15小船渡河问题

小船渡河问题

【专题概述】

1. 合运动与分运动的关系

2. (1) 运动合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动的合成;已知合运动求分运动,叫运动的分解。 (2) 运动合成与分解的法则:合成和分解是位移、速度、加速度的合成与分解,这些量都是矢量,遵循的是平行四边形定则。

(3) 运动合成与分解的方法:在遵循平行四边形定则的前提下,处理合运动和分运动关系时要灵活采用合适的方法,或用作图法,或用【解析】法,依情况而定。可以借鉴力的合成和分解的知识,具体问题具体分析。

3. 小船过河：三种过河情况 （1）过河时间最短：

小船沿着上述不同的方向运动，走到对岸的时间是不相等的，由于运动的等时性知，在垂直于河岸上的速度越大则过河时间越短，所以此时应该调整小船沿着d 的方向运动，则求得最短时间为船

v d t =

m in （2）过河路径最短：

第一种情况：当船速大于水速时

从上图可以看出，当我们适当调整船头的方向，使得船在水流方向上的分速度等于水速，即

21cos v v =θ

此时水流方向上小船是不动的，小船的合速度即为V 向对岸运动，此时小船的最短位移为

S d =

第二种情况:船速小于水速，那么在水流方向上，船的分速度

12cos v v θ<

此时无论我们怎么调整船头的方向都没有办法保证水流方向的合速度为零，所以小船一定要向下游漂移，如图

当合速度的方向与船相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小； 根据几何关系，则有：

d s =1

2

v v ，因此最短的航程是：21v s d v =

【典例精讲】

1. 求最短位移

典例1如图，小船在静水中航行速度为10 m/s ，水流速度为5 m/s ，为了在最短距离内渡河，则小船船头应该保持的方向为（图中任意两个相邻方向间的夹角均为30°）（ ）

A ． a 方向

B ． b 方向

C ． c 方向

D ． d 方向

典例2船在静水中的航速为v 1，水流的速度为v 2，为使船行驶到河正对岸的码头，则v 1相对v 2的方向应为( )

A ．

B ．

C ．

D ． 2. 求最短时间

典例3小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，即kx v =水，

d

v k o

4=，x 是各点到近岸的距离.小船划水速度大小恒为v 0，船头始终垂直河岸渡河.则下列说法正确的是（ ）

A ．小船的运动轨迹为直线

B ．水流速度越大，小船渡河所用的时间越长

C ．小船渡河时的实际速度是先变小后变大

D ．小船到达离河对岸4

3d

处，船的渡河速度为02v

3. 船速大于水速

典例4(多选) 如图所示，某人由A 点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，则（ ）

A ．船头垂直河岸渡河所用时间最短

B ．小船到达对岸的位置为正对岸的B 点

C ．保持其他条件不变，小船行至河中心后，若水流速度突然增大，则渡河时间变长

D ．保持其他条件不变，小船行至河中心后，若水流速度突然增大，则渡河位移变大

典例5(多选) 在宽度为d 的河中，水流速度为v 2，船在静水中速度为v 1（且v 1＞v 2），方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（ ）

A ．可能的最短渡河时间为

2

v d

B ．可能的最短渡河位移为d

C ．只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关

D ．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关 4. 水速大于船速

典例6 (多选)一船在静水中的速度是6m/s ，要渡过宽为180m 、水流速度为8 m/s 的河流，则下列说法中正确的是( )

A ．船相对于地的速度可能是15m/s

B ．此船过河的最短时间是30s

C ．此船可以在对岸的任意位置靠岸

D ．此船不可能垂直到达对岸 5. 综合题

典例7 已知某船在静水中的速度为v 1=4 m/s,现让船渡过某条河。假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v 2=3 m/s,方向与河岸平行,

(1) 欲使船以最短时间渡河,航向怎样?最短时间是多少?船发生的位移有多大? (2) 欲使船以最小位移渡河,航向又怎样?渡河所用时间是多少? 【总结提升】

解决小船渡河问题应注意的两个问题

（1）渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水速无关

（2）渡河位移最短值与船速与水速的大小有关，当船速大于水速时，最短位移为河宽 当船速小于水速时，应利用图解法求极值的方法处理 船头垂直于河岸时，航行时间最短，

船

v d t m in

在处理此问题时要注意三个速度值：小船在静水中的速度、水流的速度、船的实际速度。

【专练提升】

1、(多选)在一条宽200 m 的河中，水的流速v 1=1 m/s ，一只小船要渡过河至少需要100 s 的时间．则下列判断正确的是（ ）

A ．小船相对于静水的速度为2 m/s

B ．无论小船怎样渡河都无法到达正对岸

C ．若小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸100 m

D ．若小船航向（船头指向）与上游河岸成60°角，则小船渡河位移最短

2、（多选）甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距

3

3

2H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )

A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同

B ．v ＝2v 0

C ．两船可能在未到达对岸前相遇

D ．甲船也在A 点靠岸

3、一艘小船要从O 点渡过一条两岸平行、宽度为d=100 m 的河流，已知河水流速为v 1=4 m/s ，小船在静水中的速度为v 2=2 m/s ，B 点距正对岸的A 点x 0=173 m ．下面关于该船渡河的判断，其中正确的是（ ）

A ． 小船过河的最短航程为100 m

B ． 小船过河的最短时间为25 s

C ． 小船可以在对岸A 、B 两点间任意一点靠岸

D ． 小船过河的最短航程为200 m

4、如图所示，河水流动的速度为v 且处处相同，河宽度为a ．在船下水点A 的下游距离为b 处是瀑布．为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去）（ ）

A ． 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t=．速度最大，最大速度为v max =

b

av B ． 小船轨迹沿y 轴方向渡河位移最小．速度最大，最大速度为v max =b

b a v 2

2+

C ． 小船沿轨迹AB 运动位移最大、时间最短．速度最小，最小速度v min =b

av D ． 小船沿轨迹AB 运动位移最大．速度最小，最小速度v min =

2

2

b

a v

b +

5、如图所示，甲、乙两船在同一河岸边A 、B 两处，两船船头方向与河岸均成θ角，且恰好对准对岸