复摆振动的研究

实验四 复摆振动的研究

复摆又称为物理摆，是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系——简谐振动。通过复摆物理模型的分析，可以用来测量重力加速度、测量物体的转动惯量以及验证平行轴定理等等。 【实验目的】

1．分析复摆的振动，研究振动周期与质心到支点距离的关系。 2．掌握用复摆来测量重力加速度和回转半径的方法。

3．了解用复摆物理模型来测量物体的转动惯量和验证平行轴定理的方法。 【实验仪器】

JD-2型复摆实验仪，光电门装置，J-25型周期测定仪，天平，米尺等 【实验原理】

刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度，如图4-1所示。

若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有

h mg M θ-=sin

若θ很小时（θ在05以内）近似有

θmgh M -= （4-1）

又据转动定律，该复摆又有

θ I M = （4-2） 其中I 为该物体转动惯量。由（4-1）和（4-2）可得

图4-1 刚体复摆运动

20

θωθ=- （4-3） 其中2

0mgh

I

ω=

。此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为 mgh

I

T π

=2 （4-4） 设c I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

2mh I I c += （4-5）

代入(4-4)式得：

mgh

mh I T c 2

2+π

= （4-6） 由此可见，周期T 是质心到回转轴距离h 的函数，且当0h →或h →∞时，T →∞。因此，对下面的情况分别进行讨论：

（1）h 在零和无穷大之间必存在一个使复摆对该轴周期为最小的值，此时所对应h 值叫做复摆的回转半径，用R 表示。由（4-6）式和极小值条件

0dT

dh

=得：

min

T T

R h ===

（4-7） 代入公式（4-7）又得最小周期为

min 2T = （4-8） （2）在h R =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。而把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为1h 、2h （12h h ≠），测其对应摆动周期为1T 、2T 。将此数据分别代入（4-6）式并利用12

T T =得：

12c I mh h = （4-9）

2T = （4-10）

把公式（4-10）与单摆的周期公式2T =复摆绕距的重心为1h （或其共轭轴2h ）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为12h h +点的单摆周期

相等，故称h 1＋h 2为该轴的等值摆长。可见，实验测出复摆的摆动周期T 及该轴的等值摆长h 1＋h 2，由公式（4-10）就可求出当地的重力加速度g 的值。

本实验所用复摆为一均匀钢板，它上面从中心向两端对称地开一些小孔。测量时分别将复摆通过小圆孔悬挂在固定刀刃上，如图4-2所示，便可测出复摆绕不同回转摆动的周期以及回转轴到质心的距离，得到一组T 、h 数据，作T h 图，如图4-3所示，从而直观地反映出复摆摆动周期与回转轴到质心距离的关系。

由于钢板是均匀的，复摆上的小圆孔也是对称的，所以在摆的质心两侧测T 随h 的变化也是相同的，则实验曲线必为两条。在曲线上最低的两点E 、F ，这两点

的横坐标1

2

h R EF ==

为回转半径，纵坐标就振动周期最小值。如图4-3，取一周期为T 值（H 点）处引一直线MN 平行于横轴，交曲线于A 、B 、C 、D 四点，把这四点分成A 、C 和D 、F 两组，在摆杆上每一组中两点都位于质心C 的两旁，并与质心处在同一直线上，不难看出：1AH HD h ==，2BH HC h ==，12AC BD h h ==+为复摆在相应周期下的等值摆长，点A 和C 的、B 和D 具有共轭性，通过它们的回转轴为共轭轴。

【实验步骤与要求】

一、研究复摆周期与转轴位置的关系

1．确定均匀钢板的质心位置（方便起见，让质心的位置正好在“0”刻度上） 方法：将钢板水平放在支架的刀刃上（图4-4），其“0”刻度正好对应刀刃，利用杠杆原理调节钢板两端的微调螺母使其平衡，要求误差在1mm 以内。

图4-2 刚体悬挂在固定刀刃平面图 图4-3 周期与回转轴到质心距离曲线图

图4-4调节钢板平衡示意图

2．将座架放置于实验桌边沿，使上面的三角刀口水平朝外

方法：把复摆摆杆悬挂在三角刀口上，调节座架底下水平螺丝使刀口与孔内径上沿相密合，要求摆杆摆动时没有扭动情况。

3．测量不同回转轴对应的周期

将复摆摆杆的每一小孔依次悬挂在三角刀口上以小摆幅摆动，用周期测定仪测定对每一个孔的振动周期，要求质心到回转轴距离每改变2cm测振动周期，并记录表4-1。

注意：使用周期测定仪时，面板上的周期选择拨到10T档；在复摆处于平衡位置时，周期测定仪的光电门应对准复摆下端的挡光针，拨动复摆并把周期仪置零，即自动开始测周期至10个周期停止计时，所显示的数字就是10个周期的时间间隔，计时精度为0.01ms。

与h的关系

表4-1 Array ，要求横轴上标上转轴与摆杆4．绘出复摆周期与转轴位置之间的关系图T h

质心的距离左边或右边均为正值，纵轴为摆动周期。

二、测出摆杆的回转半径，重力加速度和通过质心轴的转动惯量

1．根据你所绘出的T h 图，很容易量出最低两点的距离以及所对应的周期值。 2．由上述测量数据，再根据（4-8）式得到重力加速度：

2min

8R g T π=

3．根据回转半径的定义即（4-7）式，易得通过质心轴的转动惯量c I 。 三、用最小二乘法求出摆杆的回转半径，重力加速度和通过质心轴的转动惯量

1．由（4-6）与（4-7）式，得到

2T =将上式改写成为

222

22

44T h R h g g

ππ=+

令22,y T h x h ==，则上式又变成为

22

244y R x g g

ππ=+

从测量可得出n 组(,)x y 值并填入表4-1中，

2．用最小二乘法求出拟合直线y A Bx =+的224()A R g π=和2

4()B g

π=，再由A 、B 求出g 和R 值，再求出c I 。

3．计算结果与上述测量结果进行比较，并计算g 的不确定度。

【预习思考题】

1． 单摆和复摆最本质的区别是什么？

2． 什么是回转轴、回转半径、等值摆长？

3． 为什么复摆的摆动周期存在一个极小值？出现极小值的条件是什么？ 4． 在复摆的某一位置加一配重时，其振动周期将如何变化？

2． 3．

（2）在实验中用较大的角度（θ≈20o

）摆动复摆，记录在10个周期内，每个周期与角度的关系，会得到什么样的结果？