相关函数的性质
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过程的均方值可以由自相关函 数，令 0 得到，后面我们将指出RX 0 代表了平稳过程的“平均功率”。
2
性质２ RX 是偶函数，即满足
RX RX
这是因为相关函数具有对称性
RX E X t X t
E X t X t RX
以 T 为周期的函数。 事实上
RX T E X t X t T E X t X t RX
8
于是有：
lim RX lim E X t X t
lim E X t E X t
有 事实上
i , j 1 n
RX i j g i g j 0
n i , j 1
RX i j g i g j
i , j 1
E X i X j g i g j
n
6
X g 0 E i i i 1
E[Y ( t ) X ( t )] RYX ( )
性质2
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2
C XY ( ) C X (0)CY (0)
2
14
性质3
设 Z ( t ) X ( t ) Y ( t ) ，其中
X ( t ),Y ( t ) 为联合平稳的，则 Z (t ) 也
的性质的。
12
二、互相关函数的性质 设 X (t ) 和 Y (t ) 为联合平稳过程， 其互相关函数为：
RXY ( ) E[ X ( t )Y ( t )] RXY (t ) 具有下列性质：
13
性质 1 RXY ( ) RYX ( )
事实上
RXY ( ) E[ X ( t )Y ( t )]
n
2
对于平稳过程而言，自相关函数的 非负定性是最本质的，这是因为在理论 上可以证明，任一连续函数，只要有非 负定性，那么该函数必是某平稳过程的 自相关函数。
7
性质５ 若平稳过程 X (t ) 满足条件：
X ( t ) X ( t T ) 则称它为周期平稳过程 其中 T 为过程的周期，那么， X ( ) 是 R
是平稳过程，且其相关函数为：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
15
12.3
平稳过程相关函数性质
前面已经指出，作为随机过程的基本 数字特征是均值函数和相关函数。对平稳 过程而言，由于它的均值函数是常数，经 中心化后为零，所以基本特征实际就是相 关函数。 下面我们专门研究一下平稳过程相关函数 的性质。
1
一、自相关函数的性质
性质１
2 RX 0 E[ X 2 t ] X 0
RX RX 0
可见，当 0 时，平稳过程的 相关函数具有最大值。
对协方差函数，不难得到相同的结论：
C X C X 0
5
或
C X
2 X
性质４ RX 非负定，即对任意实数 1 , 2 ,, n 和任意实函数 g ，
的极限情况下，两
者相互独立。
9
例：已知平稳过程 X (t ) ，当 的绝对值 充分大时，过程的状态 X (t ) 与 X ( t ) 相互独立，其相关函数为：
4 RX 25 2 1 6 求 X (t ) 的均值。
解：由性质６得： lim RX 25
E[ X t ] 2 E[ X t X t ] E[ X t ] 0
2 2
对于平稳过程 X t ，有
E[ X 2 t ] E[ X 2 t ] RX 0
4
代入上述不等式得：
2 RX 0 2 RX ( ) 0
2 X
若 E[ X ( t )] 0 则
10
lim RX 0
性质６ 设平稳过程 X (t ) ，若当
时，过程的状态 X (t ) 与 X ( t ) 相互 独立，则有： 2 lim RX ( ) X
这是因为：从物理意义上说，当τ 增大时 X (t ) 与 X ( t ) 之间相关性会 减弱，在
2 X
X 5
11
性质7 RX 在 ( , ) 连续的充要 条件为 RX 在 0 处连续。 这一性质很有趣，对于平稳过程的
相关函数 RX ，只要知道在 0 处连续，就可以得出对任意 处都连 续，这对于一般连续函数是不具备这样
依据这个性质，在实际问题中只需计算
或测量 RX 在 0 的值。
3
性质 3
RX RX 0
证： 由 E[ X t X t ]2 0 即： E[ X 2 t 2 X t X t X 2 t ] 0
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性质２ RX 是偶函数，即满足
RX RX
这是因为相关函数具有对称性
RX E X t X t
E X t X t RX
以 T 为周期的函数。 事实上
RX T E X t X t T E X t X t RX
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于是有：
lim RX lim E X t X t
lim E X t E X t
有 事实上
i , j 1 n
RX i j g i g j 0
n i , j 1
RX i j g i g j
i , j 1
E X i X j g i g j
n
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X g 0 E i i i 1
E[Y ( t ) X ( t )] RYX ( )
性质2
RXY ( ) RX (0) RY (0)
2
C XY ( ) C X (0)CY (0)
2
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性质3
设 Z ( t ) X ( t ) Y ( t ) ，其中
X ( t ),Y ( t ) 为联合平稳的，则 Z (t ) 也
的性质的。
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二、互相关函数的性质 设 X (t ) 和 Y (t ) 为联合平稳过程， 其互相关函数为：
RXY ( ) E[ X ( t )Y ( t )] RXY (t ) 具有下列性质：
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性质 1 RXY ( ) RYX ( )
事实上
RXY ( ) E[ X ( t )Y ( t )]
n
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对于平稳过程而言，自相关函数的 非负定性是最本质的，这是因为在理论 上可以证明，任一连续函数，只要有非 负定性，那么该函数必是某平稳过程的 自相关函数。
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性质５ 若平稳过程 X (t ) 满足条件：
X ( t ) X ( t T ) 则称它为周期平稳过程 其中 T 为过程的周期，那么， X ( ) 是 R
是平稳过程，且其相关函数为：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
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12.3
平稳过程相关函数性质
前面已经指出，作为随机过程的基本 数字特征是均值函数和相关函数。对平稳 过程而言，由于它的均值函数是常数，经 中心化后为零，所以基本特征实际就是相 关函数。 下面我们专门研究一下平稳过程相关函数 的性质。
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一、自相关函数的性质
性质１
2 RX 0 E[ X 2 t ] X 0
RX RX 0
可见，当 0 时，平稳过程的 相关函数具有最大值。
对协方差函数，不难得到相同的结论：
C X C X 0
5
或
C X
2 X
性质４ RX 非负定，即对任意实数 1 , 2 ,, n 和任意实函数 g ，
的极限情况下，两
者相互独立。
9
例：已知平稳过程 X (t ) ，当 的绝对值 充分大时，过程的状态 X (t ) 与 X ( t ) 相互独立，其相关函数为：
4 RX 25 2 1 6 求 X (t ) 的均值。
解：由性质６得： lim RX 25
E[ X t ] 2 E[ X t X t ] E[ X t ] 0
2 2
对于平稳过程 X t ，有
E[ X 2 t ] E[ X 2 t ] RX 0
4
代入上述不等式得：
2 RX 0 2 RX ( ) 0
2 X
若 E[ X ( t )] 0 则
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lim RX 0
性质６ 设平稳过程 X (t ) ，若当
时，过程的状态 X (t ) 与 X ( t ) 相互 独立，则有： 2 lim RX ( ) X
这是因为：从物理意义上说，当τ 增大时 X (t ) 与 X ( t ) 之间相关性会 减弱，在
2 X
X 5
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性质7 RX 在 ( , ) 连续的充要 条件为 RX 在 0 处连续。 这一性质很有趣，对于平稳过程的
相关函数 RX ，只要知道在 0 处连续，就可以得出对任意 处都连 续，这对于一般连续函数是不具备这样
依据这个性质，在实际问题中只需计算
或测量 RX 在 0 的值。
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性质 3
RX RX 0
证： 由 E[ X t X t ]2 0 即： E[ X 2 t 2 X t X t X 2 t ] 0