(完整word版)高中数学必修一第三章知识点总结

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新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系........................................................................................................ - 1 -1.1点在空间直角坐标系中的坐标..................................................................... - 1 -1.2空间两点间的距离公式................................................................................. - 6 -2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 10 -2.1从平面向量到空间向量............................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(一) .................................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(二) .................................................................................... - 14 -2.2空间向量的运算(三) .................................................................................... - 18 -3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 23 -3.1空间向量基本定理....................................................................................... - 23 -3.2空间向量运算的坐标表示及应用............................................................... - 26 -4向量在立体几何中的应用...................................................................................... - 31 -4.1直线的方向向量与平面的法向量............................................................... - 31 -4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系................................................... - 34 -4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系................................................... - 42 -第1课时空间中的角................................................................................ - 42 -第2课时空间中的距离问题.................................................................... - 47 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................... - 52 -1空间直角坐标系1.1点在空间直角坐标系中的坐标1．空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直．②四指先指向x轴正方向．③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称如图所示，①O叫作原点．②x，y，z轴统称为坐标轴．③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来刻画．(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．如何确定空间中点P坐标？[提示]过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、B、C，若点A、B、C的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．疑难问题类型1根据点的坐标确定点的位置【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．[思路点拨]可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．[解]法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．类型2已知点的位置写出点的坐标【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．(1)(2)[思路点拨](1)可先写出A，B，C，D的坐标，再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，再结合正方体的性质得出A，B，C，D 的坐标．[解](1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．同理，A ′(1，0，1)，C ′(0，1，1)．因为B ′B 垂直于xDy 平面且与z 轴正半轴在xDy 平面同侧，且|B ′B |＝1，所以B ′(1，1，1)．(2)因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴， y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A ′(1，0，0)，C ′(0，1，0)，D (0，0，－1)，D ′(0，0，0)．同(1)得B ′(1，1，0)，A (1，0，－1)，C (0，1，－1)，B (1，1，－1)．1．已知点M 的位置，求其坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足为M ′，求M ′的x 轴坐标，y 轴坐标，即点M 的x 轴坐标，y 轴坐标，再求M 点在z 轴上射影的z 轴坐标，即点M 的z 轴坐标，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )．2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x ，y ，z ∈R ．分类坐标轴坐标平面 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面坐标形式 (x ，0，0) (0，y ，0) (0，0，z )(x ，y ，0) (0，y ，z ) (x ，0，z )类型3 空间中点的对称问题[探究问题]1．类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段的中点坐标公式是什么？[提示] 若A ()x 1，y 1，z 1，B ()x 2，y 2，z 2，则线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22． 2．类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三角形的重心坐标公式是什么？[提示] 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33．关于点对称【例3】点M ()x 0，y 0，z 0关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为________．[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0) [由中点坐标公式得，点M (x 0，y 0，z 0)关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为M ′(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0)．]关于坐标轴对称【例4】求点M (a ，b ，c )关于坐标轴的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 关于x 轴的对称点M 0的坐标为(a ，－b ，－c )，关于y 轴的对称点M 1的坐标为(－a ，b ，－c )，关于z 轴的对称点M 2的坐标为(－a ，－b ，c )．关于坐标平面对称【例5】求点M (a ，b ，c )关于坐标平面的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )．1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．归纳总结1．确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R．(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R．(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．(3)三个平面的唯一交点就是M．3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴上．1.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离|PQ|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？[提示]以坐标原点为圆心，1为半径的球面．疑难问题类型1求空间中两点间的距离【例1】如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝6．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：类型2由距离公式求空间点的坐标【例2】已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．(0，0，6)[设P(0，0，z)，由|P A|＝|PB|，得(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2，解得z ＝6．∴点P 的坐标为(0，0，6)．]1．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？[解] 设P (0，y ，0)，由|P A |＝|PB |，得(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2，解得y ＝－245．∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－245，0． 2．求到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] 因为点P (x ，y ，z ) 到A ，B 的距离相等，所以(x －4)2＋(y －5)2＋(z －6)2＝(x ＋5)2＋(y －0)2＋(z －10)2．化简得9x ＋5y －4z ＋24＝0，因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是9x ＋5y －4z ＋24＝0．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．2．到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面，P 是线段AB 的中垂面与z 轴的交点．类型3 距离公式的应用【例3】如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值．[解] 由题图可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12． ∵Q 点在CD 上，∴设Q (0，1，z )，z ∈[0，1]，∴|PQ |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2＝ 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22．