交于(0,0)，与y轴交于(π,0)。
b. 在[0,π]上单调递增。
c. 在(0,π/2]上，图像在x轴下方；在[π/2,π]上，图像在x轴上方。
d. 在(0,π/4]上，函数是奇函数；在[π/4,π/2]上，函数是偶函数。
e. 在(0,π/4]上，值域为(0,1/2]；在[π/4,π/2]上，值域为[1/2,1]。
2. 余弦函数定义域：由任意非负实数组成的集合。
值域：(?1,1]。
最小正值：-1，最大正值：1。
图像性质：
a. 图像与x轴交于(0,0)，与y轴交于(π,0)。
b. 在[0,π]上单调递增。
c. 在(0,π/2]上，图像在x轴下方；在[π/2,π]上，图像在x轴上方。
d. 在(0,π/4]上，函数是奇函数；在[π/4,π/2]上，函数是偶函数。
e. 在(0,π/4]上，值域为(-1,0]；在[π/4,π/2]上，值域为[0,1]。
3. 正弦定理（余弦定理）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比等于一个常量。
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两条边的夹
积的2倍。
第28讲 正弦定理、余弦定理
[解析]由余弦定理得cos B====,∵0<B<π,∴B=.
题组二 常错题
4. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的大小关系为 ;若sin A>sin B,则A,B的大小关系为 .
课前双基巩固
[解析] 根据正弦定理知,在△ABC中,sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
B
课堂考点探究
练习1 [2021·河南新乡模拟] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(B+C)=sin .(1)求A的大小;(2)若b+c=6,△ABC的面积为2,求a.
解:(1)∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin cos =sin ,又A∈(0,π),∴∈(0,),∴cos =,∴=,∴A=.(2)∵△ABC的面积为bcsin A=2,∴bc=8,又b+c=6,∴根据余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=28,∴a=2.
课前双基巩固
(续表)
课前双基巩固
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
图形
关系式
解的个数
A为锐角
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
A为钝角或直角
a>b
课前双基巩固
3.三角形面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
三角函数正弦定理和余弦定理
三角函数正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形的重要工具。
这些定理是数学中最耳熟能详的公式之一。
这篇文章将探讨正弦定理和余弦定理的定义、公式和应用。
一、正弦定理正弦定理表明三角形中任意两个角的正弦值与对应边的比例相等。
具体来说，正弦定理是指：对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}这个公式常常用于计算三角形的任意一个角的正弦值，或者计算一个角的度数。
例如，假设三角形的三边分别为3、4和5，那么正弦定理可以写成：\frac{3}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}如果我们想知道角A的正弦值，我们只需要解出等式中的$\sin A$，就可以得到：\sin A=\frac{3}{5}这就是三角函数正弦定理的应用。
二、余弦定理余弦定理表明三角形中的一个角的余弦值等于与此角相对的两条边的平方和与第三条边平方差的比例。
具体来说，余弦定理是指：对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alphab^2=a^2+c^2-2ac\cos \betac^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma可以根据需要使用任何一个等式，计算三角形的边长或角度。
例如，假设我们知道一个三角形的两条边a和b，以及它们之间的夹角γ，我们可以使用余弦定理求出第三条边c的长度。
具体来说，如果我们知道：a=3，b=4，γ=90°则可以使用余弦定理的第三个等式来求解c的长度：c^2=3^2+4^2-2\times 3\times 4\times \cos 90°=9+16-24\cos 90°=25因此，c的长度为5。
【高中数学】正弦定理和余弦定理
c
2ac
c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3，
cos
B＝2，则 b＝( ) 3
A．14
B．6
C. 14D. 6解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
所以 A＝π或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
6
6
3
又 a＝ 3，由正弦定理得 a ＝ b ， sin A sin B
3
b
即 sin
2π＝sin
π，解得 b＝1.
3
6
[答案] (1)2 2 (2)1 3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
Csin Bcos A＝1sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1，
2
2
2
即 sin B＝1.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π.
