西北工业大学《概率论与数理统计》7-1 假设检验的基本概念

则
Xi ~ B(1, p)
(i =1,2,3,∙∙∙,100)
令 Y=X1+X2+ ∙∙∙ +X100
={ 抽取的100件产品中的次品数 }
则 Y ~ B(100, p)
3° 在假设 H0成立的条件 H 0 : p 0.02 , Y ~ B(100, p)下，计算得
5 f ( p) P{Y 5; p} C100 p5 1 p95 ,
| x 0 |
/ n
u / 2
的观察值 x , 则我们有理由怀疑原来的假设H0 的正确性,因而拒绝H0.
若出现观察值满足不等式 | u |
| x 0 |
/ n
u / 2
则没有理由拒绝假设H0 ,因而只能接受H0 .
/ n | x 0 | 当 u / 2时, 接受H 0 . / n 如：若取定 = 0.05， 则u / 2 u0.025 1.96.
第一节
假设检验的 基本概念
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的基本概念 三、两类错误
回
四、假设检验的一般步骤
停 下
一、假设检验的基本原理
在实际工作中常会遇到这样的问题： （1）某药物在改进工艺后的疗效是否有提高？ （2）假定总体服从某种分布是否成立？ 如何通过抽检的样本对上述问题做出判断？ 此时常常作出适当的假设,然后进行试验或
X1 d d d P Φ Φ 10 10 10 10 d 0.05, 2 1 Φ 10
d Φ 0.975, 10
d 1.96, 10
d 19.6;

2
当 0很 小 时,
O uα / 2
x
{| U | u / 2 }是个小概率事件（如上 . 图）
根据小概率原理,可以认为如果H0为真,则由一次 试验得到满足不等式 u | |
| x 0 |
/ n
u / 2 的观察值
x , 几乎不会发生.
若在一次试验得到了满足不等式 | u |
观测,得到统计样本,构造统计方法进行判断,以
决定是否接受这个假设.
假设检验就是这样一种统计推断方法，
根据样本提供的信息对所提出的假设作出 判断: 是接受, 还是拒绝.
1. 基本原理 小概率推断原理： 0 α 0.05 小概率事件 (概率接近0的事件),在一次试验中,实际上可认为 不会发生(这是人们长期积累起的普遍经验!).
（A）不可能做出错误判断; （B）增加样本容量就不会做出错误判断; （C）仍有可能做出错误判断;
（D）计算精确写就可避免做出错误判断.
3 在一个确定的假设检验问题中,与判断结果 有关的因素有（ D ） （A）样本值及样本容量;（B）显著性水平 ; （C）检验的统计量; （D）（A）与（B）同时成立.
备用题
例1-1 设(X1,X2, ∙∙∙,Xn)是来自正态总体 N ( μ,100 ) 的一个样本,要检验 H0 : 0 , H1 : 0, 在下列 两种情况下,分别确定常数d,使得以W1为拒绝域 的检验犯第Ⅰ类错误的概率为0.05. (1)n 1,W1 { x1 | | x1 | d } ;
错误的概率, 则犯第Ⅱ类错误的概率往往增大. 2°若要使犯两类错误的概率都减小, 除非 增加样本容量.
四、假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求，提出待检验的假设H0 及备择假设; 2. 选择适当的统计量,在 H0成立的条件下,确定
它的概率分布; 3. 给定检验水平 ,确定拒绝域W1;
4. 根据样本观察值计算统计量的值;
/ n
u / 2 , 则称x与0差异是显著的 , 则
我们拒绝 0 ; H
反之，如果 | u | | x 0 |
/ n
u / 2 , 则称 x与0差异是不
显著的，则我们接受0 ; H
上述 x与0有无显著差异的判断是 在显著性水平
之下做出的 .
2. 检验统计量 用于检验假设的统计量，称为检验统计量. 如：对于例2, X μ0 ______ 统计量U 检验统计量 σ/ n 3. 原假设与备择假设 假设检验问题通常叙述为: “在显著性水平 下,
从 而P { Y 5 ; p } 0.05
故{Y 5 }是小概率事件 .
4°作判断 由于在假设 H0成立的条件下, { Y = 5 }是小概率事件,而实际 情况是:小概率事件竟然在一次 试验中发生了,这违背了小概率原理,是不合理的， 故应该否定原假设H0 ,认为产品的次品率 p 2% . 所以, 这批产品不能出厂.
(2) n 25时, 若H0成立, 则 25
P ( X 1 , , X 25 ) W1 P
X d
X ~ N (0,1) , 10
X d d d P Φ Φ 2 2 2 2
d 0.05, 2 1 Φ 2
例2 某食品厂生产猪肉罐头,按规定每瓶的标准 重量为500 g,由以往经验知,该厂生产的猪肉罐 头质量服从正态分布N(500, 4),随机抽取5瓶,其 重量分别为(单位：g): 501，507，498，502，504， 能否认为该厂猪肉罐头的标准重量为500 g?
分析 设该厂生产的猪肉罐头平均重量 μ = 500 g
5. 根据统计量值是否落入拒绝域W1内,作出拒
绝或接受H0的判断.
内容小结
假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.
