第一章 第三节 数学的魅力 (第一课时)
人教版七年级数学上册：1.3.1《有理数的加法》说课稿
人教版七年级数学上册：1.3.1《有理数的加法》说课稿一. 教材分析《有理数的加法》是人民教育出版社出版的七年级数学上册第一章第三节第一课时内容。
这一节主要介绍有理数的加法运算方法，是学生学习有理数运算的基础知识。
在本节课中，学生将学习如何利用数轴理解有理数的加法，掌握加法的运算律，并能够熟练地进行有理数的加法运算。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数理基础，对数的运算有一定的了解。
但是，对于有理数的加法运算，学生可能还存在着一些困难，如对有理数的概念理解不深，对数轴的使用不熟练等。
因此，在教学过程中，需要注重对学生基础知识的巩固，以及对数轴使用的指导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解有理数的加法概念，掌握有理数的加法运算方法，能够熟练地进行有理数的加法运算。
2.过程与方法目标：通过数轴的使用，学生能够直观地理解有理数的加法，培养学生的数形结合思想。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探究的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：有理数的加法运算方法，加法的运算律。
2.教学难点：对有理数加法概念的理解，数轴的使用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过数形结合的方式理解有理数的加法，培养学生的独立思考能力和合作探究能力。
2.教学手段：使用多媒体课件，辅助学生直观地理解有理数的加法，同时利用数轴帮助学生进行运算。
六. 说教学过程1.导入新课：通过简单的实例，引导学生复习已学的数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.探究新知：引导学生通过数轴观察，发现有理数加法的规律，引导学生总结出加法的运算律。
3.巩固新知：通过例题讲解，让学生动手练习，巩固对加法运算的理解。
4.拓展应用：引导学生将加法运算应用于实际问题中，培养学生的应用能力。
5.小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识。
6.布置作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
七年级数学上册第1章走进数学世界ppt课件(打包5套)华东师大版
例2：
已知、、每一个都代表一个自然数，它们满足： 277 277 772269。 那么代表的自然数是______。
[ 解 答 ] 269154115 ， (11577)219 ， (7719)229.
例3、计算19999919999199919919 [解答] 原式 (2000001)(200001)(20001) (2001)(201)
A
D
B
C
在如图所示的3×3的方格 图案中有多少个正方形呢？
正方形的总个数是： 9+4+1=14（个）
想一想： 如果是4×4的方格图案 有多少个正方形？
神奇的幻方
相传大禹治水的时候，在洛水之中现一神 龟，龟背上显现一种奇怪的图案，后来，人们 研究发现，龟背上的图案是一个九宫格，显示 了从1到9的九个数字无论横排、竖排、斜排， 和都是15，于是，人们都以为这是神的赐示， 后来，九宫八卦越传越玄，成了封建迷信的一 种工具。其实，九宫图是一类非常有趣的数学 问题，称为幻方。中国是幻方之国，在民间，
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第1课时 数学与生活
请同学们打开书本， 翻到第一章的导入图， 仔细观察图中有什么， 并把你所看到的告诉大家.
宇宙之大
粒子之微
DNA--生命的分子
中国现代火箭事业起步于 20世纪50年代.40多年来，中 国运载火箭技术研究院从仿制 入手，在成功研制战略导弹的 基础上，研制了长征一号、长 征二号、长征三号三个系列八 种运载火箭.火箭近地轨道运 载能力从300公斤到11000公斤， 最大可达13600公斤，同步转
2222205 222215
例4、 将自然数按下面的形式排列，试问：第20行最左边的 一个数是多少？ 1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
人教版七年级数学上册同步备课 《第一单元》1.3.2 有理数的减法(第一课时)(教学设计)
1.3.2《有理数的减法（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.3.3有理数的减法（第一课时），内容包括：有理数的减法法则、利用法则进行有理数的减法运算.2.内容解析《有理数的减法》是人教版数学义务教育教科书七年级上册第三节的内容.在此之前，学生已学习了《有理数的加法》这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.“数的运算”是“数与代数”学习领域的重要内容，减法是其中的一种基本运算.本课的学习远接小学阶段关于整数、分数(包括小数)的减法运算，近承前面所学的有理数的加法运算.通过对有理数的减法运算的学习，学生将对减法运算有进一步的认识和理解，为后继诸如实数的减法运算的学习奠定了坚实的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解、掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算.二、目标和目标解析1.目标(1)理解、掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算.（转化思想、几何直观）(2)通过把有理数的减法运算转化为加法运算，渗透转化思想，培养运算能力.(运算能力)2.目标解析通过对温度计的观察，理解有理数减法的意义；通过探究有理数减法的过程，理解并掌握有理数的减法法则，并能利用有理数的减法法则进行计算.经历探索有理数减法法则的过程，进一步发展符号感，体会转化思想，并运用有理数的加减法则解决简单的实际问题.通过创设熟悉的生活情境，体会数学知识在实际生活中的应用.通过交流、探索，逐步培养学生的抽象概括能力及口头表达能力.