高一物理机械振动及其产生条件;简谐运动的特点、规律北师大版知识精讲

高一物理机械振动及其产生条件；简谐运动的特点、规律北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

机械振动及其产生条件；简谐运动的特点、规律；简谐运动的图像

二. 知识总结归纳

1. 机械振动及其产生条件：机械振动是指物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动。它的产生条件是：回复力不为零；阻力足够小。

回复力是使振动物体回到平衡位置的力。它是以效果命名的力，类似于向心力，一般由振动方向上的某个力或某几个力的合力来提供。

2. 简谐运动的特点：回复力的大小与位移大小始终成正比，方向始终相反，即符合公式F ＝－kx 。这也是判断一个机械振动是否是简谐运动的依据。我们常见的两个简谐运动模型是弹簧振子和单摆。大家想一想这两个典型运动的回复力由哪些力提供？

在这里需要强调两个概念：一是平衡位置。平衡位置是指物体在振动方向上所受合力为零的位置。简谐运动一定有平衡位置，而机械振动有中心位置，不一定有平衡位置。另一个是位移。振动中物体的位移是表示物体即时位置的物理量，它始终以平衡位置为初始位置，可以用一个由平衡位置指向某一时刻位置的有向线段来表示。

3. 简谐运动的规律：简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，要结合牛顿运动定律、动量定理、动能定理、机械能守恒定律来分析解决简谐运动的问题。

（1）简谐运动的对称性：振动物体在振动的过程中，在关于平衡位置对称的位置上，描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）大小相等。

（2）简谐运动的周期性：振动物体完成一次全振动（或振动经过一个周期），描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）又恢复到和原来一样。简谐运动的周期是由振动系统的特性决定的，与振幅无关。

弹簧振子的周期只决定于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和方式无关。 单摆在小角度摆动下的振动可视为简谐运动，其周期公式为＝，其T 2 L g

中L 为摆长（悬点到球心间的距离），g 为重力加速度，单摆周期与振幅、摆球质量无关。

4. 受迫振动和共振：受迫振动是指物体在周期性驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关。共振是指做受迫振动的物体，它的固有周期与驱动力的周期越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。

【典型例题】

例1. 一弹簧振子作简谐运动，则下列说法正确的有：

A. 若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值；

B. 振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大；

C. 振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同；

D. 振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度和位移一定相同。 分析与解答：正确答案是D 。

如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O 为起点的，设向右为正，则当振子在

OA段时，位移为正，在OA'段时位移为负。可见当振子由O向A'运动时其位移为负值，速度也是负值，故A选项错。

振子在平衡位置时，回复力为零，加速度a为零，但速度最大，故B错。

振子经过平衡位置O时，速度方向可以是不同的（可正、可负），故C错。

a kx m x a

=-/

由知，同时相同，但振子在该点的速度方向可以向左也可以

向右，故D正确。

可见，分析简谐运动各量变化关系时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析。

例2. 某质点做简谐运动，先后以同样的速度通过相距l的a、b两点（如图所示），用的时间是1s。过b点后再经1s以相反方向的速度（相同的速率）再次通过b点，则该质点作简谐运动的周期T＝___________。

分析与解答：简谐运动中有两个对称，一是关于最大位移处的对称，一是关于平衡位置的对称。

根据关于平衡位置的对称性，当振子的速率相等时，其位移大小必定相等，且通过该相等位移所用的时间也相同。据此可以判定：该简谐运动的平衡位置必在ab连线的中点O；同时从O运动到b的时间为0.5s，而且，第二次通过b再回到O所用的时间也是0.5s（b 到O和O到b用时相等）；根据关于最大位移处的对称性，从b到最大位移处用时为0.5s。而O至最大位移时用的时间即简谐运动的四分之一周期为1s，因此，该简谐运动的周期为4s。

例3. 如图所示是某弹簧振子振动图象，试由图象判断下列说法哪些正确：

A. 振幅是3m

B. 周期是8s

C. 4s末小球速度为负，加速度为零

D. 第14s末小球的加速度为正，速度最大

分析与解答：正确答案是BC。

纵轴是质点离开平衡位置的位移，横轴是时间，图象是振动图象。由图象可知振幅A ＝3cm，故A错，而周期T＝8s，故B正确。

4s末质点由正位移向负位移通过平衡位置，位移为零，速度为负方向，而加速度为零，

∴C 正确。

从第12s 末到第14s 末图象延伸到x 轴负的最大值处，故此时质点位移为负的最大值，加速度最大，且为正值，但速度为零，故D 错。

可见，处理振动图象问题一定要把图象还原为质点的实际振动过程分析，图象不是振动物体的轨迹。

例4. 已知某摆长为1m 的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为____________；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1/4倍的星球表面，则其振动周期为____________；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为____________。

分析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。

解答：（）依据，可得122T L g

T s ==π （）等效重力加速度为，则依据，可得2424g g T L g T s '/'''===π

（3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L 1＝1m ，另半周期摆长为L 2＝0.5m 。 则该小球的摆动周期为：

T L g L g s ''=+=+ππ12222

例5. 如图所示，轻直杆OC 的中点悬挂一个弹簧振子，其固有频率为2Hz 。杆的O 端有固定光滑轴。C 端下边由凸轮支持，凸轮绕其轴转动，转速为n 。当n 从0逐渐增大到5r/s 过程中，振子M 的振幅变化情况将是____________，当n ＝____________r/s 时振幅最大。若转速稳定在5r/s ，M 的振动周期是____________。

分析与解答：本题考查受迫振动的频率和共振的条件的分析。振子固有频率为2Hz ，凸轮的转动频率就是驱动力的频率，即f 驱从0增大到5Hz ，变化过程中，先接近固有频率，达到相等后又偏离固有频率，故振幅先增大后减小。当f 驱＝f 固＝2Hz ，即n ＝2r/s 时振幅最大。

当，即，，受迫振动的周期取决于驱动力的周驱驱n r s f Hz T s ===5502/. 期，即也为0.2s 。