本题首先设出Q 点的坐标，然后利用距离公式表示|PQ |，从而将其转化为函数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.归纳总结1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量2.2 空间向量的运算(一)1．空间向量(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法用有向线段AB →表示，A 叫作向量AB →的起点，B 叫作向量AB →的终点，也可记作a ，其模记为⎪⎪⎪⎪AB →或|a |．(4)特殊向量(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行．1．向量AB →与向量BA →的长度和方向之间有什么关系？[提示] 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即BA →＝－AB →．2．共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．(2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b空间向量的加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？ [提示] 没有．疑难问题类型1 空间向量的有关概念【例1】如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A ′B ′C ′D ′E ′F ′中， (1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？ (3)与AD →平行的向量有多少个？[思路点拨] 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．[解] (1)ED →，A ′B ′→，E ′D ′→． (2)是．(3)11个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．类型2 空间向量的加减运算【例2】如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→． (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→．向量AD ′→，AC ′→如图所示．1．在例2的条件下，下列各式运算结果为BD ′→的是( )①A ′D ′→－A ′A →－AB →；②BC →＋BB ′→－D ′C ′→；③AD →－AB →－DD ′→；④B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→． A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④A [(1)A ′D ′→－A ′A →－AB →＝AD ′→－AB →＝BD ′→； (2)BC →＋BB ′→－D ′C ′→＝BC ′→＋C ′D ′→＝BD ′→；(3)AD →－AB →－DD ′→＝BD →－DD ′→＝BD →－BB ′→＝B ′D →≠BD ′→；(4)B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→＝BD →＋AA ′→＋DD ′→＝BD ′→＋AA ′→≠BD ′→，故选A ．] 2．在例2的条件下，用向量AA ′→，AB →，AD →表示向量AC ′→．[解] 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→，在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →，故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→．1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．类型3 空间向量加、减运算的应用【例3】在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，求证：OA →＋OC →＝OB →＋OD →．[证明] 法一：因为底面ABCD 是平行四边形，所以，BA →＝CD →，又BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．法二：设点E 是平行四边形ABCD 对角线的交点(图略)，则点E 分别是对角线AC ，BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OE →，OB →＋OD →＝2OE →，所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.(2)求两向量的差时，常考虑：①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.归纳总结1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．2.2 空间向量的运算(二)1．向量的数乘运算定义与平面向量类似，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0 λa 与向量a 方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ＜0 λa 与向量a 方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律 λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb2．共线向量基本定理空间两个向量a ，b (b ≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(1)若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？(2)在空间向量中，与非零向量a 共线的单位向量有几个，分别是什么？ [提示] (1)不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．(2)有2个，分别是a |a |与－a |a |．疑难问题类型1 空间向量的数乘运算【例1】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →． [解] (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →． (2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →) ＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→．1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算． 2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的几何性质．类型2 向量共线问题【例2】如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．[解] 由已知可得，ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A →＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →．所以ME →＝－NF →，故ME →与NF →共线．向量共线的判定方法判定向量a ，b 共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b ＝a λ(a ≠0)成立．类型3 点共线问题【例3】如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ．因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →．所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ．所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c ．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立；(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )；(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ＋y ＝1．归纳总结1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．2．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可；也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →” 来证明三点共线．2.2空间向量的运算(三) 1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角记法〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝π2时，a⊥b；a·b＝0规定：零向量与任意向量垂直1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·acos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)|a·b |≤|a |·|b |3．投影向量与投影数量①如图，已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，过A 向直线OB 作垂线，垂足为点A ′，称向量OA ′→为向量a 在向量b 方向上的投影向量，其长度等于||a |cos 〈a ，b 〉|．②如图，|a |cos 〈a ，b 〉称为向量a 在向量b 方向上的投影数量，可以表示为a ·b |b |．③数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影数量|b |cos 〈a ，b 〉的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影数量|a |cos 〈a ，b 〉的乘积．2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？ [提示] 数量积运算不满足结合律．疑难问题类型1 空间向量的数量积运算【例1】已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→．[解] 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0．(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16． (2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0．求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.类型2 利用数量积求夹角 [探究问题]1．若向量AB →与CD →的夹角为α，直线AB 与CD 所成的角为β，则α＝β一定成立吗？[提示] 不一定．α＝β或α＋β＝π． 2．怎样利用数量积求两直线的夹角α？[提示] 先求cos α＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a |·|b |；再结合α的范围确定其值． 3．如何利用数量积证明两个非零向量a 和b 互相垂直？ [提示] a·b ＝0⇔a ⊥b ．【例2】已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，(1)求向量OE →与BF →所成角的余弦值； (2)求直线OE 与BF 所成角的余弦值．[解] (1)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝12．因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF→|＝32，所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a·c ＋14b·c －12a·b －12b 2＝－12，设OE →与BF →所成的角为θ，则cos θ＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－1232×32＝－23．所以向量OE →与向量BF →所成角的余弦值是－23．(2)直线OE 与BF 所成角的余弦值为||cos θ＝23．求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．