三、教学问题诊断分析在生活中学生经常会进行同类量之间的比较，因此学生对减法运算并不陌生，但这种认识常常流于经验的层面；在小学阶段学生进一步学习了作为“数的运算”的减法运算，但这种减法运算的学习很大程度上的是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在.因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生体会减法的意义.此外，七年级学生的数学思维和运算能力还不是很强，对数学概念的理解比较肤浅，对法则的应用还存在生搬硬套的问题.数学活动的经验较少，探索效率较低，合作交流能力有待加强，因此在教学过程中要做好调控.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题四、教学过程设计（一）情境引入下面是北京冬季某天的气温(-3～3℃). 根据你的生活经验，你能说出这天的温差吗？____℃.温差是指最高气温减最低气温.你还能从温度计上看出3℃比-3℃高多少℃吗？你会列式求这一天北京的温差吗？__________.这里用到正数与负数的减法.（二）自学导航减法是加法的逆运算，计算3－(－3)，就是求出一个数x，使得x＋(－3)＝3，因为____＋(－3)＝3，所以x＝_____，即3－(－3)＝____ ①另一方面，我们知道3＋(＋3)＝6 ②由①、②两式，有3－_____＝3＋_____ ③（三）合作探究探究：从3-(-3)=3+(+3)能看出减-3相当加哪个数吗？把3换成0，-1，-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3).这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？0-(-3) = 0+3 = 3，(-1)-(-3) = (-1)+3 = 2，(-5)-(-3) = (-5)+3 = -2计算9-8，9+(-8)；15-7，15+(-7).从中又能有什么发现吗？9-8 = 9+(-8) = 1，15-7 = 15+(-7) = 8【归纳】有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. a - b = a + (-b)（四）考点解析 例1.计算：(1)8-15; (2)7-(-5); (3)(-5)-7; (4)(-1.8)-(-3.5); (5)(-12)-(-13);(6)0-3; (7)0-(-9).解：(1)原式=8+(-15)=-7; (2)原式=7+5=12; (3)原式=(-5)+(-7)=-12; (4)原式=(-1.8)+3.5=1.7; (5)原式=(-12)+13=-16; (6)原式=0+(-3)=-3; (7)原式=0+9=9. 【迁移应用】1.在(-4)-( )=-9中的括号里应填_______.2.绝对值是23的数减去13所得的差是__________.易错点：已知一个数的绝对值，则这个数的取值一般有两种情况，注意不要漏解. 3.计算：(1)9-13; (2)0-11; (3)0-(-6); (4)4.6-(-3.4); (5)(-23)-16; (6)|-3-(-7)|. 解：(1)原式=9+(-13)=-4; (2)原式=0+(-11)=-11; (3)原式=0+6=6; (4)原式=4.6+3.4=8; (5)原式=(-23)+(-16)=-56; (6)原式=|-3+7|=4.（五）自学导航思考：在小学，只有当a 大于或等于b 时，我们才会做a-b(例如2-1，1-1).现在，当a 小于b 时，你会做a-b(例如1-2，(-1)-1)吗？一般地，较小的数减较大的数，所得的差是_____数. 当a 大于或等于b 时，a-b_____0；当a 小于b 时，a-b_____0 （六）考点解析 例2.计算：(1)(-34)-(-318); (2)(-856)-(-516)-(+123).解：(1)原式=(-34)+318=238;(2)原式=(-856)+516+(-123)=[-8+5+(-1)]+[(-56)+16+(-23)] =(-4)+(-43) =-513.【迁移应用】 计算：(1)(-314)-134; (2)(-238)-(-558)-(+114). 解：(1)原式=(-314)+(-134) =-5;(2)原式=(-238)+558+(-114) =[-8+5+(-1)]+[(-38)+58+(-14)] =2+0=2.例3.某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表所示，则这四天中温差最大的是( )A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四【迁移应用】1.小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室温度是-12℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高( ) A.13℃ B.-13℃ C.17℃ D.-17℃2.某市冬季中的一天，中午12时的气温是-3℃，经过6h 气温下降了7℃，那么当天18时的气温是______.3.矿井下A,B,C 三处的标高分别是A(-37.5m)，B(-129.7m) ,C(-73.2m)，最高处比最低处高_______m. 例4.如图，表示数a ，b ，c 的点在数轴上，且a ，b 互为相反数.用“＞”“＜”或“=”号填空：(1)a+b____0; (2)a+c____0; (3)b+c____0; (4)a-c____0; (5)b-a____0; (6)c-b____0. 【迁移应用】1.已知a,b,c 三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式错误的是( )A.b<a<cB.a+c<0C.a+b<0D.c-a>02.有理数a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列运算结果中是正确的有( )①a-b; ②b-c; ③d-a; ④c-a. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例5.阅读材料： 比较－56和-67的大小.解：(-56)-(-67)=-56+67=-3542+3642=142＞0，则-56＞-67. 试用这种方法比较和－78和-67的大小.解：-78-(-67)=-78+67=-4956+4856=-156＜0，则-78＜-67.