(北京专用)2019版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及简单表示法课件理

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3.数列的表示方法
数列有三种表示方法,它们分别是⑦ 列表法 、⑧ 图象法 和⑨ 解析式法 .
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4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与⑩ 序号n 之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
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5.已知数列{an}的前n项和Sn,
⑪ S1 (n 1),
则an=⑫ Sn Sn1 (n 2).
第一节 数列的概念及简单表示法
总纲目录 教材研读
1.数列的定义 2.数列的分类 3.数列的表示方法 4.数列的通项公式 5.已知数列{an}的前n项和Sn,
考点突破
考点一 由an与Sn的关系求通项an
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
考点三 数列的性质
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教材研读
1.数列的定义
按照① 一定顺序 排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这 个数列的② 项 .
(22)
(3)2n+1-3an=
n
2
1=
n
= 1-
n(n 1)
,1
n
1 n 1
则n≥2时,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1
+1
2
+12
13+…+13
1,
4
n
1 1
1 n
即n≥2时,an-a1=1- 1 ,又∵a1=1 ,
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考点突破
考点一 由an与Sn的关系求通项an
典例1 已知数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.
解析 (1)当n=1时,a1=S1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)] =4n-5, 又a1=-1也适合上式,因此an=4n-5(n∈N*). (2)当n=1时,a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1. 当b=-1时,a1适合上式;当b≠-1时,a1不适合上式. ∴当b=-1时,an=2·3n-1(n∈N*);
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2.数列的分类
分类原则
类型
按项数分类
有穷数列
无穷数列
按项与项 间的大小 关系分类
递增数列
递减数列
常数列
按其他 标准分类
有界数列
摆动数列
满足条件 项数③ 有限 项数④ 无限 an+1⑤ > an
其中n∈N*
an+1⑥ < an an+1=an 存在正数M,使对于任意的n∈N*,都有|an|≤M
从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
n
又a1=-1不适合上式,
故an=
1, n 1, 2n1, n 2.
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6.已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a4=
1 ,a2 = 015 3 .
x
1
2
3
f(x)
3
2
1
答案 1;3 解析 ∵a1=3,∴a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,……,可 知数列{an}是以2为周期的周期数列,∴a2 015=a1=3.
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
典例2
(1)已知数列{an}满足a1= 1
2
,an+1=an+
n
2
1
,则an=
n
;
(2)若数列{an}满足a1= 2 ,an+1= n an,则通项an= ;
3
n 1
(3)若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,则an=
.
答案 解析
(1) 3 1-
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1.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为
(C )
A.1 B.3 C.5 D.6 答案 C 由题意知S2-S1=3-a1=3,∴a1=0,a3=S3-S2=2×3-1=5,∴a1+a3=5,故 选C.
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2.(2018北京海淀期中,4)已知数列{an}满足a1+a2+…+an=2a2(n=1,2,3,…),
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4.已知数列{an}的通项公式为an=2n(3n-13),则数列{an}的前n项和Sn的最
小值是 ( B )
A.S3 B.S4 C.S5 D.S6 答案 B 易知数列{an}是递增数列,且a1,a2,a3,a4的值为负数,从第5项开 始以后各项均为正数,所以数列{an}的前n项和Sn的最小值是S4,选B.
1-1 已知数列{an}的前n项和Sn=3-3×2n,n∈N*,则an= -3×2n-1 .
答案 -3×2n-1 解析 分情况讨论: ①当n=1时,a1=S1=3-3×21=-3; ②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3-3×2n)-(3-3×2n-1)=-3×2n-1. 综合①②,得an=-3×2n-1.(经检验a1=-3符合该式)
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5.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是 an=
1, n 1
2n1, n 2.
答案 解析
an=
1, n 1 2n1, n 2
当n=1时,a1=S1=2-3=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.
则( D)
A.a1<0 B.a1>0 C.a1≠a2 D.a2=0 答案 D ∵a1=2a2,a1+a2=2a2,∴a1=a1+a2,∴a2=0,故选D.
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3.(2017北京西城一模,7)若数列{an}的通项公式为an=|n-c|(n∈N*),则“c
≤1”是“{an}为递增数列”的 ( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 充分性:当c≤1时,an=|n-c|=n-c(n∈N*),易知{an}为递增数列, 所以充分性成立; 必要性:当c=1.1时,易验证{an}为递增数列,所以必要性不成立. 综上,“c≤1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
当b≠-1时,an=
3 b, n 1, 2 3n1, n 2.
方法技巧 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的 表达式; (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式 合写,如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.