13.2 命题与证明

13.2 命题与证明

专题一三角形中的计算与证明题

1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数。

2.如图，已知AB∥DE，试求证：∠A+∠ACD+∠D=3600（你有几种证法?）

3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法.

小明：在△ABC中，延长BC到D，

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等式的性质）.

小虎：在△ABC中，作CD⊥AB（如图9），

∵CD⊥AB（已知），

∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）.

∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）.

∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）.

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.

专题二证明中的探究题

4.（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.

（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为

A

B C

D

.

5.如图，已知AB CD

∥，探究123

∠，∠，∠之间的关系，并写出证明过程．

【知识要点】

1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果……那么……”的形式,任何一个命题都有逆命题.

2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.

【温馨提示】

1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.

2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.

3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.

4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.

【方法技巧】

1.要会判断一个语句是否为命题，需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.

2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.

3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形

y°

x°

A

D

C

B

E

1

2

A

D

C

B

E

1

2

A

D

C

B

E

图①图②图③

的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.

参考答案

1.（1）当高AD在△ABC的内部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70º+20º=90º;（2）当高AD在△ABC的外部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70º-20º=50º.综合（1）、（2）可知∠BAC的度数为90º或50º.

2.证法一：如图1，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A+∠1=1800 ∠D+∠2=1800（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠1 +∠2+∠D=3600（等式性质），即∠A+∠ACD+∠D=3600 证法二：如图2，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A=∠ACF∠D=∠DCF（两直线平行，内错角相等），∵∠ACD+∠ACF+∠DCF=3600（周角定义），∴∠A+∠ACD+∠D=3600（等式性质）

3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.

另证：已知：如图10,△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.

证明：过点A作EF∥BC，

∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C(两直线平行，内错角相等).

∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义)，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°.

4.(1)∵∠1+∠2+∠A=180°, ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),

∴∠1+∠2=∠B+∠C(等式的性质);

(2) = 280°

(3)300° 60°∠BDA＋∠CEA=2∠A

5.132180

+-=

∠∠∠．

证明：如图6，连接AC．∵AB CD

∥（已知），

∴180

BAC DCA

+=

∠∠（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵2EAC ECA

=+

∠∠∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴13

BAC EAC DCA ECA

=-=-

∠∠∠，∠∠∠，

∴13180

EAC ECA

-+-=

∠∠∠∠，

也就是13()180

EAC ECA

+-+=

∠∠∠∠，

即132180

+-=

∠∠∠．

A

E

C

B

F