【迁移应用】 比较大小：(1)-23____ -34; (2)-79____ -58; (3)-911____ -78.解：(1)-23-(-34)=-23+34=-812+912=112＞0，则-23＞-34； (2)-79-(-58)=-79+58=-5672+4572=-1172＜0，则-79＜-58； (3)-911-(-78)=-911+78=-7288+7788=588＞0，则-911＞-78.例6.根据图中数轴提供的信息，回答下列问题：(1)A,B 两点之间的距离是多少？ (2)B,C 两点之间的距离是多少？ 解：点A 表示的数是2，点B 表示的数是-43，点C 表示的数是-3. (1)A,B 两点之间的距离是|2−(−43)|=|2+43|=103; (2)B,C 两点之间的距离是|(−43)−(−3)|=|−43+3|=53.【迁移应用】1.数轴上表示-8的点与表示2的点之间的距离为______.2.数轴上表示-3.7的点与表示-1.9的点之间的距离为_______.3.如图，数轴上M，N两点所对应的数分别为m，n，则m-n的结果可能是( )A.-1B.1C.2D.3（六）小结梳理五、教学反思。
数学的魅力
数学的空间之美
四 叶 玫 瑰 线
带墨
比
乌
对
斯
数
螺
线
四、 数学在建筑中的应用 4.1 建筑依赖于数学 4.2 建筑学未来在很大意义上决定于数学的发展
4.3 建筑，只有数与形的结合，才更具有神韵
4.1 建筑依赖于数学
建筑美学作为自然科学的一个分支，其发展变化同样依赖于 数学科学的不断发展。
拜占庭时期的建筑师将正方形/圆形和球体的概念与拱顶漂亮的 结合在一起。如土耳其君士坦丁堡的圣索菲亚大教堂。
在自然界中黄金分割也广泛的存在，比如说向光的相邻两片叶 子的叶柄的的角度大部分是成137度28分的，而这个角度恰好是把一 个圆分成为1：0.618，又是一个完美的黄金分割。伟大的金字塔， 巴黎圣母院都存在着大量的关于黄金分割的比例。
数学的空间之美
审美实践告诉我们，人们对美的感受都是直接由形式引起 的。但数学的形式美还不单纯表现在自然数所表现的这些许花 样上，和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形式 美的享受。
7.1 古代数学的成就
7.1.2 勾股定理
据《周髀算经》记载：“故折矩以为句广三，股 四，径隅五。既方其外 ，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故 禹之所以治天下者，此数之所，由生也。”这段话的意思是：将矩的两直角 边加以折算成一定的比例，短直角边长（句）3，长直角边长（股）4，弦就 等于5，得成3、4、5。句（即勾）、股平方之和为25，这称为积矩。也就是 我们理解的中的：a²+b²=c²大禹所用的治天下（指治水）的方法，就是从这 些数学知识发展出来的。
主要内容
一
什么是数学之美
பைடு நூலகம்二 数学在音乐中的应用
数学的魅力
素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想 素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理 造密码
9
6．哥尼斯堡七桥问题
(“抽象”的典型，图论的起源)
10
11
12
7．庞加莱：
地球上任何时候总有一处风速为0
13
8． 把5个重要常数和谐地统一 在一个等式中
i
e
1 0
14
二、数学的“用处”
35
为了下面表述得清楚，我们把前面的一 个结论用“反面说法”，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可以
取胜。”
然后再讨论 a、b、c 的不同情况。以其中
最小的a为“主要线索”分情况讨论。
36
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 , b , c）。
下面再 对 b 分情况。
由于a < b < c ,即 a、b、c “前小后大”，因此
这个命题不好。
5
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
6
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
曲边形
7
4．圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
第三节 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
2
16
《数学的魅力》完整版教学课件PPT
数学是什么？
数学是人们生活、劳动和学习必不可少的 工具，能够帮准人们处理数据，进行计算 、推理和证明，数学模型可以有效地描述 自然现象和社会现象，数学为其它科学提 供了语言、思想和方法，是一切重大技术 发展的基础；数学在提高人的推理能力、 抽象能力， 想象力和创造性等方面有着 独特的作用；数学又是人类的一种文化， 它的内容、思想、方法和语言是现代文明 的重要组成部分。
读一读
• 耐人寻味的0618618;
数学与艺术
光效应艺术的光感、幻感和动感源自 于画面本身所拥有的特殊动力特质。 线条，如垂直线、水平线、曲线的规 律性排列，形状，如圆形、正方形、 长方形的周期性组合，以及色彩的并 置、重叠、围绕、渐变等，给视网膜 带来了特殊的刺激。
数学缔造完美
－－－黄金分割
上 海 东 方 明 珠 电 视 塔
观察 欣赏
世界艺术珍品——维纳 斯，女她神是西元前一 百多年希腊雕塑鼎盛时 期她的的代上表半作， 身和下半身的比值接近 0618
观察 欣赏
你知道芭蕾舞演员跳 舞时为什么要掂起脚 尖吗
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有058左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm这时比 值就接近0618了,给人以更 为优美的艺术形象
著名画家达•芬奇的蒙娜丽 莎构图完美的体现了黄金 分割在油画艺术上的应用。 通过下面两幅图片可以看 出来，蒙娜丽莎的头和两 肩在整幅画面中都完美的 体现了黄金分割，使得这 幅油画看起来是那么的和 谐和完美
古埃及胡夫金字塔
文明古国埃及的 金字塔，形似方 锥，大小各异。 但这些金字塔底 面的边长与高之 比都接近于0618
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
