三角函数之正余弦定理

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【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 主管签字：________

§3.6 正弦定理和余弦定理

一、考点、热点回顾

2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

基础知识.自主学习

1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可

以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题．

2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余

弦定理可以变形：cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

，cos B ＝

a 2＋c 2－

b 2

2ac

，cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 2

2ab

.

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2

(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半

径)，并可由此计算R 、r .

4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a＝b sin A b sin Ab

解的个数一解两解一解一解

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.

2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1．在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝________. 2．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

3．(2012·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝3

5

，cos B＝5

13

，b＝3，则c＝________.

4．(2011·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为

( )

A．2 2 B．8 2

C. 2

D.

2 2

二、典型例题

题型一 利用正弦定理解三角形 例1 在△ABC 中，a ＝

3，b ＝

2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .

思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．

探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝

3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．

题型二 利用余弦定理求解三角形

例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b

2a ＋c

.

(1)求角B 的大小； (2)若b ＝

13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

思维启迪：由cos B cos C ＝－b

2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．

探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且

2cos 2

A

2

＋cos A ＝0. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用

例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋

3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为

3，求b ，c .

思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .

探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .

(1)若c ＝2，C ＝π

3

，且△ABC 的面积为

3，求a ，b 的值；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．