第12_19届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

∑ na ( x − 3)
n=0 n
n
的收敛区间为
.
5． tdt e
0 t
∫ ∫
1 ( )2 x
dx =
.
6．设 y = 1, y = e x , y = 2e x , y = e x + 程为 .
1
π
都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方
7．设数列 { xn } 满足： n sin
0
∫
1
f ( x)
dx ∫ e − f ( y ) dy ≥ 1 .
0
1
九、 （1）构造一正项级数，使得可用根值审敛法判定其敛散性，而不能用比值审敛法判定其敛散性. （2）构造二级数
∑ un 和 ∑ vn ，使得 lim
n =1 n =1
∞
∞
n →∞
un = l 存在，且 0 < l < +∞ ，但二级数的敛散性不同. vn
2 2 2 2 2 2 2 2
( a > 0, b > 0) ，则 ∫ r 3 ( xdx + ydy + zdz ) =
C
，其中 r =
x2 + y2 + z 2 .
二 、 设 f ( x ) 是 (0, +∞ ) 上 递 减 的 连 续 函 数 ， 且 f ( x ) > 0 ， 证 明 数 列 {an } 收 敛 ， 其 中
2
= 2 ，则 a =
.
2．若
∞
∂2 z = 0 ，且当 x = 0 时， z = sin y ；当 y = 0 ， z = sin x ，则 z = ∂x∂y
.
∞
.
3．
∑
n +1 = n =0 n !
4．设幂级数
1 1
∑ a ( x + 1)
n =0 n
∞
n
的收敛域为 ( −4, 2) ，则幂级数
第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科甲、乙组试题
（2000 年 10 月 14 日 上午 9:00~11:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. 一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回） 1．若 lim
x →0
a tan x + b(1 − cos x) ln(1 − 2 x) + c(1 − e− x )
第十三届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科甲、乙组试题
（2001 年 10 月 13 日 上午 9:00~11:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. 一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回）
1 ⎧ k ⎪ x sin 1．若函数 f ( x ) = ⎨ x ⎪ 0 ⎩
an = ∑ f (k ) − ∫ f ( x)dx .
k =1 1
n
n
x2 y 2 三、设 S 为椭球面 + + z 2 = 1 的上半部 ( z > 0) ，点 P ∈ S ， Π 为 S 在 P 点处的切平面， ρ ( x, y , z ) 2 2
为原点到平面 Π 的距离，求 I =
∫∫ z ρ ( x, y, z )dS .
n+m
.
中 x n 的系数，则
∑a
n=0
∞
1
n
=.Βιβλιοθήκη 二 、 设 f ( x ) 在 [0,1] 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 f (1) = f (0) = f ′(1) = f ′(0) = 0 ， 证 明 ： 存 在 ξ ∈ (0,1) ， 使 得
f ′′(ξ ) = f (ξ ) .
π
三、设 an = tan n xdx, n ≥ 1 ，
∫ f (tx)dt = f ( x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时， f ′( x) =
0
.
10 ． 设 C 是 从 球 面 x + y + z = a 上 任 一 点 到 球 面 x + y + z = b 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
2 2 2
五、设 u = f ( x, y , z ) ， f 是可微函数，若
f x′ f y′ f z′ = = ，证明 u 仅为 r 的函数，其中 r = x 2 + y 2 + z 2 . x y z
x→0
六、设函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 上有定义，在 x = 0 的某个邻域内有一阶连续导数，且 lim
1 1 1 n ，则 lim < xn < (n + 2) sin xk = ∑ n →∞ n + 1 n +1 n +1 k =1
x →0
.
8．设 f ( x ) 在点 x = 0 可导，且 lim
1
cos x − 1 = 1 ，则 f ′(0) = e f ( x) − 1
.
9． 设 f ( x ) 满足
β=
8．
.
∫ (1 + x )
1 1 + x4
4 4
dx =
+C .
x2
9．设 f ( x ) 具有一阶连续导数，且 f (0) = 0, f ′(0) = 1 ，则 lim
x →0
( ∫ f (t ) dt )
0
0 x
∫ f (t )dt
=
2
.
10．设 m ≥ 1 为正整数， an 是 (1 + x)
f ( x) = a > 0， x
证明
∑ (−1)
n =1
∞
n
∞ 1 1 f ( ) 收敛，而 ∑ f ( ) 发散. n n n =1
七．一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下.一台扫雪机，从上午 8 点开始在公路上扫雪，到 9 点前进了 2 公里，到 10 点前进了 3 公里.假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？ 以下两题乙组同学不做 八、设 f ( x ) 在闭区间 [ a , b] 有连续的二阶导数，且 f ( a ) = f (b) = 0 ，当 x ∈ ( a, b) 时， f ( x ) ≠ 0 ，证明：
∫
a
b
f ′′( x) 4 . dx ≥ f ( x) b−a
+ a1 x + a0 是实系数多项式， n ≥ 2 ，且某个 ak = 0(1 ≤ k ≤ n − 1) 及当 i ≠ k 时，
九、设 f ( x ) = an x n +
ai ≠ 0 ，证明：若 f ( x ) 有 n 个相异的实根，则 ak −1ak +1 < 0 .
.
2．设 x ≥ 1，则 2 arctan x + arcsin
k n
2x = 1 + x2
.
.
3．设 xn =
∑
k =1
3n 1 n+ k
2
，则 lim xn =
n →∞
4．设 D 为闭区域 x + y ≤ 1 ，则
2
∫∫ (
D
x2 y 2 + ) dσ = a2 b2
.
5．设 f ( x ) 有任意阶导数， u = f ( xyz ) ，且
3 S
四 、 设 一 元 函 数 u = f ( r ) 当 0 < r < +∞ 时 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 且 f (1) = 0, f ′(1) = 1 ， 又
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u u = f ( x + y + z ) 满足方程 2 + 2 + 2 = 0 ，试求 f ( r ) 的表达式. ∂x ∂y ∂z
n+m
中 x n 的系数，则
∑a
n=0
∞
1
n
=
.
二 、 设 f ( x ) 在 [0,1] 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 f (1) = f (0) = f ′(1) = f ′(0) = 0 ， 证 明 ： 存 在 ξ ∈ (0,1) ， 使 得
f ′′(ξ ) = f (ξ ) .
三、某公司生产两类产品，根据经验，欲使产量分别增加 x 单位和 y 单位，需分别增加 x 单位和
0 0
∫
1
∫
1
第十四届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科甲、乙组试题
（2002 年 10 月 13 日 上午 9:00~11:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题. 一、填空题（每空 2 分，满分 20 分）
y单
位的投资，这时销售总收入将增加 3 x + 4 y 单位，现用 A 单位的投资生产这两类产品，问如何分配投资， 才能使销售总收入增量最大？
π
四、设 an = tan n xdx, n ≥ 1 ，
0
∫
4
（1）证明数列 {an } 收敛； （2）证明 an + an − 2 =
1 1 1 （3）证明 < an < . ,n > 2； 2(n + 1) 2(n − 1) n −1
，
an = 2 ∫ f ( x) cos nπ xdx, n = 0,1, 2,
0
1
则 s (− ) =
9 2
.
4 ． 设 y = f ( x) 二 阶 可 导 ， 且
dy = (4 − y ) y β ( β > 0) ， 若 y = f ( x) 的 一 个 拐 点 是 ( x0 ,3) ， 则 dx