学而不思则罔
第一课时——走进数学世界完整版课件
第一课时——走进数学世界完整版课件一、教学内容本节课选自《数学基础》第一章“数学与生活”，具体内容包括：数学的起源、数学的应用领域、数学基本概念及数学符号的认识。
详细内容涉及第1.1节“数学的发展简史”、第1.2节“数学与日常生活”以及第1.3节“数学语言与符号”。
二、教学目标1. 了解数学的起源与发展，理解数学在现实生活中的重要性。
2. 掌握数学基本概念及数学符号，能够运用数学语言进行简单描述。
3. 培养学生的数学思维和抽象概括能力，激发学生对数学学科的兴趣。
三、教学难点与重点重点：数学的基本概念、数学符号的认识及运用。
难点：数学在现实生活中的应用，以及如何运用数学语言进行描述。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：数学课本、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示现实生活中的数学现象，如建筑物的几何形状、购物时的价格计算等，引发学生对数学的思考，导入新课。
2. 知识讲解（10分钟）（1）介绍数学的起源与发展，阐述数学与现实生活的密切关系。
（2）讲解数学基本概念，如自然数、整数、分数等。
（3）介绍数学符号，如加减乘除、等于、大于、小于等。
3. 例题讲解（15分钟）讲解数学在现实生活中的应用实例，如购物找零、长度测量等。
4. 随堂练习（10分钟）发放练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 数学发展简史2. 数学基本概念3. 数学符号4. 数学在生活中的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）简述数学的起源与发展。
（2）举例说明数学在现实生活中的应用。
2. 答案：（1）数学起源于古代，经过数千年的发展，已经渗透到各个领域。
（2）例如，购物时计算价格、测量长度等。
（3）5>3，8<12。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过讲解数学的起源、基本概念及数学符号，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学生的数学思维。
第一章 第三节 数学的魅力 (第二课时)
第一章绪论第三节数学的魅力（第二课时）教学目标通过一些实例，让学员初步感受数学的魅力。
教学过程（六）素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。
自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。
素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。
由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。
又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。
素数很早就被古希腊的数学家所研究。
2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。
（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。
）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。
至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。
有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。
有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。
三个关于素数规律的问题从加法的角度研究素数两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。
后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。
前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。
从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。
算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。
未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。
解决问题的本质困难，也在这两个步骤。
虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数a，例如200位的数a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的。
这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路。
数学讲座数学的魅力ppt课件
2.大圆里面套着四个小圆，大小圆间有四片空地，四个小圆间有四块重叠部分。是空地面积大，还是重叠部分大？ [讲解] : S空=S大圆－{4S小圆－S重} =πR²－4πr²+ S重 =π(2r)²－4πr²+ S重 =0+ S重 = S重
A
5.魔术师把扑克牌交给观众，请他从中秘密地拿出一叠（数目任意，不要少于10张）。请观众自已数好这叠牌的张数，再请观众把张数的十位数字与个位数字相加，记住答数a（不要讲出来），并从这叠扑克中取走a张。魔术师让观众把取走a张后剩下的这叠牌放到自己手中，他不数数目，只要稍微“秤秤”，就能将能准确说出张数 [估算法] 设拿出的牌数是 ab=10a+b 剩下数目为： 10a+b-(a+b)=9a 即：剩下的数目为9的倍数，总是9、18、27、36或45 再根据估计：推测手中牌大致多少张，挑选上述5个数中最 接近的一个就能猜到了。
E （当年）
F
G（现）
D(当年)
A
B
李明 弟弟