类型3 利用数量积求两点间的距离【例3】如图，在三棱锥A -BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．[解] 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2 ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2，所以|MN →|＝53a ，即MN 的长为53a ．求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．归纳总结1．本节课的重点(1)空间向量的数量积的求法；(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理1．空间向量基本定理条件三个不共面的向量a ，b ，c 和空间任一向量p结论存在唯一的三元有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c2．基(1)条件：三个向量a ，b ，c 不共面．(2)结论：{a ，b ，c }叫做空间的一组基．其中向量a ，b ，c 都叫作基向量．(1)0能不能作为一个基向量？(2)空间向量的基唯一吗？[提示] (1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．疑难问题类型1 空间向量的基【例1】已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一组基．[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝x OB →＋yOC →成立，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3．因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎨⎧ －3x ＋y ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一组基．基的判断思路判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．类型2 空间向量基本定理及应用【例2】如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →．[解] 连接A ′N (图略)．AM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BC →＋CC ′→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→＝12(a ＋b ＋c )．AN →＝AA ′→＋A ′N →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c ．若把本例中的“AA ′→＝a ”改为“AC ′→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？[解] 因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC ′→)＝12a ＋12b ．AN →＝12(AB ′→＋AC ′→)＝12(AB →＋BB ′→＋AC ′→)＝12AB →＋12CC ′→＋12AC ′→＝12AB →＋12(AC ′→－AC →)＋12AC ′→＝12AB →＋AC ′→－12AC →＝12b ＋a －12c ．对空间向量基本定理的两点说明(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量. (2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是唯一的. 空间向量基本定理为用基本量法研究空间向量提供了理论依据.类型3 四点共面【例3】如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1上的点，并且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．[解] (1)证明：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，故A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－AB →－BE →＝AD →＋23AA 1→－AB →－13AA 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13．∴x ＋y ＋z ＝13．1．三个向量共面的充要条件若向量b ，c 不共线，则向量a ，b ，c 共面的充要条件是：存在实数x ，y ，使得 a ＝x b ＋y c ．2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．归纳总结1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．2．设OA →，OB →，OC →是不共面向量，则对空间任一点P ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →．当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面．3.2 空间向量运算的坐标表示及应用1．空间向量的正交分解及其坐标表示标准正交基在空间直角坐标系O -xyz 中，分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i ，j ，k }，这组基叫作标准正交基空间直角坐标系以i ，j ，k 的公共起点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz 空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x i ＋y j ＋z k ，则把x ，y ，z 称作向量p 在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．单位向量i ，j ，k 都叫作坐标向量2．空间向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)；(3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)，λ∈R ；(4)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2．3．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(x 1，y ，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)．则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；|a |＝a·a ＝x 21＋y 21＋z 21；若点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB |＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2．cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)．空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？[提示] 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k ，所以a ＋b ＝()a 1i ＋a 2j ＋a 3k ＋()b 1i ＋b 2j ＋b 3k ＝()a 1＋b 1i ＋()a 2＋b 2j ＋()a 3＋b 3k ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)．疑难问题类型1 空间向量的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．(2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2． ②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．因为AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32，z －2＝－2 解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0．对空间向量坐标运算的两点说明(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.类型2 坐标形式下的平行与垂直【例2】已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →．(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，所以|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3．解得λ＝±1．所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0．解得k ＝2或k ＝－52．1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2，当b 与三坐标轴都不平行时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2． a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．类型3 向量夹角与长度的计算[探究问题]已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．1．如何求AB →、AC →的模与〈AB →，AC →〉的大小？[提示] 因为AB →＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)．所以⎪⎪⎪⎪AB →＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，⎪⎪⎪⎪AC →＝12＋(－3)2＋22＝14，由夹角公式得cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0，π]，所以〈AB →，AC →〉＝60°．2．在空间中，如何利用向量求△ABC 的面积？[提示] S ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝732．【例3】在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，其中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．[解] 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系C -xyz ．(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)．所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3．(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)．所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5．所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010．1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．2．平行四边面积的计算公式：S ▱ABCD ＝||AB→2||AC→2－(AB →·AC →)2．归纳总结1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．4 向量在立体几何中的应用4.1 直线的方向向量与平面的法向量1．直线的方向向量设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量．如图所示，已知点M 是直线l 上的一点，非零向量a 是直线l 的一个方向向量，那么对于直线l 上的任意一点P ，一定存在实数t ，使得MP →＝t a ．把这个式子称为直线l 的向量表示．2．平面的法向量如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量n 叫作平面α的法向量．如图所示，设点M 是平面α内给定的一点，向量n 是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P ，必有MP →·n ＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．。

