第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答.

.
0
10 ． 设 C 是 从 球 面 x2 + y2 + z2 = a2 上 任 一 点 到 球 面 x2 + y2 + z2 = b2 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
∫ (a > 0,b > 0) ，则 r3(xdx + ydy + zdz) = C
，其中 r = x2 + y2 + z2 .
1 ，则 lim
n +1
n→∞
1 n +1
n k =1
xk
=
.
8．设
f
(x)
在点
x
=
0
可导，且 lim x→0
cos x −1 e f (x) −1
= 1 ，则
f
′(0)
=
.
1
∫ 9．设 f (x) 满足 f (tx)dt = f (x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时，f ′(x) =
=
2
，则
a
=
.
2．若 ∂2z = 0 ，且当 x = 0 时， z = sin y ；当 y = 0 ， z = sin x ，则 z =
.
∂x∂y
∑ 3． ∞ n +1 =
n=0 n!
.
∞
∞
∑ ∑ 4．设幂级数 an (x +1)n 的收敛域为 (−4, 2) ，则幂级数 nan (x − 3)n 的收敛区间为
ai ≠ 0 ，证明：若 f (x) 有 n 个相异的实根，则 ak−1ak+1 < 0 .
第十三届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛
本科甲、乙组试题
（2001 年 10 月 13 日 上午 9:00~11:30）
准考证号
姓名
学校
注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题.
一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回）
0 x
=
.
(∫ f (t)dt)2
0
∫∫∫ 8．设 Ω 为区域 x2 + y2 + z2 ≤ 1，则
Ω
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 ( a2
+
y2 b2
+
z2 c2
)dv =
.
9．若可微函数 f (x, y) 对任意 x, y,t 满足 f (tx,ty) = t2 f (x, y) ，P0 (1, −2, 2) 是曲面 z = f (x, y) 上的一点，
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
0
，试求
f
(r)
的表达式.
五、设 u = f (x, y, z) ， f 是可微函数，若 fx′ = f y′ = fz′ ，证明 u 仅为 r 的函数，其中 r = x2 + y2 + z2 . xyz
六、设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上有定义，在 x = 0 的某个邻域内有一阶连续导数，且 lim f (x) = a > 0 ， x→0 x
∑ ∑ 证明 ∞ (−1)n f ( 1 ) 收敛，而 ∞ f ( 1 ) 发散.
n=1
n
n=1 n
七．一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下.一台扫雪机，从上午 8 点开始在公路上扫雪，到 9 点前进了 2 公里，到 10 点前进了 3 公里.假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？ 以下两题乙组同学不做
二 、 设 f (x) 是 (0, +∞) 上 递 减 的 连 续 函 数 ， 且 f (x) > 0 ， 证 明 数 列 {an} 收 敛 ， 其 中
n
n
an = ∑ f (k) − ∫ f (x)dx .
k =1
1
三、设 S 为椭球面 x2 + y2 + z2 = 1 的上半部 (z > 0) ，点 P ∈ S ， Π 为 S 在 P 点处的切平面， ρ (x, y, z) 22
∫∫ 为原点到平面 Π 的距离，求 I = z3ρ(x, y, z)dS . S
四 、 设 一 元 函 数 u = f (r) 当 0 < r < +∞ 时 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 且 f (1) = 0, f ′(1) = 1 ， 又
u= f(
x2
+
y2
+
z2
) 满足方程
∂2u ∂x2
二阶可导，且
dy dx
= (4 −
y)yβ (β
> 0)
，若
y
=
f
(x)
的一个拐点是
(x0 , 3)
，则
β=
.
5．设 y = 1+ x ，则 y(10) =
.
1− x
x=0
∫ 6．
1
dx =
(1+ x4 ) 4 1+ x4
+C .
x2
∫ f (t)dt
7．设 f (x) 具有一阶连续导数，且 f (0) = 0, f ′(0) = 1 ，则 lim x→0
1．若函数
f
(x)
=
⎧⎪ x k ⎨
sin
1 x
x ≠ 0 在 x = 0 处可导，则正整数 k 的最小值为
.
⎪⎩0
x=0
2．设由 y 轴、 y = x2 、 y = a(0 < a < 1) 所围的平面图形，由 y = a 、 y = x2 、 x = 1 所围的平面图形都
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积相等，则 a =
第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛
本科甲、乙组试题
（2000 年 10 月 14 日 上午 9:00~11:30）
准考证号
姓名
学校
注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题.
一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回）
1．若
lim
x→0
a tan x + b(1− cos x) ln(1− 2x) + c(1− e−x2 )
.
3．设
f
(
x)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨
x
2
0≤ x≤ 1 2 ，而
⎪⎪⎩1− x
1 < x ≤1 2
∑ s(x)
=
a0 2
+
∞ n=1
an
cos nπ
x
， −∞ < x < +∞
，其中
1
an = 2∫ f (x) cos nπ xdx, n = 0,1, 2, ，
0
则 s(− 9) =
.
2
4．设
y
=
f
(x)
.
n=0
n=0
1
1 ( 1 )2
5． ∫ tdt∫ e x dx =
.
0t
6．设 y = 1, y = ex , y = 2ex , y = ex + 1 都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方 π
程为
.
∑ 7．设数列{xn} 满足： n sin
1 n +1
<
xn
<
(n
+ 2) sin
八、设 f (x) 在闭区间[a, b] 有连续的二阶导数，且 f (a) = f (b) = 0 ，当 x ∈ (a, b) 时， f (x) ≠ 0 ，证明：
∫b f ′′(x) dx ≥ 4 .
a f (x)
b−a
九、设 f (x) = an xn + + a1x + a0 是实系数多项式， n ≥ 2 ，且某个 ak = 0(1 ≤ k ≤ n −1) 及当 i ≠ k 时，