四.数学思维 1.变换角度。以下等式不成立，但如应用某一规律就可成立，你知道吗？ （1）3+4=1 （2）4+6=1 （3）1+2=1 （4）2+2=1 （5）7+5=1 （6）123+242=1 [解答]（1）3天+4天=1周 （2）4天+6天=1旬 （3）1旬+2旬=1月 （4）2季+2季=1年 （5）7月+5月=1年 （6）123天+242天=1年 2.空间想象 。 请你用3根木棒组成12个直角 [解答]
5.反证思维 某国王一贯认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲的救世主”。他在处决犯人之前，要叫他们自己去抽鉴，以决定未来的命运，所谓“鉴”，只是两张小纸片。一张上写着“活”字，另一张写着“死”字“。如果抽到”活“字，就可幸免一死。 有一天，一个囚犯将做处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸都写了”死“字去让他抽。心想，：这下子你可要到阎王老子那里去报到了吧。不料，不知哪个人把这个消息透露给了犯人，犯人一听，乐的眉开眼笑，他高兴的说“这下子我可以死里逃生了，他用了什么办法呢？ [解答] 原来，国王宣布抽鉴仪式开始以后，那犯人胸有成竹，不慌不忙地抽出一张纸片，二话没说，就放进嘴里，吞下了肚子，这下子倒使在场的人，一齐慌了手脚，因为谁也搞不清楚，犯人抽到的是”死“还是”活“。 只听国王一声断喝：”混蛋！你们都是一些饭桶，连这点小事都办不来，你们只要查看一下剩下的那张纸片就是了，剩下来的那张纸片上面写的是“死”字。 由此反证，该犯人吞下的那张纸条上写的是“活”字， 国王下令，把犯人痛打30大板，以责怪他不该擅自吞吃纸片，随后把他释放了。 这就是反证灵活应用的一次成功实例！
数学的魅力-例子
三个关于素数规律的问题
从加法的角度研究素数 从乘法的角度研究素数 找一个公式来表示素数
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从加法的角度研究素数
两个猜想：
每个足够大的偶数都是两个素数的和；
每个足够大的奇数都是三个素数的和。 后一个猜想1937年已被证明；前一个猜想至今却既 没有人举出反例，也没有人给出证明。 前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。
法，同时也体会它的困难所在。
29
LOGO
a是否素数
a = b × c b是否素数 …………
30
LOGO
解决问题的困难
不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前
面的两步。即，如何较快地判断“a是否素数”；及
当判断出a不是素数后如何较快地找到b，得到a = b
× c 。
31
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这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量
（向量组的秩；矩阵的秩）
13
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五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于
1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。
他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具
有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色
就够了。
14
LOGOBiblioteka 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟 弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰 出的英国数学家德〃摩根，希望帮助给出证明。 德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要 四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变 得简明，把看起来混乱的事物理出规律。
5
第一章有理数、第3节有理数的加减法(1)优 教学设计与反思
设置情境，引入课题分析问题，探究新知回顾用正负数表示数量的实际例子；在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．若红队进4个球，失2个球，则红队的净胜球数可以怎样表示？师：如何进行类似的有理数的加法运算呢？这就是我们这节课一起与大家探讨的问题．（出示课题）如果是球队在某场比赛中上半场失了2个球，下半场失了3个球，那么它的净胜球是几个呢？算式应该怎么列？若这支球队上半场进了2个球，下半场失了3个球，又如何列出算式，求它的净胜球呢？思考：请同学们想想，这支球队在这场比赛中还可能出现其他的什么情况？你能列出算式吗？与同伴交流。
，教师进一步引导学生可以把两个有理数相加归纳为同号两数相加、异号两数相加、一个数同零相加这三种情况．2，借助数轴来讨论有理数的加法．I.一个物体向左右方向运动，我们规定向左运动为负，向右为正，向右运动5m，记作5m，向左运动5m，记作－5 m.（1）（小组合作）把我们已经得出的几种有理数相加的情况在数轴上用运动的方向表示出来，并求出结果，解释它的意义．学生进入情境。
激发求知欲。
学生思考回答学生相互交流学生听讲学生分小组活动学生归纳让学生感受到在实际问题中做加法运算的数可能超出正数的范围，体会学习有理数加法的必要性，激发学生探究新知的兴趣．再次创设足球比赛情境，一方面与引题相呼应，联系密切，另一方面让学生在此情境中感受到有理数相加的几种不同情形，并能将它分类，渗透分类讨论思想．估计学生能顺利地得到（＋）＋（＋），（＋）＋（一），（一）＋（＋），（一）十（－），0＋（＋），0＋（一）．但不能把它归的为同号异号等三类，所以此处需教师．点拔、指扎，体现教师的引导者作用．①假设原点0为第一次运动起点，第二次运动的起点是第一次运动的终点．②若学生在学习小组内不能很好地参与探究，也可以让其参照教科书第17页的“探究”自主进行．③让学生感受“数学模型”的思想．④学会与同伴交流，并在交流中获益．培养学生的语言表达能力和归纳能力，也许学生说解决问题课堂练习例1计算：（1）（－3）＋（-9）；（2）（－5）＋13；（3）0十（－7）；（4）（-4.7）＋3.9.教师板演，请同学们比较，有理数的加法运算与小学时候学的加法有什么异同？（如：有理数加法计算中要注意符号，和不一定大于加数等等）例2足球循环赛中，红队4：1胜黄队，黄队1：0胜蓝队，蓝队1：0胜红队，计算各队的净胜球数．教师板书请学生说一说在生活中用到有理数加法的例子。