数学必修一第三章知识点总结总结

数学必修一第三章知识点总结总结数学考试要注重计算，很多孩子成绩丢分在计算上，解题步骤没有问题，但是计算的过程中出现马虎的问题，导致丢分，影响整体成绩。

下面是整理的数学必修一第三章知识点总结，仅供参考希望能够帮助到大家。

数学必修一第三章知识点总结一次函数应用题解题技巧：例1：一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。

如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12解k=0.5∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12由题意，得：23=0.5x+12=22解之，x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22例2：(1)y与x成正比例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.(2)已知一次函数的图象经过A(-1，2)和B(3，-5)两点，求此一次函数的解析式.解：(1)设所求正比例函数的解析式为y=kX把y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k解得k=2∴所求正比例函数的解析式为y=2X(2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b∵此图象经过A(-1，2)、B(3，-5)两点，此两点的坐标必满足y=kx+b，将x=-1、y=2和x=3、y=-5分别代入上式，得2=-k+b,-5=3k+b解得k=-7/4,b=1/4∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4例3：拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。

(完整word版)高一数学(必修一)知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结（拂晓搜集整理）第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSx x∉∈且韦恩A B图1A B图2SA图示性质A A=A A Φ=Φ A B=B A A B ⊆A A B ⊆BA A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B) (C u A) (C u B)= C u (A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

数学必修一第三章知识点总结

数学必修一第三章知识点总结数学必修一第三章主要讲述了三角函数的概念、性质和基本函数关系。

以下是第三章的主要知识点总结：1. 弧度与角度：角度是以度为单位的角度量，弧度是以弧长与半径之比为单位的角度量。

弧度制中一周对应的弧长是2π弧度。

2. 弧度与角度之间的转换：弧度制下的角度数可以通过将角度数乘以(π/180)转换为弧度数，而角度制下的弧度数可以通过将弧度数乘以(180/π)转换为角度数。

3. 三角函数的概念：在单位圆上，以圆心O为原点，单位圆与角θ所对应的终边交于点P(x,y)，则点P的坐标(x,y)就是角θ的三角函数值。

其中，正弦函数(sinθ)为纵坐标y，余弦函数(cosθ)为横坐标x，正切函数(tanθ)为纵坐标y除以横坐标x。

4. 三角函数的性质：正弦函数、余弦函数和正切函数是周期函数，周期都为360°或2π，即sin(θ+360°) = sinθ，cos(θ+360°) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。

正弦函数和余弦函数的取值范围为[-1, 1]，正切函数的取值范围为(-∞, +∞)。

5. 三角函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。

根据诱导公式，可以将θ限制在0°至90°之间，来计算其他角度的三角函数值。

6. 三角函数的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1，1+tan²θ = sec²θ，1+cot²θ = csc²θ。

这些基本关系可以应用于简化、证明三角函数的各种性质和公式。

7. 三角函数的基本图像：在坐标系中绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图像时，需要注意函数的周期、对称性和渐近线等特点。

(完整word版)高考数学知识点归纳总结,推荐文档

高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。

2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。

且：有假为假，全真为真。

非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。

常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如果函数 yf x 对于一切 x R ，都有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

高一数学必修1第三章知识点

三一文库（）/高一〔高一数学必修1第三章知识点[1]〕为大家整理的高一数学必修1第三章知识点文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

k(k0)没有零点。

x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。

⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。

7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。

高一第三章数学知识点

高一第三章数学知识点高一的数学课程中，第三章主要涵盖了一些重要的数学知识点。

本文将重点介绍这些知识点，帮助同学们更好地理解和掌握。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系主要包括相切、相交和相离三种情况。

