高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解

解析几何定点、定值问题

1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为2

1

，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半

径的圆与直线06=+-y x 相切。 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭

圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。 （1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；

（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，

已知点A

，(B ，直线PA 与PB

的斜率之积为12

-.

（I ）求动点P 轨迹E 的方程;

（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.

4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O

为顶点，F 2

为焦点的抛物线的一部分，3

(2

A 是曲线

C 1和C 2的交点.

(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；

(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问

22||||

||||

BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若

不是，请说明理由.

5、已知抛物线)0(22

>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物

线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.

6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为

3

π

的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.

（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；

（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

7、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x ，它的一个顶点恰好是抛物线2

4

1x y =

的焦点， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

12,,MA AF MB BF λλ== 12λλ+求证：为定值．

8、（2012枣庄一摸）已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

，椭圆上一点到

一个焦点的最大值为3，圆222:870C x y x ++-+=，点A 是椭圆上的顶点，点P 是椭圆C 1上不与椭圆顶点重合的任意一点。

（1）求椭圆C 1的方程；

（2）若直线AP 与圆C 2相切，求点P 的坐标； （3）若点M 是椭圆C 1上不与椭圆顶点重合且异于点P 的任意一点，点M 关于x 轴的对称点是点N ，直线MP ，NP 分别交x 轴于点1(,0)E x ，点2(,0)F x ，探究12x x ⋅是否为

定值。若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由。

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 设直线l ：=+y kx m 与椭圆C 交于,M N 两点，直线22,F M F N 的倾斜角分别为

αβ、，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.

10、（2012东营一摸）已知直线:=l y x 2

2

:+=5O x y ，椭圆22

22:1(>>0)

y x E a b a b

+=

的离心率=

3

e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.

11、已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点()0,2M 是椭圆的

一个顶点，12F MF ∆是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，

2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,2

1

--）．

12、直线l 与椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，已知11(,)m ax by =，

22(,)n ax by =，若m n ⊥且椭圆的离心率e =，又椭圆经过点，O 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距），求直线l 的斜率k 的值； （3）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理

由.

13、已知抛物线2=4y x 的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .

（1）若点F 到直线l ，求直线l 的斜率.