(修改2014) 第三讲：第1章第三节,数学的魅力
点” 这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听
到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给
出找到零点的方法。
27
杭州市江干区
至少有两个人头发根数一样多 构造性证明 ：
一个一个地去数杭州市江干区 中所有人的头发 根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张 三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
i 1
证明： s i 110i 1 2 10i 2 ... i 100 10si 10i 2 10i 1 ... i 101 (2) (1)得： 9s i 10i 10i 1 ... 101 i 1 1 i 1
把三个角撕到一起验证180度 或把三个角折到一起验证180度 小学数学中的很多结论尽管都是用直观实验的办法
验证，但同样要遵守逻辑规则。 进一步验证： 提出问题：三角形内角和为180度 验证： 1.长方形的四个角都是90度，其和为360度（已知 判断） 2.将长方形纸沿对角线剪成两个直角三角形，每个 直角三角形的内角和为180度。（新判断）
……能归纳得到猜想吗？
它在何时终止？
缺8数
8=发？
12345679缺8.
但是：12345679×9=111 111 111（清一色！）
12345679×18=222 222 222 …… 12345679×72=888 888 888 (就发！？） 12345679×81=999 999 999 （九五之尊？） …… 发挥你的数学素养：特殊到一般，归纳总结，得到猜想。 能证明吗？怎样证明？
明！方法：1）构造性证明；2）纯存在性证 明） 构造性证明：如： a=88209k,b=90288k,c=126225k.那么，对任 一正整数k,数组a,b,c都是一组勾股数。
人教版七年级数学上册：1.3.1《有理数的加法》教学设计1
人教版七年级数学上册：1.3.1《有理数的加法》教学设计1一. 教材分析《有理数的加法》是人教版七年级数学上册第一章第三节的第一课时，本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的概念和运算法则的基础上进行授课的。
有理数的加法是数学中基本的运算之一，它不仅在生活中有广泛的应用，而且是学习更高级数学知识的基础。
本节课的内容主要包括有理数的加法法则、加法的运算律以及加法在实际问题中的应用。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，他们对于有理数的概念和运算法则已经有了一定的了解。
但是，学生在进行有理数的加法运算时，可能会对加法的运算律和有理数的加法法则理解不深，导致在实际运算中出现错误。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，深入理解加法的运算律和有理数的加法法则，提高他们的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握有理数的加法法则，理解加法的运算律，能够熟练地进行有理数的加法运算。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等方式，培养学生解决问题的能力和团队合作的精神。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：有理数的加法法则和加法的运算律。
2.难点：理解有理数的加法法则，能够灵活运用加法的运算律进行运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引导学生理解和掌握有理数的加法法则。
2.问题驱动法：通过设置问题，激发学生的思考，培养他们解决问题的能力。
3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作精神和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，内容包括有理数的加法法则、加法的运算律以及实际问题的应用。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生进行加法运算。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入有理数的加法运算，例如：“小明有3个苹果，小红给了小明2个苹果，请问小明现在有多少个苹果？”引导学生进行思考和讨论。
七年级数学上册(华师版)课件-第1章 走进数学世界
第1章走进数学世界第1课时数学伴我们成长人类离不开数学1．使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，形成应用数学的意识；2．使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程．重点加强数学意识．难点数学能力的培养．一、创设情境1．现在让我们进入时空的隧道，回忆我们的成长历程：出生——学前——小学，我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗？不妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子．试一试．2．进入小学，我们正式开始学习数学．回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些？二、探究新知1．数学伴我们成长人来到世界上的第一天就遇到数学，数学将哺育着你的成长．从生活的一系列活动中，我们会逐渐意识到这一切的一切都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关．另外，数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明了．2．人类离不开数学(1)到商店买东西，算账时用到数学，生病住院对身体进行检查时所测量的指标等用到数学，在我们身边的各种建筑物的几何图案等用到数学．