相切是指直线与圆只有一个公共点，相交是指直线与圆有两个公共点，相离则是指直线与圆没有公共点。

2. 判定直线与圆的位置关系，常用的方法是应用直线的方程和圆的方程，通过求解方程的解来确定位置关系。

二、平面向量与坐标表示1. 平面向量是指具有大小和方向的量。

平面向量可以通过坐标表示，其中x轴上的向量表示为(i, 0)，y轴上的向量表示为(0, j)。

2. 平面向量的加法满足“三角形法则”，即将向量按顺序排列连接起来，得到的是连接起点和终点的线段。

3. 平面向量的数乘是指将向量的大小与一个实数相乘，同时改变向量的方向。

三、数列与数列的应用1. 数列是指按照一定规律排列的一组数。

常见的数列有等差数列和等比数列。

2. 等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

等差数列的公式为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差。

3. 等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

等比数列的公式为An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。

4. 数列的应用广泛，可以用于解决实际问题，比如金融领域的复利计算和物理领域的运动问题等。

四、平面几何基础知识1. 平面几何是指研究平面上点、直线、圆等几何图形的性质和相互关系的数学分支。

2. 常见的平面几何基础知识包括直线的斜率、两点间距离的计算、圆的面积和周长等。

3. 在解决平面几何问题时，常用的方法包括画图、建立坐标系、运用几何定理等。

五、解析几何中的直线和圆1. 在解析几何中，直线和圆可以通过方程来表示。

直线的方程可以使用斜率截距法、两点法等表示，圆的方程可以使用标准方程表示。

2. 直线与直线的相交关系可以通过解方程组来确定，圆与圆的相交关系也可以通过解方程组来确定。

高中数学必修一第三章知识点总结学习资料

高中数学必修一第三章知识点总结学习资料第三章正弦定理及余弦定理
三、正弦定理及余弦定理
正弦定理，又称海伦公式，是一个比较重要的数学定理，它的含义是：
对于任意的三角形，它的任意边a、b、c和它的两个夹角A、B之间是存在一个正弦
定理的关系，即：
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
余弦定理，又称余玄定理，是当我们知道三角形内两个边和一个夹角的值时，求另外
一条边的长度的有用定理，一般写作 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C 。

此外，还应该掌握的是正弦定理的非角度版本和余弦定理的非角度版本，分别是：
a :
b :
c = sin A : sin B : sin C
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC。

其中，a，b和c分别是三角形的三条边的长度，A，B和C是三角形的三个内角的角度，它们之间存在一种对应的正弦定理及余弦定理。

正弦定理及余弦定理还可以被运用到多边形中，对于多边形中任意一边及两个相邻顶
点形成的夹角，都可以应用正弦定理及余弦定理进行推导，从而求解出与之相关的边或角。

正弦定理及余弦定理是数学中一个比较重要的定理，它可以求解出三角形、正多边形
之间的关系，广泛应用于几何分析中，帮助我们分析几何图形之间的关系，解决实际中的
问题，可谓是一个十分实用的定理。

高中数学必修一第三章知识点总结

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不行干脆求出零点的较困难的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把困难的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

【最新】高中数学必修一第三章知识点总结

【最新】高中数学必修一第三章知识点总结
高中数学必修一第三章主要涉及以下几个知识点：
1. 二次根式的概念与性质：
- 二次根式是指被开平方的数，记作√a。

一些常见的二次根式如：√2, √3, √5等。

- 二次根式的性质包括：和与差、积、商的性质，以及有理化分母等。

- 例如：√a + √b = √(a + 2√ab + b)；√a - √b = √(a - 2√ab + b)；(√a +
√b)(√a - √b) = a - b；等。

2. 二次根式的化简：
- 化简二次根式时，利用二次根式的性质进行运算，使得根号内部
的式子达到最简形式。

- 例如：化简√(18) = √(2 * 9) = 3√2；化简√(75) = √(25 * 3) = 5√3；等。

3. 二次根式的运算：
- 运算包括加减、乘法、除法等。

- 例如：√2 + √3 = √(2 + 2√6 + 3) = √(5 + 2√6)；√2 * √3 = √(2 * 3) =
√6；等。

4. 二次根式的应用：
- 二次根式在几何、物理等领域有广泛的应用。

- 例如：计算直角三角形的斜边长、面积等；计算物体的密度、速
度等；等。

(完整word版)北师大版高中数学必修1-知识点总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合。

（2)常用数集及其记法表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集。

N表示自然数集，N*或N+（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∉，两者必居其一。

∈,或者a M（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法：{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5）集合的分类1①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集。

