第二十二届北京市大学生数学竞赛(经管类)答案

其特征方程为 r 2 + 1 = 0 ，求出对应齐次方程的通解为Y = C 1 sin x + C 2 cos x
2
-----------------------------2 分 设特解为 y ∗ = x (A sin x + B cos x ) 带入原方程求出： A = 0, B =
1 . 2
D1 D2
(
)
(
)
= ∫∫ dx dy + ∫∫ dx dy -----------------------------3 分
D1 D2
= 2∫ d x ∫
0
1
4 −x 2
3x
d y + 2∫ d x ∫ d y = 2∫ d x ∫
0 0 0
1
3x
1
4 −x 2
0
dy =
22 . --------------4 分 3
之间，从而 lim bn 存在，其
n →∞
∑ (1 + a )(1 + a
n =1
∞
a
)" (1 + a n )
当 0 < a ≤ 1 时收敛，当 a > 1 时发散.
-----------------------------3 分
5
六、 （本题 10 分）设 f (x ) 在区间 [ −1,1] 上连续且为奇函数 , 区域 D 由曲线
y = 4 − x 2 与 y = −3x 、 x = 1 所围成, 求 I = ∫∫ 1 + f (x ) ln(y + 1 + y 2 ) dx dy .
D
(
)
解
令
F (x , y ) = f (x ) ln(y + 1 + y 2 ) ，
1 a 2 1 ， 0 < a1 = < 1 = bn = 2 n 2 n a (1 + a )(1 + a )" (1 + a ) (1 + a1 )(1 + a1 )" (1 + a1 )
令 cn = (1 + a1 )(1 + a12 )" (1 + a1n ) ，显然 {cn } 单增. -----------------------------2 分 下证其有界。 由 x > 0,ex > 1 + x 可知
1 1 1 1 n +1 1 1 n ( )d ( ) xf x x x f x = − ( f (x ) + xf ′(x ) ) x n d x ∫ ∫ 0 0 0 n n n
=
1 1 1 f (1) − ∫ ( f (x ) + xf ′(x ) ) x n d x -----------------------------5 分 n n 0
x 0
∫
x
0
f (t ) d t − xf (x ) + xf (x ) ，即
f ′(x ) = cos x − ∫ f (t ) d t ，代入 x = 0 得 f ′(0) = 1 .
两边再求导数得： f ′′(x ) + f (x ) = − sin x ，
y ′′ + y = − sin x , y (0) = 0, y ′(0) = 1 .-----------------------------2 分 于是得到微分方程：
如图所示，因为 D = D1 + D2 ．显然，在 D1 上 F ( −x , y ) = −F (x , y ) ；在 D2 上
F (x , −y ) = −F (x , y ) ．-----------------------------3 分
所以
I = ∫∫ 1 + f (x ) ln(y + 1 + y 2 ) dx dy + ∫∫ 1 + f (x ) ln(y + 1 + y 2 ) dx dy
∑ (1 + a )(1 + a
n =1
∞
a
n (n +1) 2 2
)" (1 + a n )
的敛散性.
4
a (1 + a )(1 + a 2 )" (1 + a n ) 由达朗贝尔判别法知道，当 a ≤ 1 时级数收敛。-----------------------------5 分 （2）设 a > 1
lim g ′(x ) = lim
x →0
xf ′(x ) − f (x ) xf ′′(x ) 1 故而 = lim = f ′′(0) , 从而 lim g ′(x ) = g ′(0) ， 2 x →0 x →0 x →0 x 2x 2
g ′(x ) 在点 x = 0 连续，从而处处连续. -----------------------------2 分
三、 （本题 10 分） 设 f (x ) 在 [0,1] 上可导, 当 0 ≤ x ≤ 1 时, 0 ≤ f (x ) ≤ 2 ; 且对区 间 (0,1) 内所有 x 有 f ′(x ) ≠ 2 , 证明: 在 [0,1] 上有且仅有一点 ξ , 使得 f (ξ ) = 2ξ .
1
证明 令 F (x ) = f (x ) − 2x , 则 F (1) = f (1) − 2 ≤ 0 , F (0) = f (0) ≥ 0 . 由连续函 数的介值定理可知: 至少存在一点 ξ ∈ [0,1], 使得 F (ξ ) = 0, 即 f (ξ ) = 2ξ . -----------------------------5 分 倘若还有一点η ∈ [0,1], η ≠ ξ , 使得 F (η ) = 0 , 由罗尔定理可知: 在 ξ 与η 之间存在一点 ζ , 使得 F ′(ζ ) = 0 , 即 f ′(ζ ) = 2 , 这与已知矛盾. 故原命题成立. -----------------------------5 分 四、 （本题 10 分）设函数 f (x ) 在区间 [0,1] 上连续，并设
第二十二届北京市大学生数学竞赛试卷参考答案(经济管理类) 一、(本题 30 分, 每小题 3 分) 填空题 1. 6ln 5 ; 8. 4π ; 2. 极小值; 3.
π
4
;
4. 5;
5.
1 ; 6. c ; 6
7. 47;
9. y = C 1 [y1 (x ) − y 2 (x )] + C 2 [y 2 (x ) − y 3 (x )] + y1 (x ) ; 10. ( − ln 3,ln 3)
对 所 有 x ∈ [0,1] , 有
由 于 f ′(x ) 在 [0,1] 上 连 续 , 所 以 存 在 M > 0,
f (x ) + xf ′(x ) ≤ M , -----------------------------2 分
从而
∫ ( f (x ) + xf ′(x ) ) x
0
1
n
d x ≤ ∫ f (x ) + xf ′(x ) x n d x
0
1
= ∫ f (x ) d x ∫ f (y ) d y = A2 .
0
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分 因此
∫
1 0
1 1 d x ∫ f (x )f (y )d y = A2 .-----------------------------2 分 x 2
五、 （本题 10 分） 设 f (x ) = sin x − 解 原方程变形为
3
4
y
y = 4 − x
2
D1
y = −3 x
o
D2
1
x
பைடு நூலகம்
x =1
七、 （本题 10 分） 设 f (x ) 在区间 [0,1] 上有连续导数, n 为正整数, 证明:
∫x
0
1
n
f (x ) d x =
f (1) ⎛1⎞ +o ⎜ ⎟ n ⎝n ⎠
(n → ∞ ) .
证明
∫
1
0
x n f (x ) d x =
0
x
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
2∫
d x ∫ f (x )f (y ) d y
x
1
=∫
d x ∫ f (x )f (y ) d y + ∫
0 1 0
x
1 0
d x ∫ f (x )f (y ) d y = ∫
x
1
1 0
d x ∫ f (x )f (y ) d y
连续.-----------------------------3 分 （2） g (x ) 在 x = 0 点的可导性
f (x ) − f ′(0) g (x ) − g (0) x g ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x −0 x f (x ) − xf ′(0) f ′(x ) − f ′(0) 1 lim = lim = = f ′′(0). x →0 x →0 x2 2x 2
-----------------------------3 分 （3） g ′(x ) 的连续性 由（2）可得
⎧ xf ′(x ) − f (x ) ,x ≠ 0 2 ⎪ ⎪ x g ′(x ) = ⎨ ⎪ 1 f ′′(0), x =0 ⎪ ⎩2
-----------------------------2 分
0
1
≤ M ∫ xn dx =