(2)自然界的数学不胜枚举．如蜜蜂营造的蜂房，它的表面就是由奇妙的几何图形——正六边形构成的．这种蜂房消耗的材料最少．这里竟还有一个关于节约的数学道理在里面呢！(展示蜂房图)(3)举出有关存在于自然界中的数学实例和人类文化中的数学实例．(4)人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙飞船航行，任何时候都受数学的恩惠和影响，到处都体现着人类数学智慧的结晶．(展示东方明珠、长征二号火箭和“神舟”号实验飞船、半潜式海洋钻井平台等图片)(5)我们走在人行道上，常见到由各种图案的地砖铺设成的地面．(展示有关道路铺设平面图)(6)人类在进步，社会在发展．随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用．买卖与批发、存款与保险、股票与债券等，几乎每天都会碰到，而这些经济活动无一能离开数学．(展示2006年以来全国食糖销售按月统计图或其他统计图)三、练习巩固1．某单位决定组织48名员工坐船游玩水上公园，工会负责人购票时看到如下的价目表：船型每只限载人数(人) 每只租金(元/h)大船 5 6小船 3 4于是他花60元买了6张大船票和6张小船票，他觉得自己购买的是最划算的(即所付租金最少)．请同学们帮助计算一下，这是真的吗？2．如图所示的大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形？请你画出拼成的图形．四、小结与作业小结1．本节课你学到了哪些知识？2．通过本节课的学习你有什么体会．作业1．请你根据到银行了解到的各种定期储蓄类型的年利率计算，如果以100元为本金分别参加这几种储蓄，那么到期所得的利息各是多少？2．用六根长短一样的小棍搭摆成四个一样的等边三角形．新课标明确告诉我们，教学已不再是教师的专利了，应把学习的主动权还给学生．只有让学生在和谐的学习氛围中互相质疑、互相欣赏、互相帮助才能把学生吸引住．通过观察、思考、计算、论证等一系列活动，使学生明确数学与我们的生活紧密相连，增强学生学习数学的兴趣．第2课时人人都能学会数学1．使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心；2．使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯；3．使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”．重点如何培养学生对数学的兴趣．难点学生对数学的感性认识．一、创设情境数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，人人都能学好数学，在多媒体屏幕上展示祖冲之、华罗庚、陈景润、苏步青、高斯的图片，并播放《华罗庚的故事》，谈谈你的感受．二、探究新知师：数学并不神秘，不信，大家通过下面几个问题的探索，就会觉得“我也是行的”．(一)观察发现，提出猜想1．你知道少年高斯是怎样快速算出1＋2＋3＋…＋100的结果的吗？2．计算：1＋2＋3＋ (99)2＋4＋6＋ (100)通过计算，你发现其中的规律了吗？待学生活动后，教师引导学生将结果与梯形的面积公式进行类比，给予激励性评价．(二)铺一铺，展一展(用线或长方形纸实验)下图是6级台阶的侧面示意图，如果要在台阶上铺地毯，那么至少要买适合台阶宽度的地毯多少米？若每级台阶宽为2米，地毯每平方米30元，问买地毯至少需要多少元？教师电脑动画演示．(三)发挥创设，巧妙构思请以给定的图形“○○、△△、＝”(两个圆，两个三角形，两条平行线段)为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．电脑显示教师制作的图形与学生分享．三、练习巩固1．假设定期储蓄1年期、2年期、3年期、5年期的年利率分别为2.25%， 2.43%，2.70%和2.88%.试计算1000元本金分别参加这四种储蓄，到期所得的利息各为多少？分析结果，你能发现什么？(提示：利息＝本金×年利率×储存年数)2．在第十届“哈药六杯”全国青年歌手电视大奖赛上，8位评委给某选手所评分数如下表，计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分．请你算一算该选手的最后得分．评委 1 2 3 4 5 6 7 8评分9.8 9.5 9.7 9.9 9.8 9.7 9.4 9.8四、小结与作业小结通过本节课的学习，请同学们说说收获和体会．作业在歌手电视大奖赛上，10个评委亮分之后，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？大奖赛上，常常要去掉一个最高分和一个最低分，其目的是要略去评委评分中可能出现的异常值，使得一个或两个评委的个人意愿不至于影响参赛歌手的总成绩．让我们再看一个极端的例子．某大奖赛有7名评委，他们给甲、乙两选手打的分数分别是：甲：9.55，9.55，9.55，9.55，9.55，9.60，9.90；乙：9.50，9.60，9.60，9.60，9.60，9.60，9.70.凭直觉，你认为哪个选手比较好一点？在本节课的教学中，紧紧抓住数学与实际生活的联系，让学生尝试用数学知识去解决实际生活中的一些简单问题，增强学生学习数学的兴趣，初步培养学生应用数学的意识．。
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第一章绪论
第三节数学的魅力（第一课时）
教学目标
通过一些实例，让学员初步感受数学的魅力。
教学过程
一、导入
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，是无声的音乐；数学，是无色的图画。
数学，有无穷的魅力！
二、新授
（一）渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F – E = 1（二维情形）
多面体的欧拉公式
V + F – E = 2
（二）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多
标题中的这个命题是一个“存在性命题”，可以叙述为：任何一个省会城市中，一定存在两个头发根数一样多的人。
通常有两类证明方法：
一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；
一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
