4.4 电磁感应与电磁波

L
R 2 dB Ei 2r dt
沿逆时针方向
×B× × ×r × × R× × × O × h × × a × × bE
i
h 求感应电动势 取一线元dl r cos r dB h dB d Ei dl dl cos dl 2 dt 2 dt b L h dB hL dB d dl b端电势高于a端 a 0 2 dt 2 dt
dr
R
r
0 I 2 3 1 0 I r 2rdr r dr 2 4 20 2R 4R
2
单位长度圆柱体内所储存的磁场能量为
Wm
R
0
0 I 2 3 0 I 2 r dr 4 4R 16
4.4.2 变化的电场 位移电流
安培环路定理:
H dl I i
日 光 灯
例4.28 有一长为l的长直螺线管，截面积为S，线 圈的总匝数为N，内部充满磁导率为μ的磁介质。 求自感系数。
解：长直螺线管的磁场为
B
B nI
N n l
磁通链数为
2
I
N NBS nlnIS n IV
螺线管的自感为
L n 2V I
4.2 磁场能量
A

a l
a
0 I al 0 I gt ln gtdx 2x 2 a
3.2 感生电动势 感生电场
由于空间磁场的变化引起的 感应电动势称为感生电动势。 随磁场变化而存在的电场 称为感生电场 静电场 感生电场 对电荷都有作用力 伴随静止电荷而存在 伴随着变化的磁场 是保守场 是非保守场
t2
t1
1 Φ2 1 Idt Φ dΦ (Φ1 Φ2 ) R 1 R
3.1 动生电动势
× （由电子在磁场中运动引出） ＋ C × × ＋＋ × B × × 设导体棒长为l，电子受力为 × × ×f e × × × × × × × － f m ev B ×v × × × × 洛伦兹力是非静电力，对应 × × × f m× × －－ × × －×D × × 的“非静电场”的场强大小 × × × × × F Ek v B e 动生电动势为 i Ek dl v B dl
这一公式是普遍情况下电场的环路定理，是麦 克斯韦方程组的基本方程之一。
例4.27 半径为 R 的圆柱形区域内，充满磁感应强 度为 B 的均匀磁场并以恒定的 dB/dt 增加。有一 长为 L 的金属棒 ab 放在磁场中，距圆心 O 的垂直 距离为 h，求金属棒上的感应电动势。 解一 首先确定涡旋电场的分布 根据感生电动势的定义求解 rR Ei dl Ei 2r
L
求电动势的一般公式
例4.25 一半径为 R 的半圆形金属导线在垂直于均 匀磁场 B 的平面内向右以速度 v 运动，求导线中 的动生电动势。 解：在导线上任取一段线元dl 线元产生的动生电动势为
B
d i v B dl
×
B
v B dl v
R
vBdl cos vBRd cos
电源内
Ek dl
考虑电动势定义
Ak Ek dl 电 源 内 q
有非静电力 Fk 存在的一段导体 ab 上的电动势

b
a
Ek dl

b
a
Ek dl
对于电动势的说明：
1. 是标量，单位伏特（V） 2. 通常把电源内部电势升高的方向（电源内从 负极指向正极的方向）称为电动势的方向。 3. 电动势是电源自身性能的一个参量，表征电源 内非静电力做功的本领，它与外电路无关。 4. 对一闭合电路
× × × ×
DC
写成标量形式： i vB sin 90 o dl cos 0o vBl
DC
平衡条件
eE ev B 0
导体内部形成稳定的电势差。C 端的电势高 对于任意形状导体在非均匀磁场中运动 可以把导体看作是由无限多外导体线元组成。
导体元上的电动势： d i v B dl 对整个导体积分： i v B dl
通过回路的全磁通正比与回路的电流 则比例系数 定义为该回路的
Li
单位： H（享利）
L

I
自感系数
由电磁感应定律，线圈中产生的自感电动势为
d di L L dt dt
“电磁惯性”
自感电动势产生的感应电流的方向总 是阻碍线圈中电流的变化。
自感的应用
稳流 , LC 谐振电路, 滤波电路, 感应圈等。
电场能量
Q2 We 2C
电容器是储能元件
电场能量密度
1 2 1 e E DE 2 2