2
6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
三角函数正余弦定理
二解还是无解．
课堂互动讲 练
互动探究
若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7， b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲
练 解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c， ∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
10 分
课堂互动讲
练
所以△ABC 的面积
S＝
12absinC＝
1× 2
2 3
3×4 3
3×
3 2
＝23
3 .
12 分
易误点评 在第 2 题中容易犯约分的错误而不分cosA＝0
和cosA≠0去讨论．
课堂互动讲 练
高考检阅
(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北 卷)在锐角 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、 B、C 所对的边，且 3a＝2csinA.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲 练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲 练
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强
化
2．在 ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45°
正弦定理和余弦定理公式
正弦定理和余弦定理公式设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。
一、正弦定理公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。
下同。
【注2】正弦定理适用于所有三角形。
初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。
二、正弦定理推论公式1、（1）a=2RsinA；（2）b=2RsinB；（3）c=2RsinC。
2、（1）a:b=sinA:sinB；（2）a:c=sinA:sinC；（3）b:c=sinB:sinC；（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。
【注】多用于“边”、“角”间的互化。
三角板的边角关系也满足正、余弦定理3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。
4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。
（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。
（2）“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。
（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。
（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。
5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。
其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。
部分三角函数公式余弦定理公式及其推论余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
一、余弦定理公式（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；（2）b^2=a^2+c^2-2accosB；（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。
三角形的余弦定理与正弦定理
三角形的余弦定理与正弦定理三角形是几何学中最基本的形状之一。
在研究三角形的性质和特征时，余弦定理和正弦定理起到了重要的作用。
它们是利用三角形的边长和角度之间的关系来解决各种三角形问题的工具。
本文将详细介绍三角形的余弦定理与正弦定理的定义、公式推导和应用。
一、余弦定理余弦定理是描述三角形边长与角度关系的定理。
对于任意三角形ABC，假设a、b、c分别表示BC、AC和AB的边长，而∠A、∠B和∠C分别表示三角形的内角A、B和C，则余弦定理可以表示为以下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosCb² = a² + c² - 2ac·cosBa² = b² + c² - 2bc·cosA其中，cosA、cosB和cosC分别表示角A、B和C的余弦值。
推导过程：我们可以通过向三角形ABC引入高，再利用勾股定理和直角三角形的性质推导余弦定理。
设三角形ABC的高为h，起点为顶点A，终点为D，连接BD和CD，如图所示。
[图示]由于三角形ADC为直角三角形，根据勾股定理，我们可以得到：AC² = AD² + CD² ------ (1)在三角形ABD中，我们可以应用勾股定理得到：AB² = AD² + BD² ------ (2)注意到BD = BC - CD，将其代入式(2)，我们可以得到：AB² = AD² + (BC - CD)²= AD² + BC² + CD² - 2BC·CD ------ (3)由于三角形ABC为平面图形，AD ⊥ BC，所以∠ADC = ∠C。
根据余弦定理，我们可以得到：CD² = AC² + AD² - 2AC·AD·cosC ------ (4)将式(1)代入式(4)，我们可以得到：CD² = (AD² + CD²) + AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 2AD² + CD² - 2AD·CD·cosC将式(4)代入式(3)，我们可以得到：AB² = 2AD² + BC² - 2BC·CD + 2AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2AC·AD·cosC由于三角形为平面图形，所以CD = BC·cosA，代入上式得：AB² = 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC·AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC²·cosC= 4AD² + BC² - 2AC²·cosC - 2BC²·cosA由几何性质可知，4AD² = c²，所以：c² = a² + b² - 2ab·cosC ------ (5)同理，可以推导出余弦定理的其他两个公式。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
第三章
考点一
第七节 正弦定理和余弦定理
回顾教材·夯实基础 考点二 典例剖析·突破考点 考点三 真题感悟·体验考场 课时规范练
∴a＝c， π 又 B＝ ， 3 ∴△ABC 为等边三角形．
[答案] B
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(2)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c， b asin Asin B＋bcos A＝ 2a，则a＝(
2
)
A． 2 3 C. 3
B．2 2 D. 2
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[方法提升] 常见类型及解题策略 1 1 1 (1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ 2 2 2 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要 利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
数表示边
角化边： 将表达式中的 等式两边是角的齐次形式 角用边的形式表示 或 a2＋b2－c2＝λab
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第七节 正弦定理和余弦定理
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判断三角形的形状|易错突破 [例 2] 已知△ABC 中，内角 A、B、C 成等差数列，其对边为 )