假设检验的两类错误
真实情况 (未知) H0为真 H0不真 所 接受 H0 正确 犯第Ⅱ类错误 作 决 策 拒绝 H0 犯第I类错误 正确
思考题
请大家思索下列问题, 尽力做出正确选择:
4 在假设检验中, U 检验与 t 检验都是关于总 体均值的假设检验.当总体方差已知时,可选用 （ B ） （A） t 检验法; （B） U 检验法; （C） t 检验法或U 检验法;（D） 其他检验法.
5 参数的区间估计法与参数的假设检验法,都是统 计推断的重要内容,它们之间的关系是（ D ） （A）没有任何相似之处; （B）参数的假设检验法隐含参数的区间估法; （C）参数的区间估计法隐含参数的假设检法; （D）两种方法虽然提法不同,但解决问题的途 径是相通的.
2. 基本思想方法
采用概率性质的反证法： 先提出假设H0 , 再根 据一次抽样所得到的样本值进行计算. 若导致小 概率事件发生,则否认假设H0 ;否则,接受假设H0 . 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
例1 某厂有一批产品,共有10000件,需检验合格 方能出厂.按规定次品率不得超过2%. 今从中任 取100件,发现有5件次品,问这批产品能否出厂? 分析 从直观上分析，这批产品不能出厂.
1.在假设检验中,用 a和b分别表示犯第一类错误 和犯第二类错误的概率,则当样本容量一定时, 下列说法正确的是（ ） C
（A）a减小b也减小; （B）a增大b也增大; （C）a与b不能同时减少,减少其中一个,另一 个往往就会增大; （D）（A）与（B）同时成立.
2 在假设检验问题中,一旦检验法选择正确, 计算无误,则（ C ）
检验 假设 H 0 : 0 , H1 : 0 ;”
或叙述为“在显著性水 下，针对H 1检验H 0” 平 .
H0称为原假设或零假设, H1称为备择假设.
4. 拒绝域与临界点 拒绝域W1: 拒绝原假设 H0 的所有样本值 (x1, x2, ·, xn)所组成的集合. · ·
W1 W1 ： 拒绝原假设H0的检验统计量的取值范围.
临界点(值):拒绝域的边界点(值) (相应于检验统计量的值). 如: 在前面例2中,拒绝域 {u :| u | u / 2 }.
三、两类错误
假设检验的依据是:小概率事件在一次试验中
很难发生. 但“很难发生”不等于“不发生”, 因而 假 设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误 有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称为第Ⅰ类错误, 又叫弃真 错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第Ⅰ类错误的概 率就是显著性水平 .
二、假设检验的基本概念
1. 显著性水平
= P{拒绝H0 | H0正确}
数 称为显著性水平. 如：对于例2,
X μ0 当H 0 : μ 500为真时，U ~ N 0,1, σ/ n
P{| U | u / 2 | H 0为真} ,
如果 | u |
| x 0 |
则问题变为检验假设H0: μ = 500是否成立？
由以往经验可知, 标准差 σ = 2 ，
则X ~ N ( μ,22 ), 其中μ未知.
问题: 根据样本值判断 μ = 500 解 1° 提出两个对立假设 还是 μ ≠ 500？
H 0 : μ μ0 500 , H1 : μ μ0 ;
2 X是μ的无偏估计量，
= P { 拒绝原假设H0 | H0为真 }
(2) 当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 从而作出了接受H0的判断, 称为第Ⅱ类错误, 又 叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”.
犯第Ⅱ类错误的概率记为
= P {接受H0 | H0不正确 }
注 1°当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类
1 25 ( 2)n 25, W1 {( x1 , x 2 , , x n ) | | x | d } , 其 中x xi . 25 i 1
解
X1 (1) n 1时, 若H 0成立, 则 ~ N (0,1) 10
PX1 W1 P X1 d
注意计算转换
若H 0为真，则 | x 0 | 不应太大，
| x 0 | 衡 量 | x 0 | 的 大 小 可 归 结 为 衡 量 的大小， / n
当H0为真时, U
P{| U | u / 2 }
~ N (0,1) / n
2
X 0
y
uα / 2
y pU ( x )
当
| x 0 |
u / 2时, 拒绝H 0 ;
n 5, σ 2, x 502.4, μ0 500
3° 在假设 H0成立的条件下，由样本计算
| u |
| x 0 |
/ n
2.68 1.96 u / 2 u0.025 .
故拒绝假设H0, 认为该厂罐头的标准重量不是500 g .
d பைடு நூலகம் 0.975, 2
d 1.96, 2
d 3.92 .
5 因为抽样得到的次品率： 2% 100
然而,由于样本的随机性,如何才能根据抽样结
果判断总体所有产品 ( )的次品率是否 2%?
解 用假设检验法，步骤：
1°提出假设 H0: p 0.02
其中 p为总体的次品率.
1, 第i次 抽 取 的 产 品 是 次 品 2 设X i 0， 否 则
df ( p) 5 4 1 p 94 5 100 p C100 p dp 故当p 0.02时, f ( p)单调增加
5 f ( p) P{Y 5; p} C100 p5 1 p95
( p 0 .02)
f (0.02) 0.035 0.05