这里介绍一个事实：任何一个人的头发根数都不会多于20万根的，省会城市中的人数则远远大于20万。
例如设为70万人。
把头发根数为1至头发根数为20万分别当作20个抽屉，把70万个人放到20万个抽屉里，根据抽屉原理，则至少一个抽屉里有两个或者两个以上的人，而同一个抽屉里的人，就是头发根数一样多的人。
这里并没有具体给出哪两个人头发根数一样多，但是依靠逻辑推理，让你不得不承认，确实存在两个头发根数一样多的人。
这就是纯存在性证明的方法，这就是数学推理的力量。
（三）圆的魅力
圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。
这个给定的点称为圆的圆心。
作为定值的距离称为圆的半径。
当一条线段绕着它的一个端
点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。
根据定义，通常用圆规来画圆。
圆作为一条闭合的曲线，将平面分为两个部分，即圆的内部和圆的外部。
日常生活中的圆既可以指作为边界的曲线（这时也称为圆周），也可以指这条曲线以及它内部的部分的总和（这时也称为圆盘）。
圆周的长度
称为圆的周长。
圆是特殊的椭圆，所以是圆锥曲线的一种。
当椭圆的离心率等于0，
也就是说两个焦点重合时，就是一个圆。
换句话说，圆是用垂直于圆锥对称轴线的平
面截取圆锥所得到的平面曲线。
圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。
古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。
在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上
钻孔，那些孔有的就很圆。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放
在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。
古代人还
发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫
在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。
大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，但不一定就懂得圆的性质。
古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。
意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
周长与直径之比是一个常数，这个常数是无理数、超越数
面积相等的图形中圆的周长最短
规尺作图化圆为方不可做
（四）“三角形三内角之和等于180度，这个命题不好”
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后
来又多次说过。
所以，这不是随便说的一句话。
陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
而 n 边形 n 内角之和为360度较好。
数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中“变中有不变”本质属性。
从“三角形三内角之和等于180 度”这个命题，可以推出“n 边形 n内角之和等于180 度× ( n-2 )”的命题。
方法是在凸n 边形内添加( n-3 )条辅助线，使n 边形变为( n-2 )个三角形。
例如，图5所示的凸7边形就可以通过添加4
条辅助线，使7 边形变为5个三角形。
然后，再利用“三角形三内角之和等于180 度”便完成证明。
客观事物都是处在不断地运动和变化中的。
在这种运动和变化中，事物的
大多数性质也会随之改变；但可能有些性质却相对稳定，并不改变，这就是“变中有不变”。
这种“变中有不变”的性质，在事物变化时具有相对的稳定性，说明它反映了事物的某种本质，值得我们更加专注地研究。
数学家就有这样的眼光，善于抓住事物中“变中有不变”的性质，善于抓
住事物的本质。
在这样的意义下，陈省身先生说，“三角形三内角之和等于
180度，这个命题不好”，而“n 边形 n 外角之和等于360 度”这个命题较好。
类比地想一想，数学家在许多场合下都是这样看问题的。
直角三角形可以千变万化，但无论怎样变化，斜边的平方都等于两条直角
边的平方和，这就是直角三角形中“变中有不变”的性质，描述了直角三角形
的本质。
这就是“勾股定理”。
圆的大小也可以千变万化，圆的周长及直径都随之变化，但无论圆怎样变化，圆的周长与直径的比，是“变中有不变”的性质，描述了圆的本质。
这个比值就是“圆周率”。
（五）四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。
他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
但是他证明不了这一猜想。
于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。
弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德•摩根，希望帮助给出证明。
一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。
1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。
1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。
1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。
1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。
但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
到1976年6月,他们终于获得成功。
他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。
这是一个惊人之举。
当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。