三角函数的正弦定理与余弦定理
三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中一个重要的概念，在解决三角形相关问题时得以广泛应用。
其中，正弦定理与余弦定理是求解三角形边长和角度的重要工具。
本文将详细介绍三角函数的正弦定理和余弦定理，并举例说明它们在实际问题中的应用。
一、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边的长度与其对应的正弦值之间存在着一定的关系。
设三角形的边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，等式两边分别为三个边长与对应内角的正弦值的比值，且比值相等。
正弦定理常用于解决无法直接通过角度计算的三角形问题。
例如，在一个三角形中已知两个边长和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解第三边的长度。
二、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边的长度与其对应的余弦值之间存在着一定的关系。
设三角形的边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦定理可以表达为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，等式右侧的式子表示两条边长的平方和与它们对应夹角的余弦值的乘积，等于第三边长的平方。
余弦定理常用于求解三角形的边长和角度。
例如，已知一个三角形的三个边长，可以利用余弦定理计算出其中一个内角的大小。
应用实例：例1：已知三角形ABC中，边长a=5cm，边长b=7cm，夹角C=30°，求第三边c的长度。
解：根据正弦定理可得：c/sinC = a/sinAc/sin30° = 5cm/sinAsinA = (5cm/sin30°) * sinAsinA = 2.5cm此时可以利用反正弦函数求解A的大小：A = arcsin(2.5cm) = 39.24°同理可得，B = 180° - A - C = 110.76°因此，三角形ABC中，边长c的长度约为4.33cm，角A约为39.24°，角B约为110.76°。
(完整版)正弦定理、余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝＝ca sin B ；2121212．三角形中的边角不等关系: A>B a>b,a+b>c,a-b<c ；；⇔3．【正弦定理】：＝＝＝2R （外接圆直径）；A a sin B b sin Ccsin 正弦定理的变式：； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 24．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角AABa=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角当时有一解.a>b 5．【余弦定理】 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =即△ABC 为等腰三角形.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2 在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：B ac c a b cos 2222-+=0162=+-x x 226±=x 当时 从而A=60︒ ，C=75︒226+=c 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 当时同理可求得：A=120︒ C=15︒.226-=c 知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值． 【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【解析】 A B C 、、为锐角∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=π知识点4 求三角形的面积例题4 △ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．【解析】在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．A在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7． ∴AB ＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝343．知识点4 解决实际为题例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
余弦定理与正弦定理的推导
余弦定理与正弦定理的推导三角函数是数学中重要且常用的概念，其中余弦定理和正弦定理是解决三角形问题的基本工具。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的推导过程，并探讨其应用。
一、余弦定理的推导余弦定理用于计算三角形任意一边的长度，其表达式为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，C 表示夹角C的度数。
我们假设有一个三角形ABC，令 a=BC，b=AC，c=AB，角A的度数为α，角B的度数为β，角C的度数为γ。
根据三角形的角度关系可知，α = 180° - β - γ。
根据余弦定理的定义可得：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)将 a=BC，b=AC，c=AB 代入，得到：AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cos(γ)将γ 替换为α+β，得到：AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cos(α+β)使用余弦的和差化简公式可得：AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × [cosα*cosβ - sinα*sinβ]再利用三角函数的定义可得：AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × [cosα*cosβ - (1 - cos²α)(1 -cos²β)^(1/2)]经过化简，我们可以得到最终的余弦定理表达式：AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cosα*cosβ + 2 × BC × AC ×sinα*sinβ二、正弦定理的推导正弦定理用于计算三角形的边长与角度的关系，其表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据这个定理，我们可以推导出正弦定理的表达式。
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(文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .(1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v vQ即22a ba b R R⋅=⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴∆为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v即a b ab ∴+=由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去.11sin 4sin 223S ab C π∴==⋅⋅=来源：09年高考上海卷 题型：解答题，难度：中档(文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。
（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。
答案：（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin =，于是522sin sin ===BC ABCCAB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得ACAB BC AC AB A ∙-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55， 从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 1024sin2cos 4cos2sin )42sin(=-=-πππA A A来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且3cos 2,sin 5A B ==（I ）求A B +的值； （II ）若1a b +=，求,,a b c 的值。