③不含有任何元素的集合叫做空集（∅）.【1.1。

2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等2相等B,B中的任一元素都属于A（2）B⊆A（7）已知集合A有(1)n n≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1。

3】集合的基本运算(8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1)A A A=（2)A∅=∅(3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2)A A∅=（3)A B A⊇BA3A B B⊇补集{|,}x x U x A∈∉且⑴（⑵⑶⑷⑸⑼集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA==结合律：)()();()(CBACBACBACBA==分配律：)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===等幂律：.,AAAAAA==求补律：A∩A∪=U反演律：（A∩B）=（A）∪（B) （A∪B）=(A）∩（B)第二章函数4§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作。

高一数学必修一第三章知识点总结

高一数学必修一第三章知识点总结集合是一个由客观事物组成的具有特定性质的有限或无限的实体，可以是个体、物体、抽象物，可以是实物或抽象性的物体，包括数、集合、函数等。

2、集合的表示法1）用花括号表示法：用花括号表示的集合的元素，用逗号隔开。

例如，集合A={a,b,c}；2）用表达式表示法：用表达式表示的集合，常用形式可以用 x|条件形式表示，例如，集合B= {x | 0<x<8, x为自然数}；3、集合的性质集合的性质主要有交集、并集、补集以及子集的等概念以及它们的性质：⑴交集：两个集合交集就是它们共同包括的元素。

如A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},那么A∩B={2,3,4}；⑵集：两个集合并集就是它们所有元素的总和，也就是它们合并后所有的元素。

如A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},那么A∪B={1,2,3,4,5}；⑶集：某个集合的补集就是把这个集合中没有的元素汇总起来形成的集合，如A={1,2,3,4},那么A的补集就是 A`={5,6,7,8,9,…}；⑷集：把某个集合全部或者部分的元素汇总起来，形成的集合叫做它的子集。

如A={1,2,3,4}，那么A的子集有{1,2},{2,3},{2,4}等。

二、数组的概念及表示法1、数组的概念数组是由相同类型的数据排列在一起的有限组合，其中每个数据叫数组元素，每个元素都有一个位置和下标，即矩阵的行列坐标。

2、数组的表示法(1)花括号表示法：用花括号表示的数组的元素，用逗号隔开，用分号隔开行，例如，二维数组A={1,2,3; 4,5,6 }；(2)表达式表示法：用表达式表示法表示数组，其中一般用关键字a (i,j)示二维数组中第i行第j列的元素，但也可以用其他形式，例如a[i][j]，a(i,j)，a（ij）等。

三、函数的概念及性质1、数的概念函数是指定义在一个域上的一个封闭的、有序的、定义唯一的一对一映射关系，把一个元素映射到另外一个元素，使得每个自变量对应唯一的因变量。

高中数学必修一第三章小结与复习

x0，使f (x0)＝0 (x0≠±1)，则a的取值范
围是
(B)
A．(－∞, 2)
B．(2, ＋∞)
C．(－∞, －2)
D．(－2, ＋∞)
例5 f (x)＝3ax＋12－3a在[－1, 1]上存在
x0，使f (x0)＝0 (x0≠±1)，则a的取值范
围是
(B)
A．(－∞, 2)
B．(2, ＋∞)
象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在
(－2, 2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)
的值
(C)
A．大于0
B．小于0
C．无法判断
D．等于零
例3 若函数y＝f(x)在区间(－2, 2)上的图
象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在
(－2, 2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)
的值
(C)
检验符合实际
用函数模型解释实际问题
(2) 函数模型的选择和建立
收集数据画散点图
不符
选择函数模型
合实
求函数模型
际
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
三、例题精讲
1.《习案》作业三十六； 2.《习案》作业三十五
第1、2、3、4、5题.
谢谢！
3. 函数零点的判定
3. 函数零点的判定
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点.
4. 用二分法求方程的近似解要注意以下问题：

4. 用二分法求方程的近似解要注意以下问题：
A．大于0
B．小于0

新教材人教版高中数学必修第一册第三章知识点总结

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。

（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。