必修一学案：第二单元 2.3 幂函数

§2.3 幂函数

学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 1

2 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大

小(重点)．

预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念

一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x －

4

5是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )

(3)函数y ＝－x 1

2 是幂函数．( )

提示 (1)√ 函数y ＝x －

4

5 符合幂函数的定义，所以是幂函数；

(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－

x 不是幂函数；

(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 1

2 不是幂函数．

知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：

(2)幂函数的性质： 幂函数

y ＝x

y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12

y ＝x －

1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)

R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0}

奇偶性 奇 偶

奇 非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈[0，＋∞)，增

增

增

x ∈(0，＋∞)，减

x ∈(－∞，0]，减

x ∈(－∞，0)，减

公共点 都经过点(1,1)

(1)设函数f (x )＝x 5

3 ，则f (x )是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既不是奇函数也不是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 (2)3.17

－3

与3.71

－3

的大小关系为________．

解析 (1)易知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．

(2)易知f (x )＝x －

3＝1x

3在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f (3.17)>f (3.71)，即3.17

－3

>3.71－

3.

答案 (1)A (2)3.17－

3>3.71－

3

题型一 幂函数的概念

【例1】 (1)在函数y ＝x －

2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)若f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________. 解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x

－2

是幂函数，所以选B ．

(2)因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1

规律方法 判断函数为幂函数的方法

(1)只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．

(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．

【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫

12的值等于________． 解析 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13

.

答案 13

题型二 幂函数的图象及应用

【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±

1

2四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )

A ．－2，－12，1

2，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－1

2

(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－1

2分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；

②f (x )＝g (x )；③f (x )

(1)解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝1

2；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝

－1

2

，曲线C 4的n ＝－2，故选B ． 答案 B

(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1

2，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )

＝x －

1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：

①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )

规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．