答案：（Ⅰ）A 、B 为锐角，sin 10B =，cos 10B ∴== 又23cos 212sin 5A A =-=，sin 5A ∴=，cos 5A ==，cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴+=-== 0A B π<+<4A B π∴+= …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=,sin C ∴=..由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得==，即a =，c =1a b -=Q ， 1b -=，1b ∴=a ∴== ……………………………………12分来源：09年高考四川卷 题型：解答题，难度：中档（文）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。
答案：（12sin c A =及正弦定理得，sinsin a A c C ==.sin 0,sin A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=（2）解法1：.3c C π==Q 由面积公式得1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故解法2：前同解法1，联立①、②得2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩＝１３ 消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或所以2332a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或故5a b +=.来源：09年高考湖北卷 题型：解答题，难度：容易为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
答案：方案一：①需要测量的数据有：A点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分 ②第一步：计算AM . 由正弦定理212sin sin()d AM ααα=+ ；第二步：计算AN . 由正弦定理221sin sin()d AN βββ=- ；第三步：计算MN.由余弦定理MN =.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.②第一步：计算BM . 由正弦定理112sin sin()d BM ααα=+ ；第二步：计算BN . 由正弦定理121sin sin()d BN βββ=- ；第三步：计算MN .由余弦定理MN =来源：09年高考宁夏海南卷 题型：解答题，难度：中档(文)在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin A B == （I ）求A B +的值 （II）若1a b -=，求a b c 、、的值。
11,αβ答案：（I ）∵A B 、为锐角，sin A B ==∴ cos A B ====cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-== ∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=…………………………………………6分（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin 2C =由sin sin sin a b cA B C==得==，即,a c ==又∵ 1a b -=∴1b -=∴ 1b =∴ ,a c ==…………………………………………12分来源：09年高考四川卷 题型：解答题，难度：中档△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=,求,a c ..答案：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去） 得5,412A B ππ==(2)1sin 32ABC S ac B ac ∆=== 又sin sin a cA C =, 即=，得a c ==来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：中档(文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b =.（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=+a ,b ，c .答案：（1）由(12c b += 得1sin 2sin b B c C=+= 则有55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CCCππππ---==11cot 2222C +=+ 得cot 1C = 即4C π=.（2）由1CB CA ⋅=+ 推出cos 1ab C =；而4C π=,13ab =+, 则有12(12sin sin ab c b a c A C=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得12a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：容易在∆ABC 中，sin()1C A -=, sin B=13. （I ）求sin A 的值； (II)设，求∆ABC 的面积.答案：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-，∴sin sin()sin )42222B B BA π=-=-，∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴sin 3A =（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BCB A=∴sin 31sin 3AC ABC B===sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+A BC13=+=∴11sin 22ABC S AC BC C ∆=∙∙==来源：09年高考安徽卷题型：解答题，难度：容易在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。
（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.答案：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin ,sin 5A C ==，又∵,3B b π==ABC 中，由正弦定理，得∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积116sin 225S ab C ==⨯=.来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：中档(文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =， 3AB AC ⋅=. （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值.答案： （Ⅰ）531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A .又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=-=A A ，而353cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=. （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值.答案：（I ）因为cos2A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==. （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b答案：解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。