S L
dA Lidt
di L idt Lidi dt
K
1 2 A dA Lidi LI I 2
0
自感磁能为
1 2 Wm LI 2
对于长直螺线管来说 管内储存的磁场能量为
L n2V
2
1 2 1 2 2 B Wm LI n VI V 2 2 2 Wm B 1 磁场能量密度为 m BH V 2 2
考虑到管内
2
B H
1 m B H 2
对于不均匀场，取体积元dV
1 dWm m dV B HdV 2
感生电场的非保守性
B d d i Ei dl dS B dS L S t dt S dt 感生电场与静电场叠加 E Ei Es B LE dl L Ei Es dl L Ei dl S t dS B LE dl S t dS
4.4 电磁感应与电磁波
4.4.1 变化的磁场 4.4.2 变化的电场 位移电流 4.4.3 真空中的麦克斯韦方程组 和电磁波
4.4.1 变化的磁场
1. 电源和电动势
Fk 为“非静电力”

++++++++
Fk
- - - - - - - -
F
e
凡是能够不断地把其它 形式的能量转化为电能的装 置都可叫作电源
×B×
B 2 dB dS r S t dt
× × × r R× × × × O L × × ×i E × ×
r dB Ei 2 dt
沿逆时针方向
rR Ei dl Ei 2r B 2 dB dS R S t dt
q 两极板间电位移通量 D DS S S q S d D D dq 变化率为 S Ic dt t dt
q S

D
介质中的高斯定理
主要用于判断感应电流的方向！
规定：导体回路与磁场线符合右手螺旋的方向为正。 n n B B

L
L

d 0 0 dt d i 0 dt
与规定方向相反
d 0 0 dt d i 0 dt
与规定方向相同
当线圈是由多匝串联而成的
d N d1 d 2 d 3 d i ...... dt dt dt dt dt
有限体积 V 的磁能
Wm m dV
V
V
1 B HdV 2
例4.29 一无限长导体圆柱沿轴向通以电流 I，截 面上各处电流密度均匀分布，柱半径为R。求每 单位长度柱体内所储存的磁场能量。
I
R
解：环路定理求圆柱体内的磁场
I
0 I B r 2 2R 取圆柱壳 dV 2rdr B2 dWm dV 20
解一：利用动生电动势求解
取一导体元dl，感应电动势为
B
●
v

A
d i v B dl
dl
O
导体元dl在速度为
v l
l
i d i
L
0
1 2 Bldl BL 2
解二 直接利用法拉第电磁感应 定律数学表达式求解。
B
●

A
1 1 2 BS B LL BL 2 2 d 1 2 d i BL dt 2 dt 1 2 BL 2
整个导线上产生的电动势：
A
i d i vBR cosd
2
2
vBR
2
2
cosd 2vBR 方向沿导线由A指向B
例4.26 一长为 L 的金属杆，在垂直于均匀磁场 B 的平面内以角速度ω 绕其一端 O 匀速旋转。求杆 中感应电动势的大小，并指出哪端电势高。
O

B
例题：一长直导线中通有电流 I，在其附近有一长 为 l 的金属棒 MN，水平放置，无初速度下落。已 知 I，a，l。求：t 秒末导线两端电位差。
解：通电长直导线磁场分布
0 I B 2x
由动生电动势计算公式
O
I M dx

B
N
x v a
l
x


B
A
B (v B) dl vBdx
实验结论：穿过线圈所包围面积内的磁通量 发生变化时，在回路中产生的电流叫感应电流， 这一现象叫做电磁感应现象。
2.2 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律： 回路中感应电动势εi正比于穿过回路所围面 积的磁通量Φ随时间的变化率的负值。
数学表达式：
楞次定律：
dΦ εi dt
闭合导体回路中感应电流的方向，总是使得 它所激发的磁场去阻止回